03-第29讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积与应用”专题，依据课标要求覆盖概念理解、运算求解、几何与物理应用等核心考点，通过知识聚焦梳理定义性质，易错辨析点明常见误区，归纳出数量积运算、模与夹角求解、投影向量等高频题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养落地”，如以2025全国二卷向量垂直题为例，详解坐标法求模的“公式法+方程思想”，培养学生运算能力与推理意识，通过物理应用案例渗透数学建模，帮助学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第29讲 平面向量的数量积与平面向 量应用举例 1 【课标要求】 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会 计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量垂直. 6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问 题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 2 知识聚焦 1.平面向量的数量积 （1）向量的夹角 ①定义:已知两个非零向量,（如图）, 是平面内任 意一点,作,,则 叫 作向量与 的夹角. ②性质:当时,与同向;当 时,与 反向. ③向量垂直:如果与的夹角是,我们说与垂直,记作 . 课 前 基 础 巩 固 3 （2）数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,我们把数量___________叫 作向量与的数量积（或内积）,记作,即 ___________. 规定:零向量与任一向量的数量积为___,即 . （3）投影向量 0 如图,在平面内任取一点,作, , 过点作直线的垂线,垂足为 ,则_____就 是向量在向量 上的投影向量,且 为与 方向相同的单位向量 . 课 前 基 础 巩 固 4 2.平面向量数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量. ① ________. ② _________. ③当与同向时,______;当与反向时, ________.特别 地,_____或 _______. ④___ . 课 前 基 础 巩 固 5 3.平面向量数量积的运算律 对于向量,,和实数 ,有 ①交换律:____________; ②数乘结合律:________________ ; ③分配律: ___________. 课 前 基 础 巩 固 6 4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量,,,为与 的夹角. 向量表示 坐标表示 向量 的模 __________ , 的数量积 , ____________ 与 垂直 _______________ 与 的夹角 , , _ ____________ 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.设,为两个平面向量,则有恒等式 . 2. . 3.若两个向量与的夹角为锐角,则,反之不成立（因为与 的夹角为0时不成立）. 4.若两个向量与的夹角为钝角,则,反之不成立（因为与 的夹角为 时不成立）. 课 前 基 础 巩 固 8 课前演练 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若，，为非零向量，则 .( ) × [解析] 因为表示的是与共线的向量，表示的是与 共线的向量，所以 不一定成立，故错误. （2）若，则 .( ) × [解析] 当时，满足，但 不一定成立，故 错误. 课 前 基 础 巩 固 9 （3）若，则或 .( ) × [解析] 当时，与可能均为非零向量且 ，故错误. 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 教材改编 1.若,,,的夹角为 ,则 ( ) A. B. C. D.2 [解析] .故选B. √ 课 前 基 础 巩 固 11 2.已知向量,满足,,,则 ( ) A. B.4 C.6 D.8 [解析] , 则 .故选A. √ 课 前 基 础 巩 固 12 3.已知向量，，若是在上的投影向量，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得, ， 所以 .故选C. √ 课 前 基 础 巩 固 13 4.已知,,那么,的夹角 ______. [解析] ,,, , , . 又 , . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 平面向量数量积的运算 例1（1）[2026·河北张家口模拟]在中， ， ，则 ( ) A.2 B. C. D. [解析] 依题意得， .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 15 （2）[2026·福建厦门质检]在梯形中，， ， ，， ，则 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12 [解析] 如图，由题可知 ，所以 . 因为 ，所以 ,故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 16 （3）已知点在圆上，，，则 的 值为_____. [解析] 圆的半径为 . 设，则 ， ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 17 总结反思 计算平面向量数量积的方法 （1）利用定义：， . （2）利用坐标运算，若， ，则 . （3）利用基底法求数量积. （4）灵活运用平面向量数量积的几何意义. 课 堂 考 点 探 究 18 【对点演练1】（1）[2025·重庆质检]已知 为单位向量，向量 ，若 , ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] , ， , . 故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 19 （2）[2025·湖南长沙模拟]已知菱形的边长为1, , 是的中点，与相交于点，则 ( ) A. B. C.1 D. √ [解析] 如图，由题可知 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，故 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 平面向量数量积的应用 题型1 平面向量的模 例2（1）[2025·湖北十堰调研]已知单位向量,满足 ，则 ( ) A.0 B.1 C.2 D. [解析] ，则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 21 （2）[2025· 全国二卷] 已知平面向量, ，若 ,则 ____. [解析] 因为, ， ，所以，解得 , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 22 题型2 平面向量的夹角 例3（1）已知向量,满足，且 ， 则, 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，由 ，得 ，即 ， 所以，则，所以, . 又， ,所以,的夹角为，故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 23 （2）[2025·黑龙江大庆质检]已知向量, , ，则向量与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 因为向量,所以 . 又 ，所以 . 设向量与的夹角为 ,，则 ， 所以 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 24 题型3 投影向量 例4（1）[2026·江西赣州二模]若向量，满足， ， 则在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. [解析] 由投影向量的定义知，在 上的投影向量为 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 25 （2）已知向量,，则在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，.在 上的投 影向量为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 26 总结反思 1.求平面向量的模的方法: （1）公式法:或 ; ② ; ③若,则 . （2）几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边 形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 课 堂 考 点 探 究 27 2.求平面向量夹角的方法: （1）定义法:利用向量数量积的定义,得,,其中向量, 夹角的取值范围为, . （2）坐标法:已知非零向量,,则 , . 课 堂 考 点 探 究 28 3.求投影向量的方法: （1）在上的投影向量为 为,的夹角,在 上的 投影向量为 . （2）在上的投影向量为,在上的投影向量为 . 课 堂 考 点 探 究 29 【对点演练2】（1）[2025·陕西商洛模拟]已知 ，则 在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由 ，可得 ，即 ，即 ，所以，即. 如图所示，设, ， 则四边形为矩形，， 所以在 上的投影向量为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 30 （2）[2025·辽宁沈阳三模]已知向量，满足 ， ，则 等于( ) A.12 B.10 C. D. [解析] 由，得，即 ，又 ，所以 ，所以 ，故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 31 探究点三 平面向量在物理中的应用 例5（1）[2025· 全国一卷]帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风 速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对 应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其 中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下 表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运 动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 （线段长度代表速度大小，单位 ）,则真风为( ) 课 堂 考 点 探 究 32 级数 名称 风速大小 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 设视风风速对应的向量为 ，真风风速对应 的向量为，船速对应的向量为 ，由题图得 ， . 因为船速对应的向量和船行风风速对应的向量大小相等、方向相反， 所以船行风风速对应的向量为 . 因为视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的 向量之和，所以，则 ，所以 ， 由题表得真风为轻风，故选A. 课 堂 考 点 探 究 34 （2）[2026·山西长治质检]平面上的三个力,, 作用于一点，且 处于平衡状态.若, ,与的夹角为 ， 则与 夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 由题意可知 ，则 . 设与的夹角为 ，则 ， 即，解得 ， 故选A. 课 堂 考 点 探 究 36 总结反思 用向量方法解决实际问题的步骤 课 堂 考 点 探 究 37 【对点演练3】（1）[2026·宁夏银川质检]如图所示，质 点从点出发，沿，，运动至点 ，已知 ,,,， ，则质 点 位移的大小是( ) A.9 B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 因为,， ，所以 . 设与的夹角为 ，则 ，得 . 因为 ,所以. 因为点 的位移为，所以 ，所以 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 39 （2）（多选题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一 艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小 ，水流速度 的大小，设和的夹 角为 ，则下列说法正确的为( ) A.当船的航行时间最短时， B.当船的航行距离最短时， C.当 时，船的航行时间为6分钟 D.当时，船的航行距离为 √ √ 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 由题意知船垂直河岸方向的分速度 的大小 ， 河宽 ，则航行时间. 对于A，当，即 时，取得最小值，所以当船的航行时 间最短时， ，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，船的实际航行速度的 方向垂直于河 岸，如图， 则，所以 ，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度 的大小 ， 船的航行时间 ，即6分钟，故C正确； 课 堂 考 点 探 究 41 对于D，设船的实际速度为，则，当 时， ，所以 ， 因为船垂直河岸方向的分速度 的大小 ，所以船的航行时间 ， 所以船的航行距离为，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 $