专题10 指对幂函数的应用（讲义）-2027年贵州高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指对幂函数的应用 【复习目标】 1.理解指数函数、对数函数作为数学模型的实际意义，能识别增长率、衰减率类指数模型，以及对数相关简单实际情境。 2.掌握指数型实际问题的列式方法，读懂题干已知条件，分清底数、自变量、因变量的实际含义，会列出指数函数关系式。 3.能够利用指对数互化，解决简单的指数方程、对数方程基础问题，会结合函数性质对结果进行合理性检验。 4.会结合指数、对数的单调性，解决综合比较大小问题，区分指数函数、对数函数两类模型的使用场景。 5.能应对学考客观题型，辨析实际应用中自变量取值范围，规避模型套用错误、运算失误等常见易错点。 【考点1 对数函数与指数函数的关系】 指数函数且）与对数函数且）互为 ，其图象关于直线对称. 【即时训练】 1．函数中，的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 2．函数的变化趋势是（　　）. A．只在正数范围内有意义 B．随增大而增大 C．函数值始终等于 D．随增大而减小 3．若，比较与，正确的是（　　）. A．无法比较 B． C． D． 4．下列函数中，是指数函数的是（　　）. A． B． C． D． 5．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 6．函数的单调性是（　　） A．递减 B．不变 C．递增 D．无法判断 7．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．在单调递减 8．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．已知且，函数与的图象的交点坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 11．若函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 12．定义：在平面直角坐标系中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数和函数互为“原形函数”的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 指对数不等式】 1．指数不等式 指数幂中含有未知数的不等式叫作 ． 2．对数不等式 对数的底或真数中含有未知数的不等式叫作 ． 3．指数不等式的解法 解指数不等式，要充分利用指数函数的单调性质，把原不等式化为等价的不等式组进行求解，有时要用换元法求解． 同底比较法： 当a>1时，则af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； 当0<a<1时，则af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． 一般情况下，把两边化成同底的幂，再根据指数函数的 来比较其指数的大小． 4．对数不等式的解法 解对数不等式，要充分利用对数函数的单调性质，把原不等式化为等价的不等式组进行求解，有时要用换元法求解． 同底比较法： 当a>1时，则logaf(x)>logag(x)⇒ 【即时训练】 13．若，则与的大小关系是（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．无意义 14．函数经过的点是（　　） A． B． C． D． 15．在中，随着的增大，的变化趋势是（　　） A．递增 B．不变 C．先增后减 D．递减 16．下列式子中，能用实数指数幂法则化简的是（　　） A． B． C． D． 17．的值是（　　） A． B． C． D． 18．若正方体体积为，棱长可表示为（　　） A． B． C． D． 19．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 20．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 21．如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　） A．ac＜bc B．bac＜abc C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 23．已知函数，则下列判断错误的是（    ） A．是奇函数 B．的图像与直线有两个交点 C．的值域是 D．在区间上是减函数 24．在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 1.（2023·贵州·真题T27）下列比较大小中，正确的有（ ） A. B. C. D. 2.（2025·贵州·真题T25）下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指对幂函数的应用 【复习目标】 1.理解指数函数、对数函数作为数学模型的实际意义，能识别增长率、衰减率类指数模型，以及对数相关简单实际情境。 2.掌握指数型实际问题的列式方法，读懂题干已知条件，分清底数、自变量、因变量的实际含义，会列出指数函数关系式。 3.能够利用指对数互化，解决简单的指数方程、对数方程基础问题，会结合函数性质对结果进行合理性检验。 4.会结合指数、对数的单调性，解决综合比较大小问题，区分指数函数、对数函数两类模型的使用场景。 5.能应对学考客观题型，辨析实际应用中自变量取值范围，规避模型套用错误、运算失误等常见易错点。 【考点1 对数函数与指数函数的关系】 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 【即时训练】 1．函数中，的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断即可得出结果. 【详解】单调递减，， . 故选： 2．函数的变化趋势是（　　）. A．只在正数范围内有意义 B．随增大而增大 C．函数值始终等于 D．随增大而减小 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质可得结果. 【详解】指数函数的定义域为，值域为，故A、C选项错误； 又因为函数的底数，所以随增大而减小，选项B错误，D正确. 故选：D. 3．若，比较与，正确的是（　　）. A．无法比较 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性即可判断其大小. 【详解】因为，且底数，单调递增， 所以. 故选： 4．下列函数中，是指数函数的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义依次判断即可得出结果. 【详解】选项A：，底数，，符合指数函数定义，正确； 选项B：，底数是自变量，属于幂函数，不是指数函数，错误； 选项C：，底数，不符合要求，错误； 选项D：，底数，不符合的条件，错误. 故选： 5．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，即在上单调递增， 又，所以. 故选： 6．函数的单调性是（　　） A．递减 B．不变 C．递增 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据指数函数性质即可得出结果. 【详解】，在全体实数范围内单调递增. 故选： 7．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．在单调递减 【答案】AB 【分析】A选项，根据求出定义域；B选项，根据指数函数单调性求出值域；C选项，根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，利用复合函数的单调性满足“同增异减”得到单调性. 【详解】对于A，由，解得或，故A正确； 对于B，由，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，∵，且定义域也不对称， ∴不是偶函数，故C错误； 对于D，在函数定义域内，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性满足“同增异减”，得到在上单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：AB． 8．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】选项A，根据得到；B选项，举出反例；C选项，作差法比较大小；D选项，构造函数，求导得到单调性，从而得到时，，故D错误. 【详解】选项A，由得，∴，故A正确； 选项B，取，，可得，，不满足，故B错误； 选项C，， ∵，所以，故， ∴，故C正确； 选项D，设函数，，则， 当时，，单调递减， 故时，，即，故，故D错误. 故选：AC 9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，由单调性排除A，由奇偶性排除D，BC选项，先求出定义域，可利用函数奇偶性定义判断出为偶函数，进而判断出函数的单调性，得到答案. 【详解】在上单调递减，A错误； 定义域为R，且，故为偶函数， 且的对称轴为轴，且在上单调递增，B正确； 的定义域为，且， 故为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； 因为，故不是偶函数，D错误. 故选：BC 10．已知且，函数与的图象的交点坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由指数、对数运算可知，从而可解. 【详解】由指数、对数运算可知：， 所以函数的图象不可能经过点， 函数的图象不可能经过点， 函数与的图象交于点. 故选：BCD 11．若函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据条件逐一代入计算验证即可. 【详解】对于A：，不符合； 对于B：，不符合； 对于C：，符合； 对于D：，符合. 故选：CD. 12．定义：在平面直角坐标系中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数和函数互为“原形函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据原形函数的定义，结合图象变换的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A，由，显然的图象向左平移个单位得到的图象，因此选项A正确； 对于选项B，由，显然的图象向左平移个单位得到的图象，因此选项B正确； 对于选项C，，函数的图象向上平移5个单位长度才能得函数的图象，可知C选项错误； 对于选项D，由，函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，因此D选项正确， 故选：ABD 【考点2 指对数不等式】 1．指数不等式 指数幂中含有未知数的不等式叫作指数不等式． 2．对数不等式 对数的底或真数中含有未知数的不等式叫作对数不等式． 3．指数不等式的解法 解指数不等式，要充分利用指数函数的单调性质，把原不等式化为等价的不等式组进行求解，有时要用换元法求解． 同底比较法： 当a>1时，则af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； 当0<a<1时，则af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． 一般情况下，把两边化成同底的幂，再根据指数函数的单调性来比较其指数的大小． 4．对数不等式的解法 解对数不等式，要充分利用对数函数的单调性质，把原不等式化为等价的不等式组进行求解，有时要用换元法求解． 同底比较法： 当a>1时，则logaf(x)>logag(x)⇒ 【即时训练】 13．若，则与的大小关系是（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．无意义 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性判断与的大小关系即可. 【详解】因为，则指数函数在R上为增函数， 因为，则，即. 故选：B. 14．函数经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点的坐标代入函数解析式满足函数解析式即可. 【详解】选项A：当时，可得， 所以点不在函数的图象上， 选项B：当时，，满足函数解析式， 所以点在函数的图象上， 选项C：当时，， 所以点不在函数的图象上， 选项D：当时，可得， 所以点不在函数的图象上. 故选：B. 15．在中，随着的增大，的变化趋势是（　　） A．递增 B．不变 C．先增后减 D．递减 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】在指数函数中，底数， 因为，所以函数在上单调递减， 这意味着随着的增大，的变化趋势是递减. 故选：D. 16．下列式子中，能用实数指数幂法则化简的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确该法则要求底数相同且为乘法运算即可. 【详解】选项A：是加法运算，而实数指数幂法则适用于乘法运算， 所以不能用该法则化简； 选项B：中底数不同，不满足实数指数幂法则中底数相同的条件， 因此不能用该法则化简； 选项C：是一个整体的平方形式，不符合实数指数幂法则的使用要求， 因此不能用该法则化简； 选项D：满足中底数相同且为乘法运算的条件， 所以可以用该法则化简. 故选：D. 17．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数的运算法则将进行转化计算即可. 【详解】. 故选：C. 18．若正方体体积为，棱长可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体体积公式得到棱长与体积的关系，再结合分数指数幂的定义得出棱长的表达式即可. 【详解】设正方体棱长为， 由正方体体积可得，则， 故棱长可表示为. 故选：C. 19．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用指数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由不等式的性质可得，A对； 对于B选项，当时，，B错； 对于C选项，因为，取，，则，C错； 对于D选项，因为函数为上的增函数，且，则，D对. 故选：AD. 20．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A由对数的真数大于0可以排除；B由二次函数的性质可得；C由简单幂函数的性质可得；D可通过简单例子进行排除. 【详解】因为，所以b的正负无法判断，所以A可能无意义； ，故B正确； 由于为定义域R上的单调递增函数，又因为，所以， 所以，故C正确； 当时，，但是，故D错误； 故选：BC. 21．如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由的单调性得到A正确；BD选项，可举出反例；C选项，由指数函数的单调性得到C正确. 【详解】对于A，由函数在上单调递增知，故正确； 对于B，取，，所以，故错误； 对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确； 对于D，当，时，，故错误. 故选：AC. 22．（多选）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　） A．ac＜bc B．bac＜abc C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 【答案】BC 【详解】 解析：考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，A错误；bac＜abc⇔ ＜（）c，又y＝（）x是减函数，所以B正确；由对数函数的性质，可知logac＞logbc，D错误；由a＞b＞1得＜.又0＜c＜1，所以logac＜0，logbc＜0，所以＞＞，C正确．故选BC. 23．已知函数，则下列判断错误的是（    ） A．是奇函数 B．的图像与直线有两个交点 C．的值域是 D．在区间上是减函数 【答案】AB 【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可. 【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确； 函数图象与直线有一个交点，故B错误； 函数的值域为，且在区间上是减函数，即C、D正确； 故选：AB 24．在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数、幂函数及三角函数性质判断函数奇偶性、区间单调性，即可得答案. 【详解】由为奇函数，A不符； 由定义域为R，且，为偶函数， 在区间上单调递增，B符合； 由定义域为，且，为偶函数， 在区间上单调递增，C符合； 由定义域为R，且，为偶函数， 在区间上单调递增，D符合； 故选：BCD 1.（2023·贵州·真题T27）下列比较大小中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求解即可. 【详解】选项A，因为在定义域上单调递增，且， 所以，正确； 选项B，因为在定义域上单调递减，且， 所以，错误； 选项C，因为在定义域上单调递减，且， 所以，正确； 选项D，因为在定义域上单调递增，且， 所以，正确； 故选：ACD. 2.（2025·贵州·真题T25）下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断ACD，直接求值判断B，从而得解. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于CD，因为在上单调递增，所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $