专题2 不等式的基本性质（讲义）-2027年贵州高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 不等式的基本性质 【复习目标】 1.理解不等式的概念，能够区分不等号的含义，会用不等式表示现实中的数量大小关系。 2.熟记不等式的基本性质，掌握不等式两边加减、乘除正数、负数时不等号方向的变化规律，重点牢记同乘（除）负数，不等号要反向。 3.能够利用不等式性质判断命题对错，会给不等式做简单变形，能识别变形过程中的常见错误。 4.可以结合实数大小比较，用作差法比较两个代数式的大小。 5.会应对学考选择、填空题，能结合后续一元一次、一元二次不等式进行综合分析。 【考点1 实数的大小与运算性质的关系】 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0.、 【即时训练】 1．若，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】选项A，已知，在不等式两边同时减去，可得，所以选项A错误； 选项B，已知，在不等式两边同时加上，可得，所以选项B正确； 选项C，已知，在不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，所以选项C错误； 选项D，已知，在不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得到， 进而可得，所以选项D错误. 故选：B. 2．若，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】，故错误，正确； ，故错误； ，故错误， 故选：. 3．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】将化为小数，即可与比较大小． 【详解】，而，所以. 故选：A. 4．已知，，，均为实数，则下列选项中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A：因为，则，又，所以，即，故A项正确； 对B：若，满足，，则，即，故B项错误； 对C：若，满足，则，所以，故C项错误； 对D：若，满足，，则，所以，故D项错误. 故选：BCD. 5．下列说法不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．若实数，，满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；根据代入代数式即可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出的范围，即可判定选项D． 【详解】对A，由，解得或，所以A错误； 对B，由于，对两边同除，得到，所以B正确； 对C，由于，所以，最小值不是,所以C错误； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立， 则，解得， 所以当时，不等式恒成立， 则的取值范围是，所以D错误； 故选：ACD． 6．下列说法正确的是（   ） A．集合是无限集 B．若，则 C．若，则 D．集合与集合没有相同的子集 【答案】ABC 【分析】由集合的概念、子集的概念及不等式的基本性质即可得解. 【详解】A，因为，所以集合是无限集，故A正确； B，，因为，所以，故，故，故B正确； C，由子集的性质可知，C正确； D，集合与集合有公共的子集为，故D错误. 故选：ABC. 【考点2 比较大小的常用方法】 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 【即时训练】 7．某材料每米元，购买米，费用不超过元，可列不等式为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据费用不超过元，列出不等式即可． 【详解】由题意，费用为元， 因为费用不超过元，故不等式为. 故选：A. 8．某商品每件进价元，售价元，利润超过元，应满足（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据利润超过元，列出不等式即可． 【详解】由题意，利润为， 因为利润超过元，所以. 故选：B. 9．某通信套餐月费元，通话每分钟元，设通话分钟，总费用低于元．可列不等式为（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总费用低于元，列出不等式即可. 【详解】由题意，总费用为元， 因为总费用低于元，所以. 故选：D. 10．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由不等式的基本性质逐项分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，选项A错误； 对于B，由不等式的性质可知，若，则，选项B正确； 对于C，若，则，选项C正确； 对于D，当时，，选项D错误． 故选：BC． 11．已知，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质逐一分析判断ABC，再举反例排除D即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，，则，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又， 所以，故，故C正确； 对于D，取，则，故D错误， 故选：ABC. 12．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，判断各选项的结论是否正确. 【详解】由已知得， A选项，不知道的符号，不能比较与的大小，A选项错误； B选项，由，有，B选项正确； C选项，由，有，C选项错误； D选项，由，则，D选项正确. 故选：BD 【考点3 不等式的性质】 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【即时训练】 13．由可推出（　　）. A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】由可推出， 故选：. 14．若，则下列变形错误的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】因为， 则，故正确；，故错误； ，故正确；，故正确， 故选：. 15．某工件长度要求为毫米，设实际长度为毫米，合格范围是（　　）. A． 或 B． C． D． 或 【答案】B 【分析】将已知条件转换成不等式即可. 【详解】工件长度要求为毫米，设实际长度为毫米，合格范围是 故选：B 16．已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A；举例说明判断BCD. 【详解】由及在R上单调递增，可得，A正确； 取，满足，而，B错误； 由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误； 取，满足，而，D错误. 故选：BCD 17．已知为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项AC，可由不等式的性质证明；选项BD，用特值排除法可得 【详解】选项A，因为，若， 当时，，不满足条件， 所以，故，即A正确； 选项B，当时，若，有， 不满足条件，故B错误； 选项C，若，则由不等式的性质有，又，则，故C正确； 选项D，当，则，， 不满足，故D错误. 故选：AC. 18．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；利用对数函数单调性判断B；利用不等式性质判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，，得，，D正确. 故选：BCD 【考点4 区间及有关概念】 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【即时训练】 19．某商品进价元，售价元，要使每件利润不少于元，应满足（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据利润=售价-进价,“不少于”就是大于等于，列出不等式即可. 【详解】由题意，每件利润为元，利润不少于元，可得：. 故选：A 20．某车间计划每天加工不少于60个零件，若每天加工个，则应满足（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“不少于”的含义就是大于等于列式即可. 【详解】不少于表示大于或等于. 由题意得. 故选：B 21．一批货物每箱重 千克，电梯限载 千克，一次最多运箱.正确的不等式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总重量与电梯限载之间的关系列不等式即可. 【详解】由题可知，这批货物的总重量为千克，且不能超过 千克， 所以. 故选：C 22．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意有，利用不等式的性质，判断各选项中的结论是否正确. 【详解】因为，所以， 则有，AD选项正确，B选项错误； 与的大小不确定，C选项不恒成立. 故选：AD 23．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据题意，结合不等式的性质，以及特殊验证，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，当时，，错误； 对于B，因为，所以，又，所以，正确； 对于C，由，可得，根据不等式的性质，可得，正确； 对于D，取，满足，而，错误. 故选：BC 24．下列说法正确的有（    ） A．终边在轴上的角的集合为 B．若，则 C．“”是“”的充要条件 D．若，，，则的最小值为4 【答案】BD 【分析】根据终边在轴上的角的集合为可判断选项；两式作差可判断选项；根据推出关系可判断选项；利用“1”的代换和基本不等式可判断选项. 【详解】选项：终边在轴上的角的集合为，故选项不正确； 选项：由，得，所以，故选项正确； 选项：由可得到，反之当时，不能推出，故选项不正确； 选项：，当且仅当，即时，等号成立，故选项正确. 故选：. 1.（2022·贵州·真题T21）已知，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】∵，， ∴当时，，故A错误. 当时，，故B错误. 根据不等式的性质，不等式两边同时减去，得到，故C正确. 不等式两边同时加上，得到，故D正确. 故选：CD. 2.（2024·贵州·真题T3）若,则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质结合举反例逐个判断即可. 【详解】已知，若，则，所以A错误， 由可得，，所以B错误，D正确. 若则，所以C错误. 故选：D. 3.（2025·贵州·真题T2）已知，下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】因为，当时，，故错误； 因为，则，故正确； 因为，则，故错误； 当时，，故错误， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 不等式的基本性质 【复习目标】 1.理解不等式的概念，能够区分不等号的含义，会用不等式表示现实中的数量大小关系。 2.熟记不等式的基本性质，掌握不等式两边加减、乘除正数、负数时不等号方向的变化规律，重点牢记同乘（除）负数，不等号要反向。 3.能够利用不等式性质判断命题对错，会给不等式做简单变形，能识别变形过程中的常见错误。 4.可以结合实数大小比较，用作差法比较两个代数式的大小。 5.会应对学考选择、填空题，能结合后续一元一次、一元二次不等式进行综合分析。 【考点1 实数的大小与运算性质的关系】 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0.、 【即时训练】 1．若，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 2．若，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 3．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法比较 4．已知，，，均为实数，则下列选项中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 5．下列说法不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．若实数，，满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 6．下列说法正确的是（   ） A．集合是无限集 B．若，则 C．若，则 D．集合与集合没有相同的子集 【考点2 比较大小的常用方法】 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用 、 、 等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 【即时训练】 7．某材料每米元，购买米，费用不超过元，可列不等式为（　　）. A． B． C． D． 8．某商品每件进价元，售价元，利润超过元，应满足（　　）. A． B． C． D． 9．某通信套餐月费元，通话每分钟元，设通话分钟，总费用低于元．可列不等式为（　　）. A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 不等式的性质】 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒ ； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c b＋c；a>b，c>d⇒a＋c b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【即时训练】 13．由可推出（　　）. A． B． C． D．无法判断 14．若，则下列变形错误的是（　　）. A． B． C． D． 15．某工件长度要求为毫米，设实际长度为毫米，合格范围是（　　）. A． 或 B． C． D． 或 16．已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 17．已知为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【考点4 区间及有关概念】 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【即时训练】 19．某商品进价元，售价元，要使每件利润不少于元，应满足（　　）. A． B． C． D． 20．某车间计划每天加工不少于60个零件，若每天加工个，则应满足（　　）. A． B． C． D． 21．一批货物每箱重 千克，电梯限载 千克，一次最多运箱.正确的不等式是（　　）. A． B． C． D． 22．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 23．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．下列说法正确的有（    ） A．终边在轴上的角的集合为 B．若，则 C．“”是“”的充要条件 D．若，，，则的最小值为4 1.（2022·贵州·真题T21）已知，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 2.（2024·贵州·真题T3）若,则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025·贵州·真题T2）已知，下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $