第二十六章 二次函数 单元测试基础巩固卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第二十六章二次函数基础巩固卷，以基础题为主，融入实际应用情境，适配单元复习，助力提升抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|平移、顶点坐标、对称轴|结合图象辨析，如第4题分析抛物线与坐标轴交点，培养几何直观| |填空题|4/12|图象性质、实际应用|喷水池水柱问题（第10题），体现模型意识| |解答题|6/64|解析式、最值、实际建模|矩形花园篱笆问题（第17题），综合考查函数应用，发展应用意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 基础巩固卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将抛物线向上平移个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 先写出原抛物线顶点，根据平移规律：上加下减，得到平移后顶点。 【详解】 抛物线顶点为，向上平移个单位，纵坐标，平移后顶点。故选 A。 2.已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 开口向上，对称轴，点离对称轴越远函数值越大，计算各点到对称轴距离。 【详解】 ，开口向上，对称轴直线。 到对称轴距离：； 到对称轴距离：； 到对称轴距离：。 距离：，开口向上，距离越远越大，故。故选 C。 3.关于二次函数的图象，下列说法正确的是． A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 最大值是 D. 由抛物线向右平移个单位长度可以得到 【答案】C 【分析】 顶点式，对称轴，顶点；开口向下有最大值；左加右减平移。 【详解】 ， 对称轴直线，顶点，A、B 错误； 开口向下，函数最大值为，C 正确； 向左平移个单位得到该抛物线，D 错误。故选 C。 4.如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若点坐标为，点坐标为，则下列说法正确的是(    ) A. B. 该抛物线的对称轴是直线 C. 当与时，值相等 D. 若时， 【答案】C 【分析】 两根求对称轴；开口向上，利用对称轴判断对称点函数值；看 x 轴上方部分。 【详解】 ，对称轴：，B 错误； 图像开口向上，，对称轴，A 错误； 与到对称轴距离都为，两点关于对称轴对称，函数值相等，C 正确； 开口向上，解集：或，D 错误。故选 C。 5.如表给出了二次函数中与之间的几组对应值，则下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的顶点坐标为 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数的最小值为 【答案】D 【分析】 ；，两点纵坐标相等，对称轴。 【详解】 对称轴直线，，顶点，A 错； ，，B 错； 对称轴，顶点为最低点，开口向上；，随增大而减小；，随增大而增大，C 错； 开口向上，顶点处取最小值，D 正确。故选 D。 6.对于抛物线，当时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】二次函数中，，抛物线开口向上． 抛物线的对称轴是轴， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小． 当时，取得最小值，为 当时，当时，， 当时，． 7.已知二次函数，则它的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 化为顶点式，开口向上，顶点。 【详解】 ，开口向上，顶点，据此匹配图像，选 A。 8.如图，二次函数为常数，的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：关于的方程的解是，其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】根据图象可得抛物线的开口向下，交轴于正半轴， ，，抛物线的对称轴在轴右侧，即， ，，故结论正确 由函数的图象可得当时，，即， ，故结论错误 二次函数的图象交轴于，两点，点，点， 关于的方程的解是，， ，故结论正确． 综上，结论正确的有个故选C． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在同一平面直角坐标系中，关于函数，，的图象，下列结论正确的有          填序号 都是关于轴对称顶点都在坐标轴上 图象都有最低点都与轴有交点． 【答案】  【解析】分析如下表： 对称轴 顶点坐标 有无最高、最低点 与轴有无交点 直线 有最低点 有 轴 有最高点 无 轴 有最低点 有 故正确． 10.在某圆形喷水池中心竖直安装一根水管，在水管顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系若喷出的抛物线形水柱的函数解析式为，则水管的长为           e 【答案】 【分析】 水管长度就是时的函数值。 【详解】 将代入解析式： 。水管长。 11.已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： 当时，的取值范围是          ． 【答案】或 【分析】 ；，对称轴；已知一个零点，利用对称求另一零点。 【详解】 与函数值相等，对称轴。 一个交点，由对称轴，另一交点：。 表格可见开口向下；，图像在轴下方，或。 12.如图，将抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到新抛物线，曲线段平移至曲线段的位置，则阴影部分的面积是          ． 【答案】 【分析】 平移，阴影面积等价为底 × 平移距离；向下平移，图形平移距离为。 【详解】 抛物线，令，，水平宽度；向下平移个单位；阴影面积。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 二次函数的图象与直线交于点． 求，的值； 写出二次函数的解析式，并指出取何值时，随的增大而增大； 指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】 (1)解：二次函数的图象与直线交于点， 把代入， 得， 则. 把（1，1）代入中， 得， . (2). ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. (3)由可得，抛物线的顶点坐标为（0，0）， 对称轴为直线（或轴）.  14.本小题分 已知是二次函数，且其图象开口向下． 求的值 求函数图象的顶点坐标和对称轴 若，求的最大值和最小值． 【答案】 (1) 解:根据题意, 得k+2<0,且+k-4=2, 解得k=-.  (2)由(1),得k=-3,则y=-. 函数图象的顶点坐标为(),对称轴为y轴.  (3)-1x2,-1<0, 当x=0时,y有最大值,最大值为0; 当x=2时,y有最小值,最小值为-=-.  15.本小题分 已知函数． 写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴 求出该函数图象与轴的交点坐标 当的取值范围是多少时，随的增大而增大 当为何值时，函数有最大值或最小值并求出函数的最值． 【答案】 (1) 解：∵， ∴函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线。  (2)解：令，则， 整理得， 解得，， 故函数图象与x轴的交点坐标为和。  (3)解：∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大。  (4)解：∵，函数图象开口向下， ∴函数有最大值，当时，最大值为。  16.本小题分 如图，已知抛物线的图象与轴交于点，顶点为． 试确定的值，并写出点的坐标． 试在轴上求一点，使得的周长取最小值． 【答案】 (1) 解:将A(0,-2)代入y=a-3, 得-2=a-. a=. 抛物线的解析式为y=-. B(1,-3).  (2)设点A关于x轴的对称点为C, C(). 设直线CB的解析式为y=mx+n,直线CB与x轴交于点P,此时PAB的周长取最小值. 把C()和B(1,-3)代入y=mx+n, 得 解得 直线CB的解析式为y=-5x+. 令y=0,得-5x+2=0, x=. 点P的坐标为(,0).  17.本小题分 如图，某矩形花园一边靠墙，墙长，另外三边用长为的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为的门不用篱笆设矩形花园垂直于墙的一边的长为，面积为． 的长为          用含的代数式表示 求与之间的函数解析式，并写出的取值范围 求花园面积的最大值． 【答案】 (1) 垂直两边总长；门不需要篱笆，平行墙方向：。 (2) 面积。 墙长限制： ； 。 ，自变量取值范围。 (3)， 对称轴， a=-2<0 开口向下。 当，取得最大面积。 18.本小题分 如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式． 点是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动点不与点，重合，过点作轴，交直线于点请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标． 【答案】 (1)将A()代入y=+m, 得m+1=0, 解得m=-. 二次函数的解析式为y=-1=-4x+. C(),B(). 将A(),B()代入y=kx+b, 得 解得 一次函数的解析式为y=x-.  (2)设P(t,-4t+3),则D(t,t-1),其中1< t<4, DP=t-1-(-4t+3)=-+5t-4=-+. 当t=时,线段DP有最大值,最大值为, 此时点P的坐标为(,-).  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 基础巩固卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将抛物线向上平移个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 2.已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 3.关于二次函数的图象，下列说法正确的是． A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 最大值是 D. 由抛物线向右平移个单位长度可以得到 4.如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若点坐标为，点坐标为，则下列说法正确的是(    ) A. B. 该抛物线的对称轴是直线 C. 当与时，值相等 D. 若时， 5.如表给出了二次函数中与之间的几组对应值，则下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的顶点坐标为 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数的最小值为 6.对于抛物线，当时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数，则它的图象大致为(    ) A. B. C. D. 8.如图，二次函数为常数，的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：关于的方程的解是，其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在同一平面直角坐标系中，关于函数，，的图象，下列结论正确的有          填序号 都是关于轴对称顶点都在坐标轴上 图象都有最低点都与轴有交点． 10.在某圆形喷水池中心竖直安装一根水管，在水管顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系若喷出的抛物线形水柱的函数解析式为，则水管的长为           11.已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： 当时，的取值范围是          ． 12.如图，将抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到新抛物线，曲线段平移至曲线段的位置，则阴影部分的面积是          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分二次函数的图象与直线交于点． 求，的值； 写出二次函数的解析式，并指出取何值时，随的增大而增大； 指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 14.本小题分已知是二次函数，且其图象开口向下． 求的值 求函数图象的顶点坐标和对称轴 若，求的最大值和最小值． 15.本小题分已知函数． 写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴 求出该函数图象与轴的交点坐标 当的取值范围是多少时，随的增大而增大 当为何值时，函数有最大值或最小值并求出函数的最值． 16.本小题10分 如图，已知抛物线的图象与轴交于点，顶点为． 试确定的值，并写出点的坐标． 试在轴上求一点，使得的周长取最小值． 17.本小题分如图，某矩形花园一边靠墙，墙长，另外三边用长为的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为的门不用篱笆设矩形花园垂直于墙的一边的长为，面积为． 的长为          用含的代数式表示 求与之间的函数解析式，并写出的取值范围 求花园面积的最大值． 18.本小题分如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式． 点是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动点不与点，重合，过点作轴，交直线于点请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $