空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义聚焦空间向量与立体几何的距离问题，通过考点目录表格系统整合点到直线、点到平面、异面直线的距离三大专题。每个考点从几何定义、计算原理到解题步骤分层梳理，构建“定义-原理-应用”的逻辑脉络，突出空间观念与转化思想的内在联系。 讲义亮点在于“情境分层-方法固化”的练习设计，如正方体中点到直线距离、三棱锥中点到平面距离等例题，结合勾股投影法、法向量投影法等技巧，培养数学思维与运算能力。变式训练覆盖空间直角坐标系、正三棱锥等模型，基础学生可掌握步骤，优秀学生能深化转化思想，为教师分层教学和学生自主复习提供精准支持。

空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题讲义 空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题讲义 考点目录 点到直线的距离问题 点到平面的距离问题 异面直线的距离问题 考点一 点到直线的距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 几何定义 直线外一点到这条直线的距离，是该点到直线的垂线段的长度，是点到直线上所有点的距离中的最小值。 1. 计算原理：勾股投影法 从直线上取一点与目标点连线得到斜线段，斜线段、斜线段在直线上的投影、垂线段三者构成直角三角形。 设直线 过点 ，方向向量为 ； 为直线外任意一点，连线向量为 ： ① 先求 在直线方向上的投影长度： · ② 再由勾股定理得到点到直线的距离： 二、解题思路 1. 取点定向：在直线上任取一点 ，确定直线的方向向量 ； 1. 构连线向量：连接 与目标点 ，得到向量 ，计算其模长 ； 1. 计算投影长：利用数量积运算，求出 在直线方向上的投影长度； 1. 勾股求距：代入勾股公式，计算得到垂线段的长度，即点到直线的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 例2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 例3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 变式2．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    考点二 点到平面的距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 几何定义 平面外一点到这个平面的距离，是该点到平面的垂线段的长度，是点到平面内所有点的距离中的最小值。 1. 计算原理：法向量投影法 点到平面的距离，等于连线向量在平面法向量方向上投影的绝对值。 设平面 过点 ，法向量为 ； 为平面外任意一点，连线向量为 ，则： 1. 法向量的求法：待定系数法 设平面内两个不共线向量 、，设平面法向量 。 根据“法向量与平面内任意向量垂直”，列方程组： · 给其中一个未知数赋非零值（如令 ），解方程组即可得到法向量的坐标。 二、解题思路 1. 求法向量：在平面内取两个不共线向量，用待定系数法求出平面的法向量 ； 1. 构连线向量：在平面内任取一点 ，连接 与目标点 ，得到向量 ； 1. 算投影绝对值：计算 与法向量 的数量积，取绝对值保证距离非负； 1. 求距离：将数量积的绝对值除以法向量的模 ，得到点到平面的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 例2．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 证明：因为，分别是棱，的中点，所以，， 因为，所以， 因为，是线段的中点，，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，且，所以平面， 因为，所以平面. (2) 【分析】（1）根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论. （2）构建合适的空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，应用向量法求点面距离. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题中数据得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 故点到平面的距离是. 例3．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是线段和上的点，且，，为线段的中点. (1)求证： 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1) 依题意，两两垂直，以C为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建系如图： 得， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为， ∴， 又∵平面，∴平面. (2) (3) 【分析】（1）以C为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明与法向量垂直即可； （2）求出平面的法向量，根据平面夹角公式即可求出； （3）因为平面，只需求出到平面的距离即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的一个法向量为， 因为，则， 取， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（1）知平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又∵， ∴点到平面的距离为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由异面直线夹角余弦公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用相关公式求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，． 又因为，， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 变式2．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 证明：矩形中，连接交于点，则为的中点. 连接，因为是的中点，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面，所以. 所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则.所以平面的一个法向量为. 设点到平面的距离为， 则. 所以点到平面的距离为. 变式3．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明： (2)求三棱锥的体积 (3)求点到平面的距离 【答案】(1) 证明：在直三棱柱中，平面，平面， 所以.所以. 所以，. 所以，所以是等腰三角形. 因为为中点，所以. (2) (3) 【分析】（1）求出，可知，即可证得； （2）先证明面，得到点到平面的距离等于，再根据三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求得三棱锥的体积； （3）根据点到平面的距离的向量求法求得点到平面的距离. 【详解】【小问1】 略 【小问2】 由（1）知. 因为平面，所以平面. 因为∥，平面，平面， 所以∥平面，所以点到平面的距离等于. 又. 则. 【小问3】 如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ， 则. 设平面的一个法向量为. 所以，所以. 令，则，即. . 所以点到平面的距离为. 考点三 异面直线的距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 几何定义 两条异面直线的公垂线段（与两条异面直线都垂直且相交的线段）的长度，叫做两条异面直线的距离，是两条直线上任意两点距离的最小值。 1. 核心转化思想（高中通用方法） 通过两次转化，将异面直线距离转化为熟悉的点到平面的距离，全程无需复杂向量运算： · 第一步：过其中一条异面直线作平面，使另一条直线与该平面平行，则直线到平面的距离等于异面直线的距离； · 第二步：直线到平面的距离，等于直线上任意一点到该平面的距离。 1. 平行平面的构造方法 设异面直线 、：在 上任取一点，过该点作 的平行线 ，则 与 这两条相交直线确定的平面 ，即为与 平行的目标平面。 二、解题思路 1. 构造平行平面：过其中一条异面直线作平面，使其平行于另一条异面直线； 1. 取点转化：在另一条直线上任取一点，将异面直线距离转化为该点到平面的距离； 1. 点面计算：用点到平面的距离公式计算，结果即为异面直线的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 例2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 例3．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.    【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，设，用表示出点的坐标，将表示成关于的函数，求最值即可. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 则，. 设，则，所以. 因为，所以，所以，则， 故. 因为，所以，即的最小值是. 故答案为：    【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 变式2．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 变式3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 【答案】/ 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题讲义 空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题讲义 考点目录 点到直线的距离问题 点到平面的距离问题 异面直线的距离问题 考点一 点到直线的距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 几何定义 直线外一点到这条直线的距离，是该点到直线的垂线段的长度，是点到直线上所有点的距离中的最小值。 1. 计算原理：勾股投影法 从直线上取一点与目标点连线得到斜线段，斜线段、斜线段在直线上的投影、垂线段三者构成直角三角形。 设直线 过点 ，方向向量为 ； 为直线外任意一点，连线向量为 ： ① 先求 在直线方向上的投影长度： · ② 再由勾股定理得到点到直线的距离： 二、解题思路 1. 取点定向：在直线上任取一点 ，确定直线的方向向量 ； 1. 构连线向量：连接 与目标点 ，得到向量 ，计算其模长 ； 1. 计算投影长：利用数量积运算，求出 在直线方向上的投影长度； 1. 勾股求距：代入勾股公式，计算得到垂线段的长度，即点到直线的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 变式2．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 考点二 点到平面的距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 几何定义 平面外一点到这个平面的距离，是该点到平面的垂线段的长度，是点到平面内所有点的距离中的最小值。 1. 计算原理：法向量投影法 点到平面的距离，等于连线向量在平面法向量方向上投影的绝对值。 设平面 过点 ，法向量为 ； 为平面外任意一点，连线向量为 ，则： 1. 法向量的求法：待定系数法 设平面内两个不共线向量 、，设平面法向量 。 根据“法向量与平面内任意向量垂直”，列方程组： · 给其中一个未知数赋非零值（如令 ），解方程组即可得到法向量的坐标。 二、解题思路 1. 求法向量：在平面内取两个不共线向量，用待定系数法求出平面的法向量 ； 1. 构连线向量：在平面内任取一点 ，连接 与目标点 ，得到向量 ； 1. 算投影绝对值：计算 与法向量 的数量积，取绝对值保证距离非负； 1. 求距离：将数量积的绝对值除以法向量的模 ，得到点到平面的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 例2．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 例3．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是线段和上的点，且，，为线段的中点. (1)求证： 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 变式2．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 变式3．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明： (2)求三棱锥的体积 (3)求点到平面的距离 考点三 异面直线的距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 几何定义 两条异面直线的公垂线段（与两条异面直线都垂直且相交的线段）的长度，叫做两条异面直线的距离，是两条直线上任意两点距离的最小值。 1. 核心转化思想（高中通用方法） 通过两次转化，将异面直线距离转化为熟悉的点到平面的距离，全程无需复杂向量运算： · 第一步：过其中一条异面直线作平面，使另一条直线与该平面平行，则直线到平面的距离等于异面直线的距离； · 第二步：直线到平面的距离，等于直线上任意一点到该平面的距离。 1. 平行平面的构造方法 设异面直线 、：在 上任取一点，过该点作 的平行线 ，则 与 这两条相交直线确定的平面 ，即为与 平行的目标平面。 二、解题思路 1. 构造平行平面：过其中一条异面直线作平面，使其平行于另一条异面直线； 1. 取点转化：在另一条直线上任取一点，将异面直线距离转化为该点到平面的距离； 1. 点面计算：用点到平面的距离公式计算，结果即为异面直线的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.    【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 变式2．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $