专题9 对数运算与对数函数（讲义）-2027年贵州高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 对数运算与对数函数 【复习目标】 1.理解对数的定义，掌握指数式与对数式的相互转化，熟记对数恒等式，分清对数的底数、真数，牢记真数必须大于 0。 2.熟练运用对数的运算法则（积、商、幂的对数）进行对数的化简、求值，能够区分对数运算常见错误。 3.理解对数函数的定义，掌握对数函数的定义域，记住对数函数恒过定点。 4.掌握对数函数的图像与单调性；会利用对数函数单调性比较对数值的大小。 5.能够应对学考选择、多选题；能区分对数函数与指数函数性质，会处理对数与指数综合比大小题型，规避真数小于 0 的易错陷阱。 【考点1 对数】 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的 ，N称为 ． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是 ； （2） logaa=1，即底的对数是 ； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为 ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为 ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 【即时训练】 1．的值是（　　）. A． B． C． D． 2．比较 与 ，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 3．下列对数式中有意义的是（　　）. A． B． C． D． 4．某检测指标采用．若，则等于（　　）. A． B． C． D． 5．函数的定义域是（　　）. A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 7．下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则是“”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 9．当时，关于x的不等式（且）恒成立，则以a为半径的球的体积取值可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于x的方程有两个不等实根，则实数m的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“优美函数”.下列所给出的函数中是“优美函数”的是（    ） A． B． C． D． 12．下列函数中，最小值为的函数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 对数函数及其性质】 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为 ，其图象关于直线对称. 【即时训练】 13．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 14．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 15．的值是（　　）. A． B． C． D． 16．化简得（　　）. A． B． C． D． 17．等于（　　）. A． B． C． D． 18．若，则等于（　　）. A． B． C． D． 19．已知函数，若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 20．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，是的充分条件 D．的必要条件是 21．已知函数，若，则的所有可能值为（    ） A．1 B． C．10 D． 22．已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 23．（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 24．甲、乙两人解关于x的方程：，甲写错了常数b，得到根为或；乙写错了常数c，得到根为或，那么原方程的根可以为（    ） A． B． C． D． 1.（2021·贵州·真题T9），则 （ ）． A. B. C. ab D. 2.（2022·贵州·真题T16）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（2022·贵州·真题T17）已知函数的图像经过点，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（2024·贵州·真题T12）把（且）写成对数式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5.（2025·贵州·真题T8）的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 6.（2025·贵州·真题T9）函数在区间内是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 对数运算与对数函数 【复习目标】 1.理解对数的定义，掌握指数式与对数式的相互转化，熟记对数恒等式，分清对数的底数、真数，牢记真数必须大于 0。 2.熟练运用对数的运算法则（积、商、幂的对数）进行对数的化简、求值，能够区分对数运算常见错误。 3.理解对数函数的定义，掌握对数函数的定义域，记住对数函数恒过定点。 4.掌握对数函数的图像与单调性；会利用对数函数单调性比较对数值的大小。 5.能够应对学考选择、多选题；能区分对数函数与指数函数性质，会处理对数与指数综合比大小题型，规避真数小于 0 的易错陷阱。 【考点1 对数】 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 【即时训练】 1．的值是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则可求解. 【详解】. 故选：A. 2．比较 与 ，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质可比较大小. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以，即. 故选：B 3．下列对数式中有意义的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数有意义的条件，逐个检验选项即可. 【详解】A：真数，不成立，无意义，错误； B：底数，底数不能等于，无意义，错误； C：底数，底数必须大于0，无意义，错误； D：底数；真数，满足条件，对数有意义，正确. 故选： 4．某检测指标采用．若，则等于（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入函数表达式计算即可. 【详解】若，则. 故选：B. 5．函数的定义域是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】对数函数要求真数，所以函数的定义域为. 故选：A. 6．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故选：A. 7．下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由对数与指数互化及对数概念求解即可. 【详解】由对数恒等式：知， ，成立，故A，B选项都正确； ，，故C选不正确； 又∵，故D选项不正确. 故选：CD. 8．已知，则是“”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】CD直接由作差法即可判断，对于A举出反例即可判断；对于B由对数函数单调性即可判断. 【详解】对于A，取，此时有，故A不符合题意； 对于B，由对数函数单调性可知，故B符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：BD. 9．当时，关于x的不等式（且）恒成立，则以a为半径的球的体积取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由指数函数与对数函数的图象与性质，结合不等式恒成立，求得，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，当时，， 当时，若，可得，不等式显然不成立； 当时，即时，要使得不等式恒成立， 则满足，解得， 当时，以为半径的球的体积为； 当时，以为半径的球的体积为； 所以球的体积. 故选：AD. 10．已知关于x的方程有两个不等实根，则实数m的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】化简方程得，利用指数函数的值域，列式求解得出答案. 【详解】， ， 有两个不等实根，即有两个不等实根， 则，解得，显然选项A，B不满足，选项C，D满足. 故选：CD. 11．设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“优美函数”.下列所给出的函数中是“优美函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知可得若函数的值域关于原点对称，则为“优美函数”，从而转化为求个函数的值域即可判断. 【详解】由已知可得若函数的值域关于原点对称，则为“优美函数”， A选项：函数的值域为，是“优美函数”； B选项：函数的值域为，不是“优美函数”； C选项：函数，由，可知函数的值域为，不是“优美函数”； D选项：函数的值域是，是“优美函数”； 故选：AD. 12．下列函数中，最小值为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】取，可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；利用函数单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则，A不满足； 对于B选项，因为，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，B满足； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，等号不成立，即的最小值不是，C不满足； 对于D选项，因为函数的定义域为， 且函数在上单调递增，故，D满足. 故选：BD. 【考点2 对数函数及其性质】 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 【即时训练】 13．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】对数函数在上为增函数， 由，可知. 故选：A. 14．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商的对数运算求解即可. 【详解】. 故选：B. 15．的值是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式互化求解即可. 【详解】因为，故. 故选：B. 16．化简得（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则求解． 【详解】. 故选：A . 17．等于（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】根据对数的运算法则可知，. 故选：C. 18．若，则等于（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则求解． 【详解】根据对数的运算法则可知，. 故选：D. 19．已知函数，若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分段讨论，当，；当时，即可求解. 【详解】当时，，解得：， 当时，解得：， 综上所述：实数的值可能是或， 故选：AC. 20．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，是的充分条件 D．的必要条件是 【答案】ACD 【分析】利用量词命题的真假性与充分必要条件的定义，结合对数方程及不等式的性质，逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，当时，不成立，故B错误； 对于C，当，时，显然成立， 所以，是的充分条件，故C正确； 对于D，当时，且，即且， 所以的必要条件是，故D正确. 故选：ACD. 21．已知函数，若，则的所有可能值为（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】AD 【分析】先求出的值，等价于，按照和两种情况分别求出的所有可能值． 【详解】 当时，由 可得 当， 可得 解得 的所有可能值为：或 故选：AD. 【点睛】本题考查函数的表示方法，考查分段函数的应用，考查指对函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 22．已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数解析式进行分类讨论，通过解方程求得的值. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得，又，所以舍去． 综上所述，或． 故选：BC 23．（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算性质可得，利用换元法，即可求解. 【详解】由已知得， ∴， 即， 令，则方程可化为，解得或， 故，或者 ∴或， 故选：BD. 24．甲、乙两人解关于x的方程：，甲写错了常数b，得到根为或；乙写错了常数c，得到根为或，那么原方程的根可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件列方程，求得，进而求得原方程的跟. 【详解】对于甲，设甲将错看成， 则，或， 整理得①，或②， 由①②解得. 对于乙，设乙将错看成， 则，或， 整理得③，或④， 由③④解得. 所以原方程为， 即，， ，所以或， 解得或. 故选：CD 1.（2021·贵州·真题T9），则 （ ）． A. B. C. ab D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数换底公式的运算性质计算即可. 【详解】因为，， 则. 故选：B. 2.（2022·贵州·真题T16）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数幂、对数的运算性质判断即可. 【详解】A选项，，故错误； B选项，，故错误； C选项，，故错误； D选项，，故正确. 故选：D. 3.（2022·贵州·真题T17）已知函数的图像经过点，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图像经过点代入求解即可. 【详解】因为函数的图像经过点， 所以，解得. 故选：B. 4.（2024·贵州·真题T12）把（且）写成对数式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数式和对数式的转化方法进行转化即可. 【详解】已知， 转化为对数为. 故选：A. 5.（2025·贵州·真题T8）的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合对数恒等式，即可求解. 【详解】因为， 故选：C. 6.（2025·贵州·真题T9）函数在区间内是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】函数定义域为，定义域不关于原点对称，所以不具备奇偶性， 因为底数为，所以函数在区间上为增函数， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $