专题8 指数幂与指数函数（讲义）-2027年贵州高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 指数幂与指数函数 【复习目标】 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算法则，能够熟练进行指数幂的化简与计算，区分根式与分数指数幂的互化。 2.理解指数函数的定义，识别指数函数的标准形式，分清指数函数与幂函数解析式的区别。 3.掌握指数函数的图像特征，熟记指数函数的定义域、值域、单调性，知道恒过定点。 4.会利用指数函数单调性比较指数式的大小；能结合图像解决简单的指数函数判断、图像对称类问题。 5.会处理学考选择、多选题，能够规避指数幂运算符号出错、混淆指数函数与幂函数的常见陷阱。 【考点1 根式】 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则计算． 【详解】， 故选：A． 2．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则可求解. 【详解】. 故选：B. 3．某数量模型为，当 时， 等于（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算可得结果. 【详解】代入，得. 故选：C. 4．化简得（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂相除指数相减，计算即可. 【详解】. 故选： 5．下列指数运算结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，故正确；，故正确； ，故正确； ，故错误， 故选：. 6．下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用指数幂、对数的运算可判断. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误； 故选：BC 7．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指数的运算化简判断即可； 【详解】选项A，，故正确； 选项B，，故正确； 选项C，，故正确； 选项D，，故错误； 故选：ABC. 8．下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】对A：因为，故A项正确； 对B：因为，故B项错误； 对C：因为，故C项错误； 对D：因为，故D项正确. 故选：AD. 【考点2 指数函数的概念】 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【即时训练】 9．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂运算法则化简即可. 【详解】同底数幂相乘，指数相加，得： . 故选：A 10．若，化简得（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂运算法则化简即可. 【详解】. 故选： 11．计算 的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一底数，再利用指数除法运算法则计算即可. 【详解】. 故选： 12．若等于（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方公式化简即可. 【详解】幂的乘方指数相乘，. 故选： 13．下列说法中，错误的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．9的平方根是 C．8的立方根是 D．1的立方根等于 【答案】CD 【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义逐一判断即可. 【详解】对A，4的算术平方根是2.所以A正确. 对B，9的平方根是.所以B正确. 对C， 8的立方根是.所以C错误. 对D，1的立方根等于1.所以D错误. 故选：CD. 14．下列命题为真命题的是（    ） A．是奇函数 B．（）是偶函数 C．是奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则在公共定义域内为奇函数 【答案】CD 【分析】由定义判断选项ABC；选项D，设，根据定义判断D. 【详解】解：选项A，令，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，即A错误； 选项B，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，即B错误； 选项C，令，其定义域关于原点对称，，则是奇函数，即C正确； 选项D，设，则， 所以在公共定义域内为奇函数，即D正确． 故选：CD． 15．设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给函数解析式，代入运算即可判断选项. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B选项正确； 因为，，所以C选项不正确； 因为，，所以D选项正确. 故选：ABD 16．下列各式中，其中运算结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可. 【详解】A选项：，A错误； B选项：，B正确； C选项：，C正确； D选项：，D正确． 故选：BCD． 【考点3 指数函数的图象与性质】 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 【即时训练】 17．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则计算. 【详解】. 故选：B. 18．若，则表示（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂与根式的互化求解. 【详解】. 故选：C. 19．若，化简得（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】. 故选：B. 20．若，则可写成（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化关系求解． 【详解】. 故选：D. 21．[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BD 【分析】利用根式与指数幂的关系求解. 【详解】当时，，，故A错误． （），故B正确． （），故C错误． （），故D正确． 故选：  BD 22．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A：根据根式的性质分析判断；对于B：根据分数指数幂的运算分析判断；对于C：根据指数函数单调性分析判断；对于D：根据幂函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，且， 所以，故C正确； 对于选项D：因为在上单调递增，且， 所以，故D错误； 故选：BC. 23．下列各式中，其中运算结果正确的是（    ） A． B． C．（其中，） D． 【答案】BD 【分析】由对数式和指数式的运算规则，化简验证各选项结论. 【详解】，则，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确. 故选：BD 24．下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故A错误； 16的4次方根有两个，为，故B正确； ，故C错误； 是非负数，所以，故D正确． 故选：BD. 1.（2021·贵州·真题T5）已知函数，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可比大小. 【详解】因为指数函数在上单调递减，且， 所以. 故选：B 2.（2021·贵州·真题T8） （ ）． A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：D. 3.（2022·贵州·真题T14）已知函数，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出和的结果比较大小即可. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选:A. 4.（2022·贵州·真题T16）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数幂、对数的运算性质判断即可. 【详解】A选项，，故错误； B选项，，故错误； C选项，，故错误； D选项，，故正确. 故选：D. 5.（2023·贵州·真题T16）函数与的图像关于（ ）称. A. x轴 B. y轴 C. 原点 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数对称性即可解得. 【详解】由题，， 将的自变量换为即可得到， 故二者函数图像关于轴对称 故选：B 6.（2024·贵州·真题T8）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为指数函数，且在上单调递减， 所以，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 7.（2025·贵州·真题T6）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 因为，所以，故选项A错误； 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D错误； 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 指数幂与指数函数 【复习目标】 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算法则，能够熟练进行指数幂的化简与计算，区分根式与分数指数幂的互化。 2.理解指数函数的定义，识别指数函数的标准形式，分清指数函数与幂函数解析式的区别。 3.掌握指数函数的图像特征，熟记指数函数的定义域、值域、单调性，知道恒过定点。 4.会利用指数函数单调性比较指数式的大小；能结合图像解决简单的指数函数判断、图像对称类问题。 5.会处理学考选择、多选题，能够规避指数幂运算符号出错、混淆指数函数与幂函数的常见陷阱。 【考点1 根式】 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个 零的n次方根是 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 ± 负数 偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 3．某数量模型为，当 时， 等于（　　）. A． B． C． D． 4．化简得（　　）. A． B． C． D． 5．下列指数运算结果正确的有（    ） A． B． C． D． 6．下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【考点2 指数函数的概念】 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【即时训练】 9．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 10．若，化简得（　　）. A． B． C． D． 11．计算 的结果是（　　）. A． B． C． D． 12．若等于（　　）. A． B． C． D． 13．下列说法中，错误的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．9的平方根是 C．8的立方根是 D．1的立方根等于 14．下列命题为真命题的是（    ） A．是奇函数 B．（）是偶函数 C．是奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则在公共定义域内为奇函数 15．设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 16．下列各式中，其中运算结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【考点3 指数函数的图象与性质】 图象 定义域 值域 奇偶性 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 . 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 【即时训练】 17．计算的结果是（　　）. A． B． C． D． 18．若，则表示（　　）. A． B． C． D． 19．若，化简得（　　）. A． B． C． D． 20．若，则可写成（　　）. A． B． C． D． 21．[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 22．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 23．下列各式中，其中运算结果正确的是（    ） A． B． C．（其中，） D． 24．下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 1.（2021·贵州·真题T5）已知函数，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2.（2021·贵州·真题T8） （ ）． A. 1 B. C. 2 D. 0 3.（2022·贵州·真题T14）已知函数，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 4.（2022·贵州·真题T16）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5.（2023·贵州·真题T16）函数与的图像关于（ ）称. A. x轴 B. y轴 C. 原点 D. 直线 6.（2024·贵州·真题T8）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7.（2025·贵州·真题T6）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $