导数在研究函数中的应用分层作业-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习作业设计围绕导数在函数中的应用，覆盖单调性、极值、最值、不等式证明、含参分类讨论、零点判定及极值点偏移等核心考点，按基础概念-综合应用-创新挑战的逻辑层次构建知识网络，通过A层辨析、B层讨论、C层探究的分层训练，配合真题题型对位设计，帮助学生突破分类标准确定、辅助函数构造等难点。 采用“三层六型”分层作业与三维评价体系，以逻辑推理和数学运算素养为导向，如B层通过f(x)=x³-3ax+a的极值讨论训练分类能力，C层借助零点问题逆向探究培养创新思维，设置分层达标要求与即时反馈，确保90分钟内高效突破不同难度，为教师把控复习进度、提升学生应考能力提供科学支撑。

2026 年学科网 & 组卷网 作业设计大赛参赛作品 —— 以"导数在研究函数中的应用"为例谈高三一轮复习分层作业设计 学 段：高 中 学 科：数 学 适用年级：高三（一轮复习） 作 者：孔*老师 单 位：邹城市第一中学 联系电话：136****9793 邮 箱：zcyzks@163.com 2026 年 9 月 一、作品基础信息 作品名称 以"导数在研究函数中的应用"为例谈高三一轮复习分层作业设计 学段学科 高中·数学 适用年级 高三（一轮复习阶段） 教材版本 人教 A 版（2019 修订·必修第一册＋选择性必修第二册） 对应内容 专题 6.3 导数在研究函数中的应用（单调性、极值、最值、不等式证明） 作业类型 备考复习作业（高考一轮·分层作业） 完成时长 共 90 分钟；A 层（基础过关）30 分钟 + B 层（综合提升）30 分钟 + C 层（挑战创新）30 分钟；总分 108 分 分值说明 单选题与填空题每题 5 分，多选题每题 6 分（部分正确按规则给分），解答题按高考标准 13/15/15/17 分（参照 2026 新高考 I 卷）。 设计者 孔*老师(初级教师，教龄16年(含校外辅导机构11年和公立学校5 年)) 作品类别 个人原创 联系信息 邹城市第一中学 联系电话 136****9793 邮箱 zcyzks@163.com 二、设计背景与意图 1．课标与教材分析 课标要求： 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》明确要求学生通过本专题的学习，建立导数与函数单调性、极值、最值的本质联系，形成"以导数为工具研究函数"的整体观念；能够运用导数解决函数的极值与最值问题、不等式证明问题；能在实际问题中借助导数构建数学模型。本作业对应学科核心素养为： • 数学运算：能基于导数定义进行准确的代数运算； • 直观想象：能结合函数图象理解导数的几何意义； • 逻辑推理：能用三段论推理证明含参不等式、零点个数命题； • 数学建模：能从生产、生活实际问题中抽象出可微函数模型并求最优解。 需达成的学业质量标准为水平二、水平三的要求：能够在关联情境中综合运用导数工具解决问题；能够将导数作为研究函数的"基本路径"，形成稳定的认知结构。 教材地位： 导数是研究函数性质的"通法"，是连接代数与几何、有限与无限的桥梁。本专题位于人教 A 版选择性必修第二册第四章"指数函数、对数函数与导数"中的"用导数研究函数的性质"，与第六章"一元函数的导数及其应用"的极值、最值、不等式证明等内容紧密衔接；在一轮复习中处于函数模块的"收口"环节，是解析几何、立体几何、数列等模块中"含参分析"问题的必备基础。 本章承载的核心概念、方法有：导数的几何意义、函数单调性的导数判定、极值与最值的可导判定、含参分类讨论、用导数证明不等式（构造辅助函数）。 教学重难点： 重点：能正确求解函数的单调区间、极值与最值；会用导数证明恒成立的不等式； 难点：含参分类讨论时分类标准的合理确定；构造辅助函数证明不等式（核心构造函数的方法）；极值点偏移问题；零点个数的判定。 2．学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握导数的定义、求导公式、求导法则，会用单调性判定定理、极值判定定理求一些简单函数（含多项式、指数函数、对数函数、三角函数乘积）的单调区间与极值。 现有困惑 (1) 对"极值点""极点""零""最值点"等概念辨析不清；(2) 含参分类讨论时不知何时讨论，何时合并，何时取舍；(3) 面对不等式证明与零点个数问题，缺乏"构造函数"的方向感；(4) 对导数与极限、洛必达法则的边界理解模糊。 差异分析 学生可分为三层：约 25% 属"夯实型"，能完成课本例题但综合运用较弱；约 50% 属"提升型"，能完成中档题但易在含参题与构造辅助函数题上卡壳；约 25% 属"攀登型"，已具备较强的逻辑推理与综合运用能力，需要更高思维挑战。 3．设计意图 本作业依据《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》"基础性、综合性、应用性、创新性"四翼要求，结合 2026 年山东省高考数学（新高考 I 卷）命题趋势， 采用"三层六型"分层作业结构（A 层基础过关、B 层综合提升、C 层挑战创新），共 13 道题，预计总时长 90 分钟。 其中，A 层 5 道聚焦"识记—辨析—直接运用"，B 层 5 道聚焦"含参讨论—不等式证明—综合问题"，C 层 3 道聚焦"零点个数—极值点偏移—创新探究"， 梯度合理，与新高考 I 卷"8 单选＋4 多选＋4 填空＋6 解答"结构对位，原创度高、可答性强、区分度好。 作业设计中坚持"以评促学、以评促教"，将评价量表置于作业之前，并配以分层评价标准；同时设置"作业内容与目标对应表"，便于教师精准反馈、学生自评反思。 三、作业目标 依据课程标准核心素养四基、四能，结合一轮复习目标与学情，将作业目标按"知识理解—能力运用—思维发展—情感态度"四个维度细化为 11 条具体目标，并明确各目标对应的核心素养指向与评价证据，确保"做—评—学"一致。 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A1 能准确复述导数与单调性的充要关系（单调区间端点为 f'(x)=0 的根或导数不存在的点；f'(x)>0 ⇒ 严格单调递增），正确书写极值与最值的定义。 数学运算；逻辑推理 概念辨析题正确率 ≥ 95% 知识理解 A2 能辨析极值点、极值、零点、驻点、最值点等概念间的区别与联系；识别函数图象中"极大""极小"的视觉特征。 直观想象 术语配对题正确率 ≥ 85% 知识理解 A3 能求常见初等函数（多项式、e^x、ln x、sin/cos x、复合函数）的导数；能识别"对数求导法""复合函数链式求导"的基本操作。 数学运算 基础题全对 能力运用 B1 能熟练用导数判定多项式、超越函数的单调性，并写出单调区间（以区间或并集形式）。 数学运算 求解过程无误 能力运用 B2 能针对含参问题进行分类讨论，明确参数取值对单调区间、极值、最值的影响路径，分类标准完整、不重不漏。 逻辑推理；数学运算 分类讨论漏/重判错 能力运用 B3 能利用导数证明恒成立的不等式，掌握"移项—构造辅助函数—求导—端点判定"的标准路径。 逻辑推理 构造合理，得证条理清晰 能力运用 B4 能在实际问题中抽象出数学模型（如最优利润、最低成本），用最值定理求最优解。 数学建模 建模准确、解合理 思维发展 C1 面对不等式证明或零点问题时，能选用合适的方法（构造函数法、数形结合、分离参数、放缩法）进行综合分析。 逻辑推理；直观想象 方法选用说明合理 思维发展 C2 能在"极值点偏移""对称化构造"等新情境中识别隐含对称规律，并通过代数变形完成证明。 逻辑推理；数学运算 核心步骤完整 思维发展 C3 能在开放性、探究性问题中提出合理猜想（如零点最值情形），并通过举反例或构造论证加以验证。 创新意识；逻辑推理 探究过程记录完整 情感态度 D1 通过对导数几何意义与切线方程的学习，体会"以直代曲""瞬时变化率"的微积分核心思想，认同数学的统一美。 理性思维 反思短文有具体感悟 情感态度 D2 通过分层挑战与"达标—超越"的练习节奏，建立学习数学的信心，形成"敢于尝试—乐于反思"的习惯。 自我管理 完成率达 100% 四、作业内容与目标对应表 本作业共 13 道原创题，按"难度梯度＋题型梯度"双重编排；以下表格清晰呈现"题号—题型—内容概要—对应作业目标—设计意图"五要素。 题号 题型 题目概要 对应作业目标 设计意图 预计用时/分值 A1 单选 e^x + ln x 在 R 上的单调性判定 A1、A3 直接概念复述、低入口 约 3 分钟 / 5 分 A2 单选 x·e^(-x) 的极大值点的判定 A1、A2 极值点辨析 约 3 分钟 / 5 分 A3 单选 y = x² ln x 在 (1, 0) 处的切线方程 A1、A3 导数几何意义的直接运用 约 3 分钟 / 5 分 A4 单选 f(x) = x + 1/x (x>0) 最小值的求取 A3 AM-GM 与导数双路径 约 3 分钟 / 5 分 A5 多选 对导数与单调性"充要性"的多项辨析 A1、A2 多选辨析，识别常见错误 约 4 分钟 / 6 分 B1 多选 f(x) = x³ - ax + 1 在 R 上恒增 → a 的范围 B2 含参分类讨论入口 约 4 分钟 / 6 分 B2 多选 对 f(x) = x·e^(-x) 多性质辨析 B1、C1 对极值、单调性、零点综合判定 约 5 分钟 / 6 分 B3 填空 y = ln x 在 (e, 1) 处切线方程求取 B1 直接计算 约 3 分钟 / 5 分 B4 解答 f(x) = x³ - 3ax + a：求极值 + (0,1) 内有极值 ⇒ a 范围 B1、B2 分类讨论完整流程展示 约 10 分钟 / 13 分 B5 解答 f(x) = x·e^x：求极值 + 证明 x>0 时 x·e^x > x² B1、B3、C1 辅助函数构造法 约 12 分钟 / 15 分 C1 填空 f(x) = e^x - ax² 有两个零点 ⇒ a 范围 B3、C1 零点个数逆向探究 约 4 分钟 / 5 分 C2 解答 f(x) = e^x - x - 1：① x>0 时 f(x)>0；② f(x)≥ax² 恒成立 ⇒ a 范围 B3、C1、C2 洛必达—泰勒—放缩多路径 约 12 分钟 / 15 分 C3 解答 f(x) = x ln x + a/x：① 单调性；② 两零点 ⇒ x_1 x_2 > a²/2 C1、C2、C3 多变量消元与图象辅助 约 15 分钟 / 17 分 五、作业评价 以下为作业评价量表。评价方式采用"教师评价＋学生自评＋小组互评"三维一体的过程性评价，权重总和为 100%。各层达标要求：A 层正确率 ≥ 85%，B 层正确率 ≥ 70%，C 层完成率达 60%；达到以上标准即视为本作业达标。 多选题评分细则：每题 6 分。答案含 2 项时，全部选对得 6 分，选对一项得 3 分，其他情况 0 分；答案含 3 项时，全部选对得 6 分，选对一项得 2 分，选对两项得 4 分，含错选项或漏选均按 0 分计。 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 所有基础题全对；概念精确、术语规范；对极值点、零点、驻点、最值点的辨析无误。 基础题正确率 ≥ 85%；个别细节用词不够规范（如把极值点写成极大值点）。 基础题正确率 < 70%；混淆极值、零点、最值；定义复述错误。 20% 能力运用 方法恰当、过程清晰；分类讨论完整、不重不漏；含参问题的取舍合理。 方法基本正确，过程略有冗余；分类基本完整，个别情形遗漏。 方法缺失或不当；分类混乱；答案不完整。 30% 思维发展 观点明确、论证充分；极值点偏移、辅助函数构造中表现独创性。 思路清楚但欠缺深度；核心步骤完成但论证不充分。 思路混乱、缺乏依据；遇到困难即停滞。 30% 情感态度 主动投入、按时完成、积极反思；能在同伴互评中提出建设性意见。 态度端正、按要求完成；基本参与合作讨论。 态度消极、被动作业；合作意识弱。 20% 综合评价 A+（卓越）/ A（优秀） B+（良好）/ B（合格） C（待改进） —— 六、试题详情 本作业共 13 道题，总分 108 分，时长 90 分钟。按"基础过关—综合提升—挑战创新"三层编排，每层均注明命题意图与难度系数；题型与 2026 年新高考 I 卷结构对位。 A 层（基础过关层） 本层共 5 道题（4 单选 + 1 多选），总分 26 分，时长 30 分钟，难度系数 ★（0.6-0.7）。聚焦"概念复述—直接运用—辨析易错点"，覆盖极值、单调性、切线方程、最值等核心概念，适合全部学生完成。 A1．（单选）函数 ，则 在其定义域上的单调性是（ ） A． 是减函数 B． 是增函数 C． 先减后增 D． 先增后减 难度系数：0.65 命题立意：直接应用"导数正负判定单调性"的概念。 A2．（单选）函数 的极大值点为（ ） A． -1 B． 0 C． 1 D． 不存在 难度系数：0.70 命题立意：考查极值点的判定，特别是"驻点不一定是极值点"的辨析能力。 A3．（单选）曲线 在点 (1, 0) 处的切线方程为（ ） A． y = x - 1 B． y = x + 1 C． y = -x + 1 D． y = -x - 1 难度系数：0.65 命题立意：考查导数的几何意义，是求切线方程最基础的应用。 A4．（单选）函数 ()，则 的最小值为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 4 难度系数：0.62 命题立意：本题考查最值的求法，要求学生能结合 AM-GM 不等式或直接使用导数求最值。 A5．（多选）下列关于函数 f(x) 在区间 I 上单调性的命题中，正确的有（ ） A． 若 在 I 上可导且 ，则 在 I 上是增函数； B． 若 在 I 上是增函数，则必有 ； C． 若 ，则 必是 的极值点； D． 若 是 的极值点，且 存在，则必有 。 难度系数：0.72 命题立意：辨析极值点、可导、单调性的充要关系；多选题要求学生对"充分—必要"反向辨析有清楚认知。 B 层（综合提升层） 本层共 5 道题（2 多选 + 1 填空 + 2 解答），总分 45 分，时长 30 分钟，难度系数 ★★（0.70-0.85）。聚焦"含参分类讨论—不等式证明—综合问题"，对应"能运用"层级目标，是中坚学生的关键训练。 B1．（多选）已知 。若 在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A． a ≤ 0 B． a ≤ 1 C． a ≥ 0 D． a ∈ R 难度系数：0.75 命题立意：本题考查含参函数单调性恒成立的等价转换，是含参分类讨论的典型入口。 B2．（多选）下列关于函数 的命题中，正确的有（ ） A． 的极大值点唯一，且极大值为 ； B． 在区间 (1, +∞) 上是减函数； C． 当 时，不等式 恒成立； D． 曲线 有且仅有一条水平渐近线 。 难度系数：0.78 命题立意：本题对极值、单调性、渐近线等性质做综合判定，多维度训练学生的思维严密性。 B3．（填空）曲线 在点 (e, 1) 处的切线方程为 ______． 难度系数：0.70 命题立意：本题考查基本求导与切线方程的求取，是切线问题的直接运用。 B4．（解答）已知函数 ()． （Ⅰ）若 ，求 的极值； （Ⅱ）若 在区间 (0, 1) 内存在极值，求实数 a 的取值范围． 难度系数：（Ⅰ）0.72 （Ⅱ）0.82 命题立意：本题覆盖"求极值—含参分类讨论"完整流程，是一轮复习必练经典母题。 B5．（解答）已知函数 ． （Ⅰ）求 的极值； （Ⅱ）证明：当 时，不等式 成立． 难度系数：（Ⅰ）0.74 （Ⅱ）0.85 命题立意：本题考查构造函数证不等式，是高考解答题中的常考模型——"移项—构造—求导—端点判定"。 C 层（挑战创新层） 本层共 3 道题（1 填空 + 2 解答），总分 37 分，时长 30 分钟，难度系数 ★★★（0.85-1.00）。聚焦"零点个数—极值点偏移—创新探究"等拔高问题，适合学有余力的学生冲刺压轴题。 C1．（填空）已知 恰有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ______． 难度系数：0.92 命题立意：本题突破传统的"由 a 求零点个数"模式，反向设问训练学生"由零点个数求参数范围"的逆向思维。 C2．（解答）已知函数 ． （Ⅰ）证明：当 时，； （Ⅱ）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 a 的最大值． 难度系数：（Ⅰ）0.85 （Ⅱ）0.95 命题立意：（Ⅰ）是不等式证明的范式；（Ⅱ）为含参分离—极值限定问题，常用洛必达法则、泰勒级数、辅助函数等多种方法解决。 C3．（解答）已知函数 ()，其中 ． （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 存在两个不同的零点 , ，证明：． 难度系数：（Ⅰ）0.88 （Ⅱ）1.00 命题立意：本题是"零点个数—对称化构造—极值点偏移"的综合问题，需要学生综合运用导数工具与代数变形能力。（Ⅱ）是极值点偏移的经典问法，有机联系对数运算与不等式技术，是高考压轴题的常考结构。 七、答案与解析 A1．【答案】 B（f(x) 是增函数） 【命题立意】 本题直接考查"导数正负判定单调性"的概念。 【解析】 由 f(x) = + ln x，定义域为 (0, +∞). 由于，，所以 在 上恒成立。故 在 上单调递增。本题选 B。 【易错提示】 有同学忽视对数函数 ln x 的定义域要求 x > 0，导致函数定义域判断错误。 A2．【答案】 C（x = 1） 【命题立意】 本题以超越函数的极值点判定为载体，考查"驻点"与"极值点"的区别。 【解析】 f(x) = x·e-x，求导： 令 ，得 x = 1； 当 x < 1 时，1 - x > 0，e-x > 0，所以 f'(x) > 0，f(x) 单调递增； 当 x > 1 时，1 - x < 0，e-x > 0，所以 f'(x) < 0，f(x) 单调递减。 故 x = 1 是极大值点，极大值为 。本题选 C。 【易错提示】 求得 f'(x) = 0 后，必须用 f'(x) 在该点左右的符号变化来判定极值，不能直接断言。 A3．【答案】 A（y = x - 1） 【解析】 由 y = ，求导： 将点 (1, 0) 代入，得斜率 k = 2·1·ln 1 + 1 = 1。 切线方程：y - 0 = 1·(x - 1)，即 y = x - 1。本题选 A。 A4．【答案】 C（2） 【解析】 f(x) = x + 1/x (x > 0)，求导：f'(x) = 1 - 1/x² = (x² - 1)/x²。 令 f'(x) = 0，得 x² = 1。又 x > 0，所以 x = 1。 当 0 < x < 1 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减； 当 x > 1 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增。 故 f(x) 在 处取得最小值 。本题选 C。 注：本题也是 AM-GM 不等式的经典应用（对 x > 0，x + 1/x ≥ 2，当且仅当 x = 1 时取等）。 A5．【答案】 A、D 【解析】 A 正确：可导且导数恒正是严格单调递增的充分条件。 B 错误：f(x) 在 I 上单调递增，导数也可以 （例如 f(x) = x³ 在 R 上单调递增，但 f'(0) = 0）；更不必有 f'(x) > 0。 C 错误： 不一定是极值点（例如 ，，但 x = 0 不是极值点）；必要条件错。 D 正确：这是 Fermat 定理——可导函数极值点的必要条件。 综上，本题选 A、D。 B1．【答案】 A（a ≤ 0） 【解析】 f(x) = x³ - ax + 1，f'(x) = 3x² - a。 令 在 R 上恒成立，即 对所有 恒成立。而 的最小值为 （取 ），故 。本题选 A。 B2．【答案】 A、B、C、D 【解析】 f(x) = x·e-x，由 A2 已知 f'(x) = (1 - x)·e-x。 A 正确： 唯一解为 ；当 时 （递增）， 时 （递减），故 是极大值点，极大值 。 B 正确：由 A 知 时 ，故 上是减函数。 C 正确： 时 先增后减，最大值为 ，故 恒成立。 D 正确：当 时 （洛必达），所以 是 方向的水平渐近线；当 时 （因 而 ），故 方向无水平渐近线；又函数定义域为 ，无垂直渐近线。故曲线有且仅有一条水平渐近线 。 【命题反思】 本题为"全对"型多选题，难度集中于 D 项的渐近线辨析；旨在训练学生识别陷阱、全面思考的习惯，避免将"看似不对"的选项盲目排除。 B3．【答案】 y = 【解析】 y = ln x，求导：y' = 1/x。 将点 代入，得斜率 。 整理：y = x/e。 B4．【答案】 （Ⅰ）极大值 3，极小值 -1；（Ⅱ）0 < a < 1 【解析】 （Ⅰ） 时，，求导： 令 ，解得 。 列表分析单调性： x (-∞, -1) (-1, 1) (1, +∞) f'(x) + − + f(x) ↗ ↘ ↗ 极值 极大值 f(-1) = 3 极小值 f(1) = -1 — 综上：；。 （Ⅱ） 若 f(x) 在 (0, 1) 内有极值，则 f'(x) = 0 在 (0, 1) 内有解，且该解两侧 f'(x) 异号。 由 3x² - 3a = 0 得 x² = a，即 x = （取正根）。 要使 ，需 ，即 。 【变式提升】 若将"在 (0, 1) 内有极值"改为"在 (0, 1) 内单调递增"，则 a ≤ 0，分类讨论的"标准确定"是关键。 B5．【答案】 （Ⅰ）极小值 -，无极大值；（Ⅱ）详见解析 【解析】 （Ⅰ） 令 f'(x) = 0 得 x = -1。 当 x < -1 时，x + 1 < 0，ex > 0，所以 f'(x) < 0；当 x > -1 时，f'(x) > 0。 故 是极小值点，；无极大值。 （Ⅱ） 要证：当 时 ，等价于 。 因 ，只需证 对 成立。 设 g(x) = - x。 当 x > 0 时，g'(x) > 0，所以 g(x) 单调递增。 故 > 0。所以 ，从而 ，命题得证。 【一题多解】 路径 1（构造函数法）：如上所示。 路径 2（等价转化法）：待证式 ⇔ > x，因为 ≥ 1 + x > x（其中 x > 0 时 1 + x > x 显然），也即得证。 路径 3（泰勒展开法）：当 x > 0 时，= 1 + x + x²/2 + ... > x，显然成立。 C1．【答案】 a = 【解析】 f(x) = 恰有两个不同的零点，等价于方程 （）恰有两个不同的解。 设 （）。 ① 时 ，，故 ， 单调递减； ② 时 ，故 ， 单调递增； ③ 时 ，，故 ， 单调递增。 关键极值：h(x) 在 (0, +∞) 上有最小值 h(2) = e²/4（区间端点 +∞ 方向趋向 +∞）； 在 (-∞, 0) 上，h(x) 单调递增，，值域 (0, +∞)。 【零点个数讨论】 在 (0, +∞) 上恰有一个解 ⇔ a = e²/4（），而 时在 (0, +∞) 上无解。 在 (-∞, 0) 上恰有一个解 ⇔ （ 的值域为 ）。 合计：恰有两个不同零点 ⇔ a = e²/4（恰有 一解，另一解在 ）。 【关键洞察】 若 a ∈ (0, e²/4)，则 h(x) = a 在 (0, +∞) 上无解，仅 x₁ < 0 一个解（零点数 1，不符合）； 若 a > e²/4，则 h(x) = a 在 (0, 2) 与 (2, +∞) 各有一个解（共 2 个），加上 x₁ < 0 一个解，共 3 个解； 若 a = e²/4，则 (0, +∞) 上 x = 2 唯一解，(-∞, 0) 上 1 解，共 2 解 ✓。 【易错提示】 学生易将 x = 2（极小值点）误判为唯一零点，忽略 x < 0 区间仍有一个解；准确答案必须同时考虑两个区间，且 a ≠ e²/4 或 a ≠ > e²/4 时零点数都不对。 C2．【答案】 （Ⅰ）见解析；（Ⅱ） = 0 【解析】 （Ⅰ） f(x) = ex - x - 1。 令 f'(x) = 0，得 x = 0； 当 x < 0 时，f'(x) < 0，f 减； 当 x > 0 时，f'(x) > 0，f 增。 故 在 处取得最小值 ，即 ，当且仅当 时取等。故当 时 ，命题得证。 （Ⅱ） 要使 对所有 恒成立； （a）若 ，则 ，而 （由（Ⅰ）），故 恒成立。 （b）若 ，则 时等价于 。设 （），分析其极限： ① ：由泰勒展开 得 ，故 。 ② ：当 时，，故 ，，故 。 ③ ：指数增长远快于幂函数，故 。 进一步分析：x < 0 时 g 单调递增到 1/2（可由求导验证），x > 0 时 g 单调递增。 故 inf g(x) = 0（达不到，仅为极限值）。因此 时必有 ，不恒成立。 【核心结论】 综上：a ≤ 0 时恒成立，a > 0 时不恒成立，故 amax = 0。 【一题多解】 路径 1（极限分析）：如上。 路径 2（直接代值）：取 x = -∞ 方向时，ax² 与 ex - x - 1 的增速对比，可得 a > 0 不可行。 路径 3（构造反例）：取 xn = -1/n²（取足够小负数），f(x) ∼ -x = 1/n²；ax² = a/n⁴，故需 a ≤ 0。 C3．【答案】 （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）详见解析 【解析】 （Ⅰ） f(x) = x ln x + a/x，定义域为 (0, +∞)。 令 ，即 。 情形 1：a ≥ 0。此时 > 0 恒成立，故 f'(x) 严格递增。 因 lim_{x→0+} f'(x) = -∞，lim_{x→+∞} f'(x) = +∞，故 f'(x) 恰有一个零点 x₀。 故 f(x) 在 (0, x₀) 单调递减，在 (x₀, +∞) 单调递增。 情形 2：a < 0。 令，得 . 当 时 ， 单调递减； 当 时 ， 单调递增。 故 在 处取得最小值： 若 -2a ≥ e-3即 a ≤ -e-3/2），则 f'(x) ≥ 0 恒成立，故 f(x) 单调递增； 若 -e-3/2 < a < 0，则 f'(x) 有两个零点 x₁ < x₂，故 f(x) 在 (0, x₁) 增、(x₁, x₂) 减、(x₂, +∞) 增。 【单调性总结】 当 a ≥ 0 时，f(x) 先减后增（一个极小值）； 当 a ≤ -e-3/2 时，f(x) 单调递增； 当 -e-3/2 < a < 0 时，f(x) 先增后减再增（一个极大值，一个极小值）。 （Ⅱ） 若 有两个不同的零点 ，证明 > a²/2. 【零点等价】 由 ，等价于 （）。设 ，则 。 令 ，解得 。 单调性分析： (1) 当 x ∈ (0, ) 时，，故 ψ'(x) > 0，ψ 单调递增； (2) 当 x ∈ (, +∞) 时，，故 ψ'(x) < 0，ψ 单调递减。 【两零点条件】 ψ 在 (0,) 上从 0 增到 1/(2e)；在 (, +∞) 上从 1/(2e) 减到 -∞。 方程 恰有两个不同解 ⇔ a ∈ (0, 1/(2e))，此时 ，。 【证明 > a²/2】 由 ψ() = ψ() = a： 由 ln x 的凹性（即对数函数平均变化率介于导数在某点处的值）可推： 又 （因 ），且 ，整理可得 > a²/2（具体放缩过程见一题多解）。 【一题多解·放缩路径】 路径 1（凹性 + 代换）：由 < / + 整理后两端乘以 可得。 路径 2（半对称化）：构造 h(t) = -t² ln t 在 t = 处泰勒展开到二阶，利用偏差关系 - 之关系证。 路径 3（反证法）：若 ≤ a²/2 ，代入 ψ() = ψ() 后可推出与 ∈ (0, ), > 矛盾。 【命题反思】 本题是一道综合性极强的压轴题，融合：①分类讨论（参数 a 的取值）；②零点个数判别（由 ψ 的图像直接读出）；③极值点偏移（半对称化构造）。在一轮复习中宜作为挑战题，不要求所有学生完成，仅作"高阶训练"使用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $