2.3.4圆与圆的位置关系（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的五种位置关系，系统讲解几何判定法、代数判定法及公共弦、公切线等核心内容。通过复习直线与圆位置关系，结合奥运五环等生活情境设问，构建“图形直观—数量关系—代数验证”的探究支架。 其亮点是互动探究与分层训练结合，通过几何法与代数法对比培养数学思维，典例分析和举一反三提升问题解决能力。小结梳理知识与方法，帮助学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径，助力提升教学效率。

第二章 平面解析几何 2.3.4圆与圆的位置关系 2.3圆及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 理解圆与圆的五种位置关系，分别为外离、外切、相交、内切、内含，能够准确区分五种位置关系的图形特征与公共点个数。掌握两圆位置关系的几何判定法：利用圆心距d与两圆半径的数量关系，精准判定两圆位置关系。掌握两圆位置关系的代数判定法：通过联立两圆的标准方程或一般方程，根据方程组解的个数判断两圆位置关系。掌握两圆相切、相交的核心性质，了解两圆公共弦的基本特征与简单应用。 类比直线与圆的位置关系的探究方法，引导学生自主观察、猜想、推导，经历“图形直观—数量关系—代数验证”的探究过程，培养数形结合、类比推理的数学思维。 通过对比几何法与代数法的优劣，学会根据题目条件灵活选择判定方法，提升运算能力与问题优化求解能力。 在探究两圆位置关系的过程中，体会几何问题代数化的解析几何核心思想，提升数学抽象与逻辑推理素养。 复习回顾 之前我们已经系统学习了直线与圆的位置关系，大家回忆一下：我们是通过哪两种方法判定直线与圆的位置关系的？ （回答：几何法、代数法） 核心依据分别是什么？ 几何法通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判定 代数法通过联立方程的解的个数判定，核心思想都是数形结合。 情境设问 生活中随处可见两个圆形图案组合的画面：奥运五环的环环相扣、齿轮的咬合、大小圆盘的嵌套、两圆相离的装饰图案等。这些图形中，两个圆的相对位置各不相同，呈现出不同的位置关系。 我们已经掌握了单个圆的方程、直线与圆的位置关系，那么两个圆之间有几种位置关系？能否类比直线与圆的判定方法，用圆心距、半径、方程联立的方式，精准判定两圆的位置关系？ 带着这些问题，今天我们一同探究《圆与圆的位置关系》。 目标一：圆与圆的位置关系 位置关系 知识讲解 互动探究 新课引入 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图 事实上,外离和内含统称为相离,外切和内切统称为相切,则圆与圆的位置关系可大致分为三类:两圆相离——没有公共点,两圆相切——有唯一公共点,两圆相交——有两个不同的公共点。 说明, 6 圆与圆的位置关系的判断 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 几何法： 由两圆的圆心距 d 与半径长 r，R（R>r）的关系来判断。 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 的关系 7 圆与圆的位置关系的判断 知识讲解 互动探究 新课引入 (2)代数法:设圆 , 圆 。 对于方程组消去, ,得到一个二元一次方程,然后将其代入其中 一个圆的方程,得到一个一元二次方程。利用判 别式判断两圆的位置关系如下: 方程有两个不同的实数解两圆相交; 方程有两个相同的实数解两圆相切(外 切或内切); 方程没有实数解两圆相离(外离或内含)。 8 （多选）当实数 𝑚 变化时，圆 与圆 的位置关系可能是（ ）。 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 对点体验 圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，则 ，，， 因为 ， 当 时，两圆内切；当 3 时,两圆相交;当时,两圆外切; 当时,两圆外离,所以两圆的位置 关系可能是相切、外离、相交。故选 ABC。 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程； (2)求出两圆的圆心坐标和半径； (3)求两圆的圆心距； (4)比较与的大小关系； (5)给出结论。 题型1 判断两圆的位置关系 例1 分别判断下列两个圆的位置关系： ; 典例分析 牛刀小试 解: (1) 由方程可知圆 的圆心为 , 半径 ; 圆 的圆心为 , 半径 , 因此两圆的圆心距 , 又因为 , 所以 , 从而两个圆相交. 题型1 判断两圆的位置关系 例1 分别判断下列两个圆的位置关系： ; 典例分析 牛刀小试 解: (2) 将两圆的方程化为标准方程, 分别为 , , 由此可知圆 的圆心为 , 半径 ; 圆 的圆心为 半径 , 因此两圆的圆心距 , 又因为 , 所以 , 从而可知两圆内切. 目标二：两圆的公共弦 求两圆交点 知识讲解 互动探究 新课引入 判断圆 =4 与圆 的位置关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程． 解: 两圆的圆心距为 , 又因为 所以圆 与圆 相交. 解方程组 , 可得 或 因此两圆的交点为 , 从而可以求得交点所在的直线方程为 . 14 两圆方程相减 知识讲解 互动探究 新课引入 判断圆 =4 与圆 的位置关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程． 设圆 与圆 的交点为 ,则 的坐标都满足方程组 将方程组的第一式减去第二式, 整理可得 . 显然, 的坐标都满足上式, 又因为两点能确定一条直线, 所以上式就是所求直线的方程. 15 两圆公共弦所在的直线方程： 两圆相交时,有一条公共弦,如图 2 - 3 - 4 - 2。 设圆 , ① 圆 。 ② ① ②, 得 。 ③ 若圆 与圆 相交, 则③为公共弦所在直线方程。 设 为圆 与圆 的交点, 则点 满足 和 , 所以 , 即点 适合直线方程, 故 在③所对应的直线上, ③表示过两圆 与 交点的直线, 即③为公共弦所在的直线方程。 题型2 公共弦长度 例2 已知圆 -10x-10y=0 和圆 +6x+2y-40=0 相交于 A,B 两点, ‾。 典例分析 牛刀小试 先求公共弦所在直线方程，然后用联立法求弦端点坐标，再求弦长或者用几何法求弦长。 解 方法一:将两圆的方程相减,并整理得 ,此方程即公共弦 所在直线的方程。由 解得 不妨设点的坐标分别是, 故。 题型2 公共弦长度 例2 已知圆 -10x-10y=0 和圆 +6x+2y-40=0 相交于 A,B 两点, ‾。 典例分析 牛刀小试 方法二:同方法一,先求出公 共弦所在直线的方程为 。如图过点作 ,垂足为点,连接。 圆的圆心,半径, 。 目标三：两圆的公切线 两圆公切线条数 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线,可分为外公切线和内公切线。 两圆的公切线有下列 5 种情况 ①外离时,有4条公切线,分别是2条外公切线,2 条内公切线； ②外切时,有3条公切线,分别是2条外公切线,1 条内公切线；③相交时,有2条公切线,都是外公切线; ④内切时,有1条公切线; ⑤内含时,无公切线。 两圆公切线方程 ①当公切线的斜率存在时,可设公切线方程为 ,由公切线的意义(两圆公共的切线)可 知,两圆心到直线 的距离分别等于两 圆的半径,这样得到关于 和 的方程组成的方 程组。解这个方程组得到 的值,从而得到公 切线的方程。 ②当公切线的斜率不存在时,要注意运用数形结 合法,观察并写出公切线的方程。 题型3 公切线方程 例3 求圆 O:=36 与圆 M:-10y+16=0 的公切线方程。 典例分析 牛刀小试 答 圆 的圆心为 , 半径 , 圆 的圆心为 , 半径 , 则两圆的圆心距 , 由 知两圆相交,所以存在两条公切线。 方法一:易知所求公切线的斜率存在。设两圆公切线的方程为 , 即 。则由圆心到切线的距离等于相应圆的半径得 径得 题型3 公切线方程 例3 求圆 O:=36 与圆 M:-10y+16=0 的公切线方程。 典例分析 牛刀小试 解得 故两圆的公切线方程为 或 ，即 或 . 目标四：针对训练 举一反三 1.圆与圆外切，则 A.2 B. C.2 或 D.不确定 解析：圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为2.依题意有 ,即,解得或. 举一反三 2.已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数 A.14 B.34 C.14 或 45 D.34 或 14 解析：设圆、圆的半径分别为，.圆的方程可化为 ，圆的方程可化为.由 两圆相切得，或，因为 所以或，解得或或（舍去）.因 此，或，解得或. 举一反三 3.圆与圆有三条公切线, 则半径 A.5 B.4 C.3 D.2 解析: 由圆, 得.所以圆心坐标为,半径为2.由圆, 得圆心坐标为, 半径为.因为圆与圆有三条公切线, 所以两圆外切 所以, 即, 所以. 举一反三 4.已知圆，圆则两圆的位置关系是( ) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 答案：D 解析：易知，，，，所以 5.若 ，则圆与的位置关系是__________. 答案：外切 解析：易知，，，两圆圆心的距离 ，故两圆外切. 举一反三 6.已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最小值是__________. 解析：将圆 的方程化为标准方程，得，故圆心为，半径.因为直线上至少存在一点，使得以点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于2，即，解得，所以实数的最小值是. 举一反三 7.已知圆与圆交于，两点，且这两点平分圆的圆周，则圆的半径最小时圆的方程为__________. 解析：两圆公共弦所在的直线方程为， 又，两点平分圆的圆周，直线经过圆心，把点 的坐标代入直线方程可得.又， . 圆的半径，当时，圆半径最小， 此时，，故所求圆的方程为. 目标五：小结 学海拾贝 （一）知识梳理 1. 五种位置关系（按公共点个数分类）：外离（0个公共点）、外切（1个公共点）、相交（2个公共点）、内切（1个公共点）、内含（0个公共点）。 2. 核心几何判定公式（ 。 3. 代数判定方法：联立两圆方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断：∆>0两圆相交；∆=0两圆相切（内切或外切）；∆<0两圆相离（外离或内含）。 4. 重要性质：两圆相切时，连心线过切点；两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。 学海拾贝 （二）方法总结 1. 解题优先策略：判断位置关系优先用几何法，计算简便、可精准区分五种关系；代数法无法区分外离与内含、内切与外切，适合验证相交、相切情况。 2. 核心数学思想：贯穿数形结合、类比推理、分类讨论三大思想，实现几何图形与代数方程的相互转化。 学海拾贝 (三）易错提醒 1. 相切问题必须分类讨论：分为外切、内切两种情况，避免漏解； 2. 内含包含两圆同心的特殊情况，需注意圆心距为0的场景； 3. 代数法判定时，不可仅凭∆直接下定论，需结合圆心距与半径进一步细化区分。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $