陕西西安市铁一中滨河高级中学2026-2027学年第一学期高三年级数学学情调查（一）

西安市铁一中滨河高级中学2026-2027学年度 第一学期高三年级数学学情调查（一） 时间：120min；总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知p：，，q：在上单调递增，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中v为轮毂高度风速，单位：，n为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 7．若函数，则（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆，点，过点M的直线交椭圆于A，B两点，的中点为Q，定点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，定义域，下列说法正确的是（ ） A．在处取得极小值 B．函数最小值为 C．函数最大值为3 D．在区间单调递减 10．已知，则下列说法正确的是（ ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知，为方程的两个根，且，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为2（，） 11．已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，，则下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设a，b为正数，若，且，则______． 13．已知点P是直线：和：（，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是______． 14．若不等式（）对恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 16．如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲，乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． （1）求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率；（5分） （2）在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 18．已知函数（）． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，，求实数的取值范围． （3）求证：． 19．设抛物线C：（）的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，A与B的横坐标之积为． （1）求抛物线C的方程； （2）分别过A，B两点作抛物线C的两条切线，两条切线相交于点M，若M是直线上的动点，证明：直线l恒过定点； （3）过点B作直线l的垂线m，直线m与抛物线C交于点D，点B与点D为不同的两点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $西安市铁一中滨河高级中学2026-2027学年度 第一学期高三年级数学学情调查（一)参考答案 时间：120minm;总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.B2.B3.A4.C5.C6.B7.D8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABC 10.ABD )11.AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1213.6+2√2 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1):在△ABC中cos2A+3cos(B+C)=1 .2c0s2A-1-3c0sA=1,即2cos2A-3c0sA-2=0, cos 4=-1 解得 2,或c0sA=2(舍去)， e@小好瑞4 3； (2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A =b2+c2+bc=(6b+c2-bc. 代入数据可得12=16-bc,解得bc=4, s=bcsin4=x4x 3的面积2 2=5 16.解：I)证明：：四棱柱ABCD-ABCD为直四棱柱，：.BB1平面ABCD, :AB,BCC平面ABCD,:BB⊥AB,BB⊥BC :AB⊥BC,AB∩BB=B,AB,BBC平面ABBA,:BC⊥平面ABBA, ABC平面ABBA,:BC⊥AB: :BB上AB,AB=BB=2,平行四边形ABB,A为正方形，：AB上AB, :BC∩AB=B,BC,ABC平面ABC, :.ABL平面ABC (2)以B为坐标原点，BA,BC,BB正方向分别为，，z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐 标系， B C D A C 4(2,0,2),C(0,2,0),D(2,1,0),4C=(-2,2,-2),CD=(2,-1,0), 设平面4CD的法向量元=(x,y2), AC.i=-2x+2y-2z=0 则CDi=2x-y=0 令x=1,解得y=2,2=1,i=(1,2,1), y轴1平面ABB4, ∴平面ABB,4的一个法向量m=(01,0）, m列。2√6 os(m园同63 6 即平面ACD与平面ABB4所成锐二面角的余弦值为3. 17(1)设事件A为“小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意”，事件B为“小丁同学当天中午去乙餐厅 就餐”，则B为“小丁同学当天中午去甲餐厅就餐”· 由题意得P(B)=0.1,P(B=0.9.P(4B)=0.3.P(4)=0.8 根据全概率公式： P(A)=P(AB)P(B)+P(AB)P(B) =0.3×0.1+0.8×0.9 =0.03+0.72 =0.75 (2)由愿意可知X~B(n,0.75),则 P(X=k)=C0.75.0.25(k=0,1,2,,n) 因此 P(X=6)=C0.756.0.25-6 要使P(X=6)最大，需满足： P(X=6)≥P(X=5) P(X=6)≥P(X=7) 代入概率公式得： C60.756.0.25-6≥C5.0.755.0.25-5 C6.0.756.0.25m-6≥C7.0.757.0.25m-7 化简第一个不等式： 0.75、0.25 7 6n-5 0.75(n-5)≥1.5 n-5≥2 n≥7 化简第二个不等式： 0.25、0.75 6n-6 0.25(n-6)≥4.5 n-6≤2 n≤8 因为n∈N且n≥6，所以n=7或n=8. 答：当n=7或n=8时，P(X=6)的值最大. 18当a=-1时，=c+,则（倒=+1 令∫'()=0，得x=0. 当x<0时，"()<0，当x>0时，f'()>0 :函数f()在区间(-0,0)上单调递减，在区间(0，+切）上单调递增 “当x=0时，函数()取得最小值，其值为f(0)=1 (2)解：若x之0时，f-x)+n(x+2L,即e+x+n(x+)-1≥0.( 令8(x)=e+ar+ln(x+1)-1, 则8'()=e*+ -+a x+1 ①若a≥-2，由(I)知e+x≥1，即e≥1-x,故e≥1+x. sg=e++a≥(x+l++a≥2r+0+a=2+a≥0 r+1 x+1 x+1 :函数8()在区间[0，+o)上单调递增。 :8(x)≥8(0)=0 .(*)式成立 ②若a<-2,◆()=e+ +a x+1 )=e-1-+yc-1≥0 (x+1)2(x+1) 函数p(x)在区间0，+0)上单调递增。 由+0-2a0.oo)e+aa21-a+aa=l+。0 1-a 1-a 故，∈(0，-），使得()=0 则当0<x<时，()<p()=0,即8()<0 :函数8()在区间(0，)上单调递减。 :8(x)8(0)=0,即()式不恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[-2，+∞) (3)证明：由()知，当a=-2时，8()=c-2x+l血(x+)-l在[0，+∞）上单调递增. 0mg小1so 3 ln三>2-√e .2 3 >e2e :2 2-6<3 ,即 2 19.解：1)设A(,h),B(,) 的af=2>0,的有为0引 =+卫 当F在1上时，易知直线1的斜率存在，设直线1的方程为 2 y=kx+2 2 联立x=2y,消去，得x2-2pk-p2=0, 所以=-p=-4,又P>0,解得P=2, 所以抛物线C的方程为X=4y; 2证明：设M().自M是直线”立-1上的简点，有为2- y=1x2y'会 由(1)知，抛物线C的方程为X=4y,即4，故 21 1 所以过A,B两点的两条切线方程分别为 为y-y=2(x-x)知y-4=2(x-) 和 1 12 yi= 4 4 1 1 故过4，B两点的两条切线方程可分别变形为'=2-乃和'= y= 和 2x-h 1 1 由两条切线相交于点M,得一】 26-片.%=2-为 1 1 所以直线1的方程 为%2x-又%26-1 ,又 %2x-少= 所以 211 ,即26(x-)-y+1=0 x-1=0 x=1 由-y+1=0得y=1 所以直线1恒过定点(1，)： (3)证明：设点D(), 由题意知，直线1的斜率k存在且不为0， 1 则直线m的斜率为k,所以直线1的方程为)-片=k(x-)】 y-2=k(x-x2) 由(0x2=4y ,得r2-4+46,-4,=0 由△=(4)-4(4，-4)=16队2-16，+4=4(2k-广>0，得2≠2k, 4 4 所以出+名=4，同理，名+品=友，所以=4k-5,名=太 易知，当AB+BD最小时，B的横坐标在A和D的横坐标之间， 由抛物线的对称性，不妨设七≥0，且<2<：，则k>0, 则A=+产(-).BD=+(s-) A+BD=1+R(G-x)++(-) 所以 -i+-2)2+ =经小+到 因为过点8的切线的斜率为2号，所以O≤25<人 5X2 0≤ ,即0≤x<2k 0=i设4012达 1 当云1=0，即k=1时.f间=85。 当在1>0 1 ,即0<k<1时，函数f单调递增， 02fo)=41+0)4V++++2≥85 所以 当且仅当k=1时等号成立，又0<k<1, 所以当0<k<1时，AB+|BD>8V2, 1-1<0 当k0,即k>1时，函数f0单调递减。 e=4i- 所以 设)+4月 k4,k>1, 14-20+469- k 当k∈(D)时，N()<0,h(因单调递藏， 当k∈(5，+切)时.N(k)>0,h()单调递增， 40回-号. 8当>1所.-60>4图-65 又82>6W5, 所以AA+BD>6N5恒成立.