1.1 集合的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念，涵盖元素与集合的含义、三性（确定性、互异性、无序性）、属于关系、常用数集及表示方法。课堂导入通过六组对象（如20以内质数、跑得快的同学）判断界线，从具体实例到抽象定义，搭建学习支架，帮助学生理解集合本质。 其亮点在于以情境导入激发数学眼光，通过实例辨析培养逻辑思维，强调规范表达提升数学语言能力。如用“接近1的实数”引导抽象集合确定性，求参数时检验互异性培养严谨思维，小结口诀助记。学生能夯实基础，教师可高效教学。

集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语 · 1.1　人教A版高中数学必修第一册 口令：先板书课题“集合的概念”，再问一句“把全班同学看成一个整体，这个整体在数学上叫什么”，不给答案，直接进学习目标。本课时只到集合的含义、三条性质、两个符号与两种表示法；子集、真子集与集合间的关系放到 1.2。 这节课要学会的四件事 第 2 页 学习目标 1. 说出元素与集合的含义，会用大写字母 A，B，C 表示集合，用小写字母 a，b，c 表示元素。 2. 判断一组对象能不能组成集合，说清元素的确定性、互异性与无序性。 3. 会用符号 ∈ 与 ∉ 表示元素与集合的关系，记住常用数集 N，N*，Z，Q，R 的记法。 4. 会用列举法与描述法表示集合，能按元素的多少与共同特征选择合适的方法。 关键词 • 元素与集合 • 确定性 互异性 无序性 • ∈ 与 ∉ • N N* Z Q R • 列举法 描述法 口令：四句目标齐读一遍，把“确定性、互异性、无序性”六个字写在黑板一角，全课都回来对它。本课时不出现子集与集合的运算，那是 1.2 与 1.3 的内容。 第 3 页 情境导入　把同类对象放在一起 过渡：从小学、初中见过的“自然数的集合”“圆”出发，先让学生发现有些说法界线清楚、有些说不清，再引出集合的含义。 六组对象，先判断界线清不清楚 第 4 页 一眼能数清的 20 以内的所有质数：2，3，5，7，11，13，17，19。 我国的四大高原：青藏高原，内蒙古高原，黄土高原，云贵高原。 数不清但界线清楚 所有的等边三角形。 平面内到定点 O 的距离等于 5 cm 的所有点。 方程 x² - x - 6 = 0 的所有实数根。 界线不清楚 某中学跑得快的同学：多快才算快，没有统一标准。 接近 1 的所有实数：接近到什么程度，说不清楚。 口令：六组逐条读，每读完一条追问“任给一个对象，你能不能判断它在不在这一组里”。学生答出前四组能、后两组不能即可进入定义，不要在这里下结论。 第 5 页 探究一　集合、元素与三条性质 过渡：把上面那些界线清楚的整体交给数学，先给研究对象与它们的总体各起一个名字，再说清它们必须满足的三条性质。 先给两个名字：元素与集合 第 6 页 定义 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，集合简称为集。 通常用大写拉丁字母 A，B，C 表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c 表示集合中的元素。 回到情境 把 20 以内的每一个质数作为元素，这些元素的全体就是一个集合。 把我国的每一个直辖市作为元素，这些元素的全体也是一个集合。 提醒 先说清研究的对象是什么，再说这些对象的全体，两步不能并成一步。 集合与元素是一对相对的名称：同一个对象，在这里是元素，换个角度可以是另一个集合的整体。 口令：两句定义齐读并抄在书上，强调“总体”两个字。追问“全班同学组成一个集合，那么每一位同学叫什么”，学生答“元素”即可。 集合中的元素有三条性质 第 7 页 确定性 给定一个集合，任给一个对象，它在或不在这个集合中就确定了，不能模棱两可。 所以“较小的数”“跑得快的同学”不能组成集合。 互异性 一个给定集合中的元素互不相同，同一个元素不重复出现。 写成 {1，2，2，3} 是不规范的，它就是集合 {1，2，3}。 无序性 集合中的元素没有先后次序，只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就相等。 {1，3，5} 与 {5，3，1} 是同一个集合。 口令：三条性质逐条读，每条配一个反例板书。重点提醒互异性：以后求参数的题，答案算出来必须回代检验，这里先埋一句。 判断能不能组成集合 第 8 页 题目 判断下列各组对象能不能组成一个集合，并说明理由：（1）我国的所有直辖市；（2）某中学高一年级跑得快的同学；（3）平面内到定点 O 的距离等于 5 cm 的所有点；（4）接近 1 的所有实数。 分析 判断的标准只有一条：任给一个对象，能不能确定它在不在这一组里。 能确定的就可以组成集合；标准本身说不清的，就不能组成集合。 （2）（4）里的“跑得快”“接近”都没有统一标准，先盯住这两个词。 口令：先给一分钟自己判断，再请四名学生分别说一组。提醒理由必须落到“元素确定不确定”上，不能只答能或不能。 解答：哪两组能，哪两组不能 第 9 页 规范解答 （1）能组成集合。我国的直辖市有确定的名单，任给一个城市都能判断它在不在其中。 （2）不能组成集合。多快才算跑得快没有统一标准，元素不确定。 （3）能组成集合。一个点到定点 O 的距离是不是等于 5 cm 可以判断，元素确定。 （4）不能组成集合。接近 1 到什么程度没有规定，元素不确定。 答：（1）（3）能组成集合；（2）（4）不能组成集合，因为它们的元素不确定。 方法小结 判断能不能组成集合，先圈出题目中的形容词，再问一句“标准是什么”，标准说不清就不能组成集合。 口令：逐组核对，重点追问“（3）为什么能，明明有无数个点”，学生答“个数多少不影响，关键是能判断”。 第 10 页 探究二　属于关系与常用数集 过渡：名字与性质都有了，还缺一套写法。这一段先把“在不在”写成符号，再把常用的五个数集固定下来。 用 ∈ 与 ∉ 说清元素在不在集合中 第 11 页 属于 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a ∈ A。 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a ∉ A。 写法提醒 设 A 是 20 以内的所有质数组成的集合，那么 7 ∈ A，9 ∉ A。 这两个符号写的是元素与集合之间的关系：左边写元素，右边写集合，位置不能对调。 对任意一个对象与一个集合，a ∈ A 与 a ∉ A 恰有一个成立，这正是确定性的符号说法。 口令：两个符号各写三遍，强调 ∉ 是在 ∈ 上加一条斜杠。追问“A ∈ 7 这样写行不行”，学生答“不行，元素与集合的位置反了”。 常用数集的记法必须记牢 第 12 页 这五个字母在后面各章反复出现，今天当堂记住。 数集名称 含义 记法 举例 非负整数集（自然数集） 全体非负整数 N 0 ∈ N，5 ∈ N 正整数集 全体正整数 N* 1 ∈ N*，0 ∉ N* 整数集 全体整数 Z -3 ∈ Z，2.5 ∉ Z 有理数集 全体有理数 Q 0.7 ∈ Q，π ∉ Q 实数集 全体实数 R √5 ∈ R，π ∈ R N 里含 0，N* 里不含 0，这一条每年都有人记反。 口令：五行齐读两遍，边读边在书上圈记法。追问“0 属于哪几个数集”，学生答“N，Z，Q，R 都属于，只有 N* 不属于”。 填符号与求参数 第 13 页 题目 （1）用符号 ∈ 或 ∉ 填空：-5 ＿＿ N*，0 ＿＿ N，-2.5 ＿＿ Z，0.7 ＿＿ Q，√5 ＿＿ Q。 （2）已知集合 A 含有三个元素 2，a + 1，a² - 3a，且 -2 ∈ A，求实数 a 的值。 分析 第（1）问先看这个数属于哪一类数，再看该数集里有没有它。 第（2）问中 -2 是集合 A 的元素，它只能是 a + 1 或 a² - 3a，因此分两种情况。 求出 a 以后必须把三个元素都算出来，检验它们是不是互不相同。 口令：第（1）问全班口答，第（2）问先问一句“-2 可能是哪一个元素”，学生答出两种情况再动笔。 解答：填五个符号，求两个 a 值 第 14 页 规范解答 （1）-5 不是正整数，填 ∉；0 是非负整数，填 ∈；-2.5 不是整数，填 ∉；0.7 是有理数，填 ∈；√5 是无理数，填 ∉。 （2）设 -2 ∈ A。若 a + 1 = -2，则 a = -3，此时 a² - 3a = 18，三个元素为 2，-2，18，互不相同，符合题意。 若 a² - 3a = -2，由题意得 a = 1 或 a = 2。 当 a = 1 时，a + 1 = 2，与元素 2 重复，不满足互异性，舍去。 当 a = 2 时，a + 1 = 3，三个元素为 2，3，-2，互不相同，符合题意。 答：（1）依次填 ∉，∈，∉，∈，∉；（2）综上，a = -3 或 a = 2。 方法小结 含参数的集合问题，解完方程一定要回代检验互异性；不检验就会把 a = 1 一起答上去。 口令：核对后把“解方程—回代—检验互异性”三步板书成固定流程，并追问“为什么 a = 1 要舍去”。 第 15 页 探究三　列举法与描述法 过渡：除了用自然语言描述一个集合，数学上还有两种更规范的写法。先看元素能一一写出的情形，再看写不完的情形。 列举法：把元素一一列出来 第 16 页 做法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种方法叫做列举法。 元素与元素之间用逗号隔开，每个元素只写一次。 举例 我国的四大高原组成的集合可以写成 {青藏高原，内蒙古高原，黄土高原，云贵高原}。 方程 x² = 4x 的所有实数根组成的集合可以写成 {0，4}。 提醒 元素完全相同的两个集合相等，与列举的先后无关，所以 {0，4} 与 {4，0} 是同一个集合。 元素很多但排列有规律时，中间可以用省略号，例如 {1，2，3，…，100}。 口令：花括号与逗号在黑板上示范一次，强调不写重复元素。追问“{0，4} 与 {4，0} 是不是两个集合”，学生答“是同一个”，回扣无序性。 描述法：写出元素的共同特征 第 17 页 做法 设 A 是一个集合，把 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 组成的集合写成 {x ∈ A | P(x)}。 竖线左边写代表元素，右边写这些元素满足的共同特征，这种方法称为描述法。 举例 不等式 x - 7 < 3 的解有无数个，列举不出来，它的解集可以写成 {x ∈ R | x < 10}。 每一个奇数都能写成 x = 2k + 1（k ∈ Z），所以奇数集可以写成 {x ∈ Z | x = 2k + 1，k ∈ Z}。 提醒 如果从上下文看 x ∈ R 或 x ∈ Z 是明确的，可以省略，只写 {x | x < 10}。 代表元素一个也不能漏：只写 {x < 10} 是错误写法。 口令：把 {x ∈ A | P(x)} 这个式样板书出来，用手指着说“左边是谁，右边是什么条件”。追问“奇数集能不能用列举法”，学生答“写不完”。 用适当的方法表示集合 第 18 页 题目 用适当的方法表示下列集合：（1）不大于 9 的所有质数组成的集合 A；（2）所有被 3 除余 1 的整数组成的集合 B；（3）方程 x² - x - 6 = 0 的所有实数根组成的集合 C。 分析 元素个数少、能一一写出的，优先用列举法。 元素有无数个，但共同特征说得清楚的，用描述法。 第（3）问两种方法都可以：先按特征写出描述法，再解方程改写成列举法。 口令：三问先各给 40 秒，再请学生说选哪种方法与理由。提醒（2）必须先写出共同特征的式子再写集合。 解答：三个集合各用哪种写法 第 19 页 规范解答 （1）设 A 为不大于 9 的所有质数组成的集合，由题意得 A = {2，3，5，7}。 （2）设 x ∈ B，则 x 是整数，且 x 被 3 除余 1，即 x = 3k + 1（k ∈ Z），所以 B = {x ∈ Z | x = 3k + 1，k ∈ Z}。 （3）设 x ∈ C，则 x 是实数，且 x² - x - 6 = 0，用描述法表示为 C = {x ∈ R | x² - x - 6 = 0}。 解方程 x² - x - 6 = 0 得 x = -2 或 x = 3，所以用列举法表示为 C = {-2，3}。 答：A = {2，3，5，7}；B = {x ∈ Z | x = 3k + 1，k ∈ Z}；C = {x ∈ R | x² - x - 6 = 0}，也可写成 C = {-2，3}。 方法小结 写解答先写一个“设”字，把集合的名称与代表元素交代清楚，再写结果，这是高中数学的书写口径。 口令：核对后追问“（3）为什么两种方法都行”，学生答“根只有两个，能列举，也说得清特征”。 两种表示法各用在什么地方 第 20 页 列举法 适用：元素个数有限而且不多，或者元素虽多但排列有明显规律。 写法：{2，3，5，7}，元素之间用逗号隔开，不重复、不讲次序。 长处：一眼就能看清集合里到底有哪些元素。 短处：元素有无数个又没有明显规律时，根本写不出来。 描述法 适用：元素有无数个，或者共同特征比一一列举更容易说清楚。 写法：{x ∈ R | x < 10}，竖线左边写代表元素，右边写共同特征。 长处：特征一次写清楚，判断某个数在不在集合里很方便。 短处：要知道集合里有哪些具体元素，还得再解一次方程或不等式。 先看元素个数，再看有没有共同特征：数得清就列举，说得清特征就描述。 口令：左右两栏逐条对读，读完让学生给探究三的三个小题各贴一个标签。强调两种方法可以互相改写，不是二选一。 两处最容易丢分的地方 第 21 页 错的写法 解出 a = 1 就直接作答，不回代检验三个元素是否互不相同。 把集合写成 {1，2，2，3}，同一个元素写了两次。 描述法写成 {x² - x - 6 = 0}，代表元素与竖线都不见了。 结果：互异性被漏掉，多答一个根；集合的写法不规范。 对的写法 解出 a 的每一个值都要回代，算出全部元素，重复的那个值舍去。 同一个元素只写一次，{1，2，2，3} 应当写成 {1，2，3}。 描述法写成 {x ∈ R | x² - x - 6 = 0}，代表元素与共同特征都要写全。 两条规矩：先检验互异性，再写规范的集合符号。 求参数的题，答案写下之前必须回头看一眼：三个元素是不是互不相同。 口令：左边四句逐句请学生指错，右边四句全班齐读。这两处是本课时最常见的失分点，订正后记在书上。 练一练（一）　元素与集合、三条性质 第 22 页 选一选，填一填 1. 下列各组对象中，能组成集合的是（　　）。 　　A．某校高一（1）班的全体学生　　B．某校跑得快的同学 　　C．接近 1 的所有正数　　　　　　D．很大的整数 2. 集合 {1，3，5} 与集合 {5，3，1}（　　）（填“相等”或“不相等”），这说明集合中的元素具有（　　）性。 3. 若集合 M = {1，a} 中含有两个元素，则实数 a 不能取（　　），根据是元素的（　　）性。 4. 设 A 是 12 的所有正约数组成的集合，则 A 中共有（　　）个元素，用列举法表示 A ＝（　　）。 口令：四题独立完成，第 1 题要求圈出每个选项里说不清标准的那个词。第 4 题提醒把约数按从小到大写全。 练一练（一）　参考答案 第 23 页 参考答案 1. A（B 的“跑得快”、C 的“接近”、D 的“很大”都没有统一标准） 2. 相等；无序 3. 1；互异 4. 6；{1，2，3，4，6，12} 口令：逐题核对，第 3 题请学生说清为什么 a 不能取 1。第 4 题漏掉 1 或 12 的同学当堂补上。 练一练（二）　∈ 与 ∉、常用数集 第 24 页 填一填 1. 用符号 ∈ 或 ∉ 填空：0 ＿＿ N*；-3 ＿＿ Z；2.5 ＿＿ Z；π ＿＿ R。 2. 设 A 是 8 的所有正约数组成的集合，则 4 ＿＿ A，6 ＿＿ A。 3. 设 B = {x ∈ N | x < 4}，则 B 中共有（　　）个元素，-1 ＿＿ B。 4. 已知 -1 是集合 {a - 1，2a + 1} 中的元素，求实数 a 的值。 口令：第 1 题先说出每个数属于哪一类数再填符号。第 4 题提醒分两种情况，并且每种情况都要把集合写出来检验。 练一练（二）　参考答案 第 25 页 参考答案 1. ∉；∈；∉；∈ 2. ∈；∉ 3. 4（分别是 0，1，2，3）；∉ 4. 若 a - 1 = -1，则 a = 0，此时集合为 {-1，1}；若 2a + 1 = -1，则 a = -1，此时集合为 {-2，-1}。两种情况的元素都互不相同，综上 a = 0 或 a = -1 口令：核对时重点看第 4 题有没有漏掉一种情况，以及有没有做互异性检验。 练一练（三）　列举法与描述法 第 26 页 按要求表示下列集合 1. 用列举法表示集合 {x ∈ N | 2 < x < 7}，结果是（　　）。 2. 用列举法表示方程 x² = 4x 的所有实数根组成的集合，结果是（　　）。 3. 用描述法表示所有偶数组成的集合，结果是（　　）。 4. 一次函数 y = 2x - 1 与 y = -x + 5 的图象的交点组成的集合，用列举法表示为（　　）。 口令：第 1 题先写清 N 里含 0，再挑出满足条件的数。第 4 题提醒集合的元素是交点，要写成一对坐标。 练一练（三）　参考答案 第 27 页 参考答案 1. {3，4，5，6} 2. {0，4} 3. {x ∈ Z | x = 2k，k ∈ Z} 4. {(2，3)}（由 2x - 1 = -x + 5 解得 x = 2，代入得 y = 3） 口令：第 2 题漏掉 0 的同学最多，核对时请学生把方程的两个根都报出来。第 4 题的元素必须写成坐标形式。 随堂检测 第 28 页 独立完成，限时 5 分钟 1. 下列对象中能组成集合的是（　　）。 　　①我国的所有省会城市　　②比较小的偶数 　　③方程 x² = 9 的所有实数根　　④接近 10 的所有整数 2. 用符号 ∈ 或 ∉ 填空：-4 ＿＿ N；0 ＿＿ Z；1.5 ＿＿ Q；-√3 ＿＿ R。 3. 集合 A = {x ∈ Z | -1 ≤ x < 3} 用列举法表示为（　　），它含有（　　）个元素。 4. 已知集合 A 含有三个元素 3，a + 2，a² - 4，且 0 ∈ A，求实数 a 的值。 口令：5 分钟独立完成，第 4 题要求写出“设、由题意得、综上”三步。做完举手示意。 随堂检测　答案与订正 第 29 页 参考答案 1. ①③ 2. ∉；∈；∈；∈ 3. {-1，0，1，2}；4 4. 若 a + 2 = 0，则 a = -2，此时 a² - 4 = 0，三个元素为 3，0，0，不满足互异性，舍去；若 a² - 4 = 0，则 a = 2 或 a = -2，其中 a = -2 已舍去，当 a = 2 时三个元素为 3，4，0，互不相同。综上 a = 2 口令：同桌互批，第 4 题错的先说清是漏了一种情况，还是没有检验互异性，当堂订正在题号旁边。 课堂小结 第 30 页 这节课我们学会了 1. 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合；集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。 2. 集合中的元素具有确定性、互异性与无序性，判断能否组成集合就看标准定得清不清楚。 3. 元素 a 与集合 A 的关系只有两种：a ∈ A 或 a ∉ A；常用数集记作 N，N*，Z，Q，R。 4. 表示集合有两种方法：元素能一一写出用列举法，元素有共同特征用描述法。 记住 元素确定才成集　三性缺一不可　能数清就列举　说得清就描述 口令：四句话由四名学生接龙说完，再全班齐读“记住”框。最后点一句：集合之间的关系与运算留到 1.2、1.3，今天只解决怎么写、怎么判断。 课后作业 第 31 页 作业 1. 教材第 5 页练习第 1～3 题：判断能否组成集合、用 ∈ 与 ∉ 填空、用适当的方法表示集合。 2. 教材第 5 页习题 1.1 第 1、2 题：按要求填符号，并用列举法表示三个集合。 3. 教材第 6 页习题 1.1 第 3、4 题：把集合换另一种方法表示出来，写描述法时代表元素不能漏。 4. 整理笔记：把 N，N* ，Z，Q，R 的记法各抄一遍，并为每个数集举出两个元素和一个不属于它的数。 口令：前三项明天上课前交，第 4 项记在笔记本上下节课检查。提醒习题第 3 题要求换一种表示方法，不是照抄原式。 第 32 页 谢谢观看 下课前一句话回扣本课结论，布置作业。 $