阶段检测3-函数(巩固卷1)单元检测-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学第三单元“函数(一)”一轮复习单元卷，通过选择、填空、解答题分层考查函数定义域、奇偶性、单调性、周期性等核心知识，注重逻辑推理与数学抽象，适配一轮复习基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|定义域（第2题）、最值（第3题）|基础概念辨析，强调数学眼光观察| |多选|4题20分|奇偶性与单调性（第9题）、新定义“递增黄金区间”（第11题）|能力提升，突出逻辑推理| |填空|4题20分|分段函数求值（第13题）、开放条件（第15题）|分层设疑，培养创新意识| |解答|1题10分|奇函数判定与恒成立问题（第17题）|综合应用，体现数学语言表达|

第三单元　函数(一) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知函数 ，则 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 2. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 3. 若函数 ，则 在 上的最大值与最小值之和为 ( ) A. -2 B. C. 0 D. 4. 已知函数 ( ，若 ，则 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 。若 ，则 ( ) A. -50 B. 0 C. 2 D. 50 6. 函数 在 上是增函数，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， 。已知 ，则( ) A. B. C. D. 8. 已知定义在 R 上的函数 满足： ，且当 时， ，则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9. 已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减，则 ( ) A. B. C. D. 10. 已知函数 ，则 ( ) A. 的定义域为 B. 的图象关于直线 对称 C. D. 的值域是 11. 对于定义在 上的函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列两个条件： ① 在区间 上为增函数；② 当 时，函数 值域也为 ，则称 是函数 的一个“递增黄金区间”。下列函数中存在“递增黄金区间”的是 ( ) A. B. C. D. 12. 已知 是定义域为 的函数，满足 ，当 时， ，则下列说法正确的有 ( ) A. 函数 的最小正周期为 4 B. 函数 的图象关于直线 对称 C. 当 时，函数 的最大值为 2 D. 当 时，函数 的最小值为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知函数 若 ，则 ___. 14. 若函数 为偶函数，则实数 ___. 15. 函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是___. (只要写出一个符合条件的即可) 16. 设 是定义在 R 上的不恒为零的函数，且满足 为偶函数， 为奇函数，则 ___. 四、解答题：本题共 1 小题，共 10 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知函数 满足 。 (1)是否存在 ，使得函数 为奇函数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 (2)若 ， ，求实数 的取值范围。 参考答案与解析 1. D 【深度解析】因为 ，令 ，则 ，所以 。故选 D。 2. D 【深度解析】由题意得 解得 ，即函数 的定义域为 。故选 D。 3. A 【深度解析】令 ，则 ，所以 ，则 。其图象的对称轴方程为 ，所以 在 上单调递增， ，所以 在 上的最大值与最小值之和为 ，故选 A。 方法速记 已知 求 的解析式，利用换元法，设 。 4. B 【深度解析】令 ，其定义域为 ，且 ，故 为奇函数。则 ，又 ，故 0。故选 B。 方法速记 函数 ，若 为奇函数，则 5. C 【深度解析】 为定义在 上的奇函数，且 ，所以 (提示：因为 为奇函数，所以 )，所以 ，所以 ，故 是以 4 为周期的周期函数(关键：利用函数的奇偶性和图象对称性求出函数的周期)。则 。由 ，得 ， ，所以 。因为 为定义在 上的奇函数，所以 。因为 ，所以 ，所以 。故选 C。 一题多解 由 ，可知函数 的图象关于直线 对称，又 为定义在 上的奇函数，所以 是以 4 为周期的周期函数。则 。因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，由 ，得 (提示：将 代入)。又 ，所以 ，所以 。所以 2。故选 C。 6. C 【深度解析】因为 ，所以 的定义域为 (易错：注意先确定定义域)。 若 ，则 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，不符合题意。若 ，则 在 上单调递增， 在 上单调递减，所以 在 上单调递增。因为 在 上是增函数，所以 ，解得 ，即 。因为 ，故 在 上单调递增，所以 ，故选 C。 7. A 【深度解析】因为 为定义在 上的偶函数，所以 。又 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 是以 4 为周期的周期函数。由 可知， 的图象关于点 对称 (提示：若 满足 ，则 的图象关于点 对称)，则 的图象关于点 对称。当 时， ，所以 在 上单调递增。由函数图象的对称性知， 在 和 上单调递减。 ， (关键：利用周期性和奇偶性将 的函数值转化为区间 上的函数值)。因为 ，即 ，所以 ，又 4，所以 。由条件知 ，所以 。所以 ，即 。故选 A。 快解 由 可知， 的图象关于点 对称。又 为定义在 上的偶函数，所以 是以 4 为周期的周期函数。后同深度解析。 方法速记 若 满足 ，则 的图象关于点 对称；若 满足 ，则 的图象关于点 对称；若 满足 ，则 的图象关于直线 对称。 8. A 【深度解析】在 中，取 可得 ，又 ，所以 。又 2，所以 ，所以 。因为当 时， ，所以当 时， ，所以 。又 ，所以 。故选 A。 9. BD 【深度解析】 是 上的偶函数，且在 上单调递减， 在 上单调递增， ，但无法判断 与 的正负及 与 的大小关系， 无法判断 与 的大小关系， 错误； 是 上的奇函数，且在 上单调递减， 在 上单调递减， ， 正确； 错误； ， ，D 正确。故选 BD。 10. AC 【深度解析】对于选项 由 ，可得 ，所以 的定义域为 ，故 正确；对于选项 : 解法一：因为 ，即 ，所以 的图象不关于直线 对称，故 错误；解法二：因为 ，所以 的图象不关于直线 对称，故 错误；对于选项 : 因为 ，所以 ，故 正确；对于选项 :因为 ，且 ，所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，所以 的值域是 ，故 错误。故选 AC。 11. BC 【深度解析】对于 选项，函数 在区间 上为增函数，且当 时， ，故 不满足条件。对于 选项，函数 在区间 上单调递增，且当 时， ，即函数 存在“递增黄金区间”，故 满足条件。对于 选项，假设函数 存在“递增黄金区间” 。因为函数 在区间 上单调递增，根据题意可得 所以 为函数 与函数 图象交点的横坐标。两函数图象如图所示。 由图象可知，直线 与函数 的图象有两个公共点，故 满足条件。对于 选项，假设函数 存在“递增黄金区间” ，则 。因为函数 在区间 上单调递增，根据题意可得 所以 为函数 与函数 图象交点的横坐标。令 ，其中 (关键：构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，从而得到 )，则 ，令 可得 ，当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， 0，此时函数 单调递减，故 ，故方程 无解，故 不满足条件。 12. ABC 【深度解析】对于选项 的最小正周期为 4。故 A 正确。对于选项 B， 的图象关于直线 对称。故 正确。对于选项 ，当 时， 的图象关于直线 对称， 当 时， 。故 正确。对于选项 ， 的最小正周期为 在 上的最小值，即为 在 上的最小值。 当 时， ，又 的图象关于直线 对称， 当 时， 在 上的最小值为 ，故 错误。故选 。 关键点拨 (1)若 满足 ，则 的最小正周期为 4。(2)若 满足 ，则 的图象关于直线 对称。 13. 0 或 必刷知识、已知分段函数的函数值求参数 【深度解析】因为 ，所以 。当 时， ，解得 。当 时， ，解得 。综上所述， 的值为 0 或 。 关键点拨 根据已知条件求出 ，对 分类讨论解方程求解。 14. -1 【深度解析】因为函数 为偶函数，所以 恒成立，即 恒成立。所以 恒成立，所以 恒成立，所以 恒成立，所以 解得 。 15. (答案不唯一) 【深度解析】因为 在 上单调递减，所以 (易错：容易忽略条件 ) 解得 ，所以 的取值范围为 ，其任一非空真子集都可以)。 关键点拨 利用分段函数整体单调递减，分段也是单调递减求出 的取值范围。 16. 0 【深度解析】由 为偶函数，得函数 的图象关于直线 对称，则有 ；由函数 为奇函数，得函数 的图象关于点 对称，则 ，所以 。设 ，则 ，从而函数 是周期为 4 的函数。由函数 的图象关于点 对称，得 且 。由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 一题多解 由 为偶函数，得 (提示：偶函数的定义)，将 代入得 ；由函数 为奇函数，得 (提示：奇函数的定义)，所以 ，所以函数 是周期为 4 的函数。由 ，得 ；由 ，得 ，即 。所以 。 方法速记 若 ( 为常数)为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称；若 ( 为常数) 为奇函数，则函数 的图象关于点 对称。 17. 【解】(1) 由 ， 得 ， 两个等式联立，消去 得 。 。 若 为奇函数，则 ，解得 。 存在 ，使得函数 为奇函数，且 的值为 4。 (2)设函数 ， 则 。 当 或 时， ；当 时， 。 函数 在 上单调递增，在 上单调递减。 又 时， 。 对 恒成立。又由 (1) 知 对 恒成立。 设函数 ，令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 取得最小值 。 实数 的取值范围为 。 关键点拨 解题的关键是能够将恒成立的不等式转化为 ，结合导数求得 后，采用分离变量的方式求得 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $