专题3 一元二次不等式（讲义）-2027年贵州高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 一元二次不等式 【复习目标】 1.理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的标准形式，能区分一元一次、一元二次不等式。 2.会求解一元二次方程的实数根，能结合二次函数图像，根据抛物线开口方向、方程的根，确定一元二次不等式的解集。 3.会对二次项系数为负数的不等式，先把二次项系数化为正数再求解。 4.能处理简单含参数的一元二次不等式基础题型，会识别无解、全体实数的特殊解集情况。 5.会用区间、集合两种形式书写不等式解集，能够完成学考选择、填空题型，能和集合交并补进行简单综合运算。 【考点1 一元一次不等式】 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的 ． 【即时训练】 1．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 3．一块长方形薄板的长为米，宽为米，面积小于平方米，且．列出的不等式正确的是（　　）. A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，则的值是（　　）. A． B． C． D． 5．关于一元二次不等式，下列说法正确的有（    ） A．对应方程两根为和 B．解集为或 C．解集为 D．不等式对应的二次函数开口向上 6．下列说法正确的是（    ）． A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 7．下列说法正确的是（    ） A．若，且，则的最小值为1 B．若，且，则的最小值为1 C．若关于的不等式的解集为，则 D．关于的不等式的解集为 8．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点2 一元二次不等式】 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x∈R 且x≠x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【即时训练】 9．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 10．若，则的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 11．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 12．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 13．下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 14．设定义在R上的函数，对于给定的正数p，函数，则称函数为的“p界函数”．关于函数的“2界函数”，下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 15．下列选项中，是真命题的有（    ） A．集合没有非空真子集； B．不等式（）在R上恒成立的条件是且； C．，则ab的最大值为； D．若为锐角，则为第一或第二象限角； 16．下列四个不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 简单分式不等式的解法】 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【即时训练】 17．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 18．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 19．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 20．不等式的解集为（）. A． B． C． D． 21．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 22．下列叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．若则“”的充要条件是“” 23．下列命题中假命题有（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．， D．若，则一元二次不等式的解集相同. 24．下列不等式的解集为R的有（    ） A．x2+x+1≥0 B．x2-2x+>0 C．x2+6x+10>0 D．2x2-3x+4<1 1.（2023·贵州·真题T17）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·贵州·真题T3）一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. 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A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形面积公式以及题目中的数量关系列不等式即可. 【详解】已知该长方形薄板的长为米，宽为米，且， 所以其面积平方米， 又因为面积小于平方米，即， 那么可列出不等式. 故选：B. 4．若不等式的解集为，则的值是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式解集的端点值是对应一元二次方程的根这一性质来求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，，即. 故选：A. 5．关于一元二次不等式，下列说法正确的有（    ） A．对应方程两根为和 B．解集为或 C．解集为 D．不等式对应的二次函数开口向上 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系即可得解. 【详解】令，图像为开口向上的抛物线，故正确； 当时，即，解得或，故正确， 则不等式，解得或， 所以解集为或，故正确，错误， 故选：. 6．下列说法正确的是（    ）． A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】ABC 【分析】根据充分必要条件的概念逐项判断即可得解. 【详解】A中，，， 故是的充分不必要条件，故A正确； B中，由不等式的基本性质可知，若，则， 故是的充要条件，故B正确； C中，时，， 即，， 故是的必要不充分条件，故C正确； D中， 或， 故是的必要不充分条件，故D错误. 故选：ABC. 7．下列说法正确的是（    ） A．若，且，则的最小值为1 B．若，且，则的最小值为1 C．若关于的不等式的解集为，则 D．关于的不等式的解集为 【答案】AC 【分析】由基本不等式以及一元二次不等式的解法逐项分析即可. 【详解】对于A，若，且，则， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，若，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1，故B错误； 对于C，因为不等式的解集为，可得，故C正确； 对于D，因为不等式，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，故D错误； 故选：AC. 8．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件，将原题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题. 所以恒成立. 所以.即“”为真命题的充要条件为. 故其充分不必要条件是集合的真子集.则符合题意. 故选：. 【考点2 一元二次不等式】 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x∈R 且x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【即时训练】 9．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解． 【详解】不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 10．若，则的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】可化为，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 11．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得出结论. 【详解】不等式，解得， 故该不等式的解集为. 故选：. 12．不等式的解集是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得出结论. 【详解】不等式解得：或， 故该不等式的解集为. 故选：. 13．下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用全称命题的否定可判断A；全称命题的真假可判断B；结合函数的单调性和充要条件的概念可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：命题“”的否定是“，故A错误； 对于B：因为，所以是真命题，故B正确； 对于C：当时，即在上单调递增，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 故选：BD. 14．设定义在R上的函数，对于给定的正数p，函数，则称函数为的“p界函数”．关于函数的“2界函数”，下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据“p界函数“的定义，逐项判断判断即可． 【详解】由题意得，解得， 由，解得，或，故， 对于A，，，故，，故A正确； 对于B，，，故，，故B错误； 对于C，，，故，故C正确； 对于D，，，故，故D正确． 故选：ACD． 15．下列选项中，是真命题的有（    ） A．集合没有非空真子集； B．不等式（）在R上恒成立的条件是且； C．，则ab的最大值为； D．若为锐角，则为第一或第二象限角； 【答案】ABC 【分析】对于A，利用非空真子集的定义进行判断即可；对于B，利用二次函数的性质即可判断；对于C，利用消元法算出最大值即可判断；对于D，举反例即可 【详解】对于A，集合的子集为和，故没有非空真子集，故A正确； 对于B，由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x轴有一个交点，故，故B正确； 对于C，由可得，所以， 所以当时，ab取到最大值为，故C正确； 对于D，当，则既不是第一象限角，也不是第二象限角，故D不正确 故选：ABC 16．下列四个不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集. 【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集； B选项，，而开口向上，所以解集为空集； C选项，的解集为，所以不为空集； D选项，当且仅当 a = 2时等号成立，而开口向下，所以为空集； 故选：BD 【考点3 简单分式不等式的解法】 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【即时训练】 17．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式，可得， 解得，故该不等式的解集为. 故选：D. 18．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 19．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，可得， 故该不等式的解集为. 故选：A. 20．不等式的解集为（）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，可得， 故该不等式的解集为. 故选：C. 21．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 【答案】BD 【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 22．下列叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．若则“”的充要条件是“” 【答案】AC 【分析】利用充要条件判断四个选项的正误即可． 【详解】A选项：“”“”，但是“”推不出“”，故“”是“”的充分不必要条件，A正确； B选项：若，“”且时，推不出“”，故B不正确； C选项：当时， 方程的根为，不符合有一个正根和一个负根；但若“方程有一个正根和一个负根，则两根之积为负，即，能推出“”，则“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； D选项：当时，满足，但此时不成立，所以若，则“”的充要条件不是“”，故D错误. 故选：AC 23．下列命题中假命题有（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．， D．若，则一元二次不等式的解集相同. 【答案】CD 【分析】利用量词命题的真假性判断AC，利用充分必要条件与集合的关系判断B，举反例排除D，从而得解. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，等价于，即， 而， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，恒成立，故C错误； 对于D，因为，不妨取， 则两不等式等价于以及，后者进一步化为， 两不等式解集显然不同，故D错误. 故选：CD. 24．下列不等式的解集为R的有（    ） A．x2+x+1≥0 B．x2-2x+>0 C．x2+6x+10>0 D．2x2-3x+4<1 【答案】AC 【详解】 解析：A中Δ=12-4×1<0.满足条件；B中Δ=（-2）2-4×>0，解集不为R；C中Δ=62-4×10<0.满足条件； D中不等式可化为2x2-3x+3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能. 题型：解一元二次不等式 难度：A 核心素养：数学运算 1.（2023·贵州·真题T17）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 即，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 2.（2025·贵州·真题T3）一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因， 所以， 解得， 即不等式的解集为. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $