22.4位似图形 讲义2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学位似图形核心知识点，系统梳理位似图形的定义（相似、对应点连线交于位似中心、对应边平行）、位似与坐标关系（原点为中心时坐标比为k或-k）及作图步骤，作为相似图形的延伸，构建图形变换的知识支架。 资料亮点在于题型分类明确，典例与变式结合，通过面积比计算、坐标变换等问题培养推理意识，作图题提升几何直观与空间观念。课中辅助教师系统教学，课后过关验收帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第22章 22.4 位似图形 内 容 导 航 题型1 位似变换 题型2 作图-位似变换 考 点 演 练 题型1 位似变换 解｜题｜知｜识 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【典例1】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【解答】解：∵， ∴， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：9， 故选：D． 【变式1】如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的面积是3，则四边形A′B′C′D′的面积是（　　） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【解答】解：∵四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似比为3， ∴四边形A'B'C'D'的面积＝9四边形ABCD的面积＝9×3＝27． 故选：D． 【变式2】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为它们的位似中心，且OD：DD′＝2：5，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比为（　　） A．4：25 B．2：5 C．2：3 D．4：9 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O位似， ∴ ∵OD：DD′＝2：5， ∴OD：OD′＝2：3， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比为2：3． 故选：C． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（10，0），以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，且，则点C的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣6，﹣3） 【答案】B 【解答】解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，且， 即位似比为， 而A（12，9）， ∴，即（﹣4，﹣3）． 故选：B． 题型2 作图-位似变换 解｜题｜知｜识 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【典例1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2； （1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1； （2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧作出△OAB的位似图形△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标． 【答案】（1）图见解析，P（﹣5，﹣1）；（2）图见解析，B2（﹣2，﹣6）；（3）（2a，2b）． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求，P（﹣5，﹣1）； （2）如图，△OA2B2即为所求，B2（﹣2，﹣6）； （3）根据位似图形的性质可知，点M的对应点M2的坐标为（2a，2b）． 【变式2】如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为2：1），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）点B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）． 【解答】解：（1）如图：△OB′C′即为所求作； （2）B点的对应点B′的坐标是（﹣6，2）， C点的对应点C′的坐标是（﹣4，﹣2）． 【变式3】如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似； （2）在图②中△ABC的边AB上画一个点P，使． 【答案】（1）如图①，△ADE即为所求． （2）如图②，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图①，△ADE即为所求． （2）如图②，点P即为所求． 过 关 验 收 1．利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法．若AB＝5，A'B'＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵该图形是以点O为位似中心， ∴． ∵AB＝5，A'B'＝3， ∴． 故选：B． 2．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【解答】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点E， ∴点E为位似中心， 故选：C． 3．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【解答】解：如图，对应点连线交于点Q， 则它们的位似中心是点Q， 故选：D． 4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，，则　　（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵， ∴， 根据题意得△OEF∽△OAB，△OBC∽△OFG， ∴，． ∴． 故选：B． 5．下列图形变化属于位似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、图形变化属于位似，符合题意； B、图形变化属于旋转变换，不符合题意； C、图形变化属于平移，不符合题意； D、图形变化属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 6．《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，AB：A'B'＝1：2， ∴正方形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝1：4． ∴四边形A'B'C'D'的面积＝4． 故选：C． 7．已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A'B'C'相似比是1：3， ∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1：9． 故选：C． 8．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 【答案】C 【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴S△ABC：1：9， 即△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 9．在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣4，8） C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣4，8）或（4，﹣8） 【答案】C 【解答】解：∵以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为， 而A（﹣2，4）， ∴A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）]， 即（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：C． 10．下列说法中，正确的是（　　） A．任意两个直角三角形都相似 B．任意两个矩形都相似 C．任意两个菱形都相似 D．任意两个位似三角形一定相似 【答案】D 【解答】解：A．任意两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意； B．任意两个矩形也不一定相似，此选项不符合题意； C．任意两个菱形不一定相似，此选项不符合题意； D．任意两个位似三角形一定相似，此选项符合题意； 故选：D． 11．已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　） A．（8，﹣4） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（﹣2，1） 【答案】D 【解答】解：∵E（﹣4，2），位似比为1：2， ∴点E的对应点E′的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1）． 故选：D． 12．如图，是边长为1的小正方形网格，菱形ABCD的四个顶点坐标均在格点上，已知A（1，﹣5），B（4，﹣4）． （1）画出该平面直角坐标系xOy，菱形ABCD的顶点C、D的坐标分别为C（　5　 ，　﹣1　 ），D（　2　 ，　﹣2　 ）． （2）以坐标原点O为位似中心，将菱形ABCD放大为原来的2倍，得到菱形A1B1C1D1，请在第二象限画出菱形A1B1C1D1，并求出的值． 【答案】解：（1）；5；﹣1；2；﹣2． （2）；． 【解答】解：（1）画出该平面直角坐标系xOy如图所示． 由图可得，C（5，﹣1），D（2，﹣2）． 故答案为：5；﹣1；2；﹣2． （2）如图，菱形A1B1C1D1即为所求． 由题意得，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 22.4 位似图形 内 容 导 航 题型1 位似变换 题型2 作图-位似变换 考 点 演 练 题型1 位似变换 解｜题｜知｜识 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【典例1】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【变式1】如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的面积是3，则四边形A′B′C′D′的面积是（　　） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式2】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为它们的位似中心，且OD：DD′＝2：5，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比为（　　） A．4：25 B．2：5 C．2：3 D．4：9 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（10，0），以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，且，则点C的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣6，﹣3） 题型2 作图-位似变换 解｜题｜知｜识 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【典例1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2； （1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1； （2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧作出△OAB的位似图形△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标． 【变式2】如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为2：1），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标． 【变式3】如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似； （2）在图②中△ABC的边AB上画一个点P，使． 过 关 验 收 1．利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法．若AB＝5，A'B'＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点E D．点F 3．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，，则　　（　　） A． B． C． D． 5．下列图形变化属于位似的是（　　） A． B． C． D． 6．《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 7．已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 8．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 9．在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣4，8） C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣4，8）或（4，﹣8） 10．下列说法中，正确的是（　　） A．任意两个直角三角形都相似 B．任意两个矩形都相似 C．任意两个菱形都相似 D．任意两个位似三角形一定相似 11．已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　） A．（8，﹣4） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（﹣2，1） 12．如图，是边长为1的小正方形网格，菱形ABCD的四个顶点坐标均在格点上，已知A（1，﹣5），B（4，﹣4）． （1）画出该平面直角坐标系xOy，菱形ABCD的顶点C、D的坐标分别为C（　 　 ，　 　 ），D（　 　 ，　 　 ）． （2）以坐标原点O为位似中心，将菱形ABCD放大为原来的2倍，得到菱形A1B1C1D1，请在第二象限画出菱形A1B1C1D1，并求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $