陕西渭南市瑞泉中学2026-2027学年上学期高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 开学检测卷聚焦基础巩固与能力衔接，通过函数、几何等核心知识考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配高中起始阶段学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|集合、函数概念、不等式|结合生活情境考查数感与符号意识| |填空题|4/20|数列、立体几何初步|设置开放问题发展创新意识| |解答题|6/82|函数导数、立体几何、概率统计|综合题融合推理能力与数据分析，贴近高考命题趋势|

瑞泉中学高二开学考试数学试题参考答案 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A 2．答案：B 3．答案：A 4．答案：B 5．答案：D 6．答案：A 7．答案：D 8．答案：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．答案：ABD 10．答案：ABC 11．答案：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案： 13．答案：0.18 14．答案： 6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解析：（1）由题意知解得 ∴直线：和：的交点为． 设直线的斜率为，∵直线与直线垂直，， ∴直线的方程为，即． （2）设圆的半径为（），圆心到直线：的距离，由垂径定理得，解得，∴圆的标准方程为． 16．答案：（1） （2） 解析：（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由的面积为，得，所以． 由余弦定理，得， 所以． 17．答案：（1）；76.2 （2） 解析：（1）由频率分布直方图可得，，解得，；这50名学生的物理成绩的平均数为： ； （2）由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，，内有3人，设为，，， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件“2人成绩都在内”， 由古典概型概率公式可得，． 即这2人成绩都在内的概率为． 18．答案：（1）； （2）（）； （3）． 解析：（1）函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为． （2）由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是（）． （3）当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围． 19．答案：（1）连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）因为平面，，平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞泉中学高二开学考试数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．过点，的直线的斜率为，则的值为（ ） A．6 B．1 C．2 D．4 4．在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知正数，满足，则的最小值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数（）在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A．众数为65 B．极差为7 C．平均数为65.4 D．80%分位数为67.5 10．已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 11．已知幂函数（），则下列说法正确的是（ ） A． B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若函数（，且）在上单调递增，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若圆台上、下底面直径分别为2和4，高为，则此圆台的体积为_________． 13．已知随机事件与对立，与相互独立，若，，则_________． 14．已知圆：，从点向圆作两条切线，，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为_________（2分）；点到直线的最小距离为_________（3分）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线经过：和：的交点，且与直线垂直． （1）求直线的方程；（6分） （2）若圆的圆心为，直线被该圆截得的弦长为，求圆的标准方程．（7分） 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求． 17．一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率． 18．已知（，），且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围． 19．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $