1.4绝对值与有理数的大小比较 训练 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

**基本信息** 以绝对值定义与性质为核心，通过7大题型系统整合几何意义、非负性应用及有理数大小比较方法，形成“概念-性质-应用”逻辑闭环，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绝对值与大小比较|2知识点+7题型（含综合解答题）|几何与代数意义转化、分类讨论、非负性“和为0则各为0”规则、数轴距离模型、作差法|从绝对值定义（距离）到性质（非负性），延伸至数轴结合与实际应用；大小比较从直接判断到数轴法、作差法递进|

第1章1.4 绝对值与有理数的大小比较 【新教材华东师大版】 知识点1 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即可整理为： 3. 如果，那么；如果，那么． 4. 绝对值具有非负性．即：。平方具有非负性。即： 5. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点2 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 说明： 对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a>b，a=b，a<b. 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 说明： 对于有理数a，b，c， 如果a>b，且b>c，那么a>c; 如果a<b，且b<c，那么a<c. 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型1 求数的绝对值】 1．的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．___________． 4．计算：___________． 5．的相反数为________，绝对值为________． 【题型2 已知绝对值求数】 1．若，且，则_________． 2．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 3．已知，，则x的值为______，y的值为______． 4．若，且，则______． 5．如果，且，那么_________． 6．已知，，且，则__________． 7．已知，，且满足，，则的值为_______． 【题型3 绝对值非负性应用】 1．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 2．如果，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．如果与互为相反数，那么代数式的值是（   ） A．1 B． C． D．2025 4．成立时，______． 5．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 6．已知，求的值． 7．计算： (1)已知 ，且，求的值． (2)若与互为相反数，求的值． 【题型4 数轴结合绝对值】 1．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上，点A和点B所表示的两个有理数的绝对值相等，那么下列说法错误的是（     ） A．原点在点A和点B之间 B．点B表示的数一定是负数 C．点A表示的数一定是非负数 D．点A和点B所表示的两个数互为相反数 3．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 5．在和之间的负整数有______个，绝对值不大于5的整数有______个，绝对值小于5的所有整数的积______． 6．数轴上点A表示，那么到点A距离是6个单位长度的点表示的数是 _____． 7．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 8．若，则______________． 9．阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【题型5 绝对值的实际应用】 1．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（     ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 3．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 4．某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 5．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 6．随着科技教育的深入推进，校园科技节已成为展示学生科技素养、激发创新思维的重要平台．某学校科技节开幕式上，小星同学用无人机进行表演，起飞后的高度变化情况见下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 记作 (1)此时无人机比起飞点高了多少米？ (2)无人机在四次升降中共飞行多少米？ 7．小丽的爸爸是一名交警，某个周末早上，他乘交通巡逻车从交警队出发，在东西方向的路上行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，巡逻七次结束后恰好到达小丽家门口，行驶记录如下表（单位：km）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)小丽家在交警队的哪个方向？与交警队相距多少千米？ (2)若该交通巡逻车每千米耗油，每升汽油需要7元，求该交通巡逻车完成这七次巡逻所需的汽油费用． 8．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从地出发，晚上到达地，当天航行记录如下：(单位：千米)：，，，，，，，，问： (1)地在地何方，相距多少千米？ (2)若船行驶每千米耗油.升，则这天共耗油多少升？ 9．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周 水果变化量最大，最大变化量为 （吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【题型6 正负数直接比大小】 1．在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 2．下面四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 3．用“<”号或“>”号填空： （1）3.6________2.5；     （2）________0； （3）________；  （4）________ （5）________； （6）________． 4．比较大小：________；（用“”，“”，“”号填空） 5．比较大小：________．（填“”、“”或“”） 6．已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 7．实数在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是_________． 【题型7 利用数轴比较数大小】 1、（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 2、（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，下列数中比数轴上点A表示的数小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 3、（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3 (1)________，________． (2)在数轴上标出表示，0，，的点，并用“<“连接起来． 4、如图,数轴上的两个点A．B所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b的大小关系是(   )    A． b<−a<−b<a B．a<−b<b<−a C．b<−a<a<−b D．b<−b<−a<a 第1章1.4 绝对值与有理数的大小比较答案与详细解析 【题型1 求数的绝对值】 1．B 【详解】解：． 2．C 【分析】利用，进行解答，即可． 【详解】解：， ∴ ． 3． 【详解】解：． 4．0 【分析】本题考查有理数的绝对值、相反数，掌握绝对值、相反数的有关概念是解题关键，先计算括号内的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0． 【详解】解：计算：，则原式变为 ， 计算绝对值内：，故 ， 最后取负：， 故答案为 ：0． 5． 【分析】根据相反数的定义，的相反数是 ；根据绝对值的定义，由于，则． 本题主要考查了相反数的定义和绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解： 的相反数为 ； ∵， ∴， 因此绝对值为 故答案为：；． 【题型2 已知绝对值求数】 1．3 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再结合即可得． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵， ∴． 2．或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 3． 【分析】若一个数的绝对值为正数，则这个数为． 【详解】解：已知，可得． 已知，可得． 4． 【分析】本题考查的知识点是绝对值的性质、有理数加法运算，解题关键是根据绝对值的性质得到、的值． 根据得到后即可得到的值，从而得解． 【详解】解：， ， 又∵， ， ∴ 故答案为：． 5．3 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，再结合条件筛选符合的解． 【详解】解：由，得或， 解得或， 因为， 所以． 故答案为：3． 6． 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想是解题的关键． 根据题意可得，，由得到，即，再分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，符合题意； 当，时，此时，符合题意； ∴综上所述，； 故答案为：． 7．1 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加法； 根据绝对值的定义，结合条件 ，，确定 a 和 b 的具体值，再计算 ． 【详解】解：，且，则； ，且，则 ； 则． 故答案为 1 【题型3 绝对值非负性应用】 1．C 【分析】本题考查了绝对值的非负性、求代数式的值； 根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都必须为零，从而求出a和b的值，再代入即可求值． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，熟练掌握非负性的运算是解题的关键． 利用非负数的性质，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且 ， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的性质，代数式求值，掌握互为相反数的两数和为0，且非负数相加为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据题意得到，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，， 所以． 故选：B． 4． 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 5． 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为： 且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 6． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，，，从而求出、、的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 7．(1) 或 (2)8 【分析】本题主要考查绝对值的计算，非负性，相反数的计算，掌握绝对值的性质是关键． （1）根据绝对值的性质化简计算即可； （2）根绝对值，平方数的非负性，相反数的定义，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，的值为或； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 【题型4 数轴结合绝对值】 1．D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 2．C 【分析】根据绝对值的几何意义以及互为相反数的性质即可作出判断． 【详解】解：因为在数轴上，点A和点B所表示的两个有理数的绝对值相等，所以点A和点B表示的数互为相反数， A、因为点A和点B表示的数互为相反数，且一正一负，所以原点必然在负数和正数之间，选项正确，不符合题意； B、由于点B在点A左侧，且两数互为相反数，所以点B表示较小的那个数，即负数，选项正确，不符合题意； C、点A表示的数一定是正数，虽然正数是非负数，但是因为“非负数”包含了正数和0，而点A不可能是0，选项错误，符合题意； D、绝对值相等且位置不同的两个有理数，必然互为相反数，选项正确，不符合题意． 3．C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 4．＜ 【详解】解：∵， ∴． 5． 2 11 0 【详解】解：① 和之间的负整数有，，共个， ② 绝对值不大于的整数为，共个， ③ 绝对值小于的整数为， ∴， 故答案为：①，②，③． 6．或3 【详解】解：设到点距离是个单位长度的点表示的数为， 由题意得， 整理得， 去绝对值可得或， 解得或． 7．8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 8． 【分析】先根据已知等式结合绝对值的性质求出的取值范围，再根据的范围化简所求绝对值即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ， ∴. 9．(1)5；7 (2)2或 (3)，，，，， 【分析】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可． 【详解】（1）解：，； （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或； （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，，． 10．(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【题型5 绝对值的实际应用】 1．C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 2．A 【分析】电脑数量变化的大小与变化量的绝对值有关，正负仅表示进出方向，只需比较每日进出数量的绝对值大小即可得到答案． 【详解】解： ，，，． ∵ ∴5月6日仓库电脑数量变化最大． 3．⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义． 比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 4．2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 5．丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 6．(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算与绝对值的实际应用，关键是区分“高度变化的净增量”与“总飞行距离”的计算逻辑：净增量用代数和计算，总飞行距离用各次变化的绝对值之和计算． （1）将四次高度变化的数值相加，得到比起飞点的高度差； （2）将每次高度变化的绝对值相加，得到总飞行距离． 【详解】（1）解：此时无人机比起飞点高的高度为米； （2）解：无人机在四次升降中共飞行的距离为 米． 7．(1)小丽家在交警队的东边，与交警队相距 (2)元 【分析】本题考查有理数的加减运算和绝对值在实际问题中的应用． （1）将每次行驶的距离相加，根据结果的正负判断方向，绝对值表示距离； （2）考查绝对值的应用，先计算总行驶路程，再根据每千米耗油量求出总耗油量，最后结合油价求出汽油费用． 【详解】（1）解：将七次行驶记录相加可得：， ∵结果为正， ∴小丽家在交警队的东边，与交警队相距千米； （2）解：先计算总行驶路程，即各次行驶距离的绝对值之和： ， 再计算总耗油量：， 最后计算汽油费用：(元)． 答：该交通巡逻车完成这七次巡逻所需的汽油费用为元． 8．(1)地在地的正东方，相距千米 (2)这天共耗油升 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的实际应用． （1）通过将所有航行记录的数值相加，根据结果的正负判断方向，绝对值判断距离； （2）通过计算所有航行记录数值的绝对值之和得到总路程，再结合单位耗油量求出总耗油量． 【详解】（1）解：计算所有航行记录的和：， ∵约定向东为正，结果为正， ∴地在地的正东方向，相距千米； （2）解：∵船行驶的总路程为所有航行记录数值的绝对值之和， ∴总路程为(千米)， ∵每千米耗油升， ∴总耗油量为(升)． 9．(1)三；； (2)减少了，吨 (3)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加减法和乘法的应用，理解题意是解题关键． （1）比较七天内的进出库数值即可； （2）把进、出库数据相加即可； （3）计算总进、出库数，最后乘上装卸费即可． 【详解】（1）解：， 则这一周内，与前一天相比，周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）， 故答案为：三；； （2）解：（吨）， 即这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解： （元）， 答：这一周共需付元装卸费． 【题型6 正负数直接比大小】 1．B 【分析】将分数化为小数，统一数的形式后比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴最小的数是． 2．C 【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可先排除负数选项，再统一剩余正数为小数形式比较大小，即可得最大的数为. 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴最大的数在正数里面，排除负数， ∵，， ∴ 最大的数是. 3． 【分析】根据有理数比较大小的法则“正数大于，大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”分别对各小题进行比较即可得答案． 【详解】解：(1) ∵、是两个正数， ∴ ． (2) ∵是负数，负数都小于， ∴ ． (3) ∵，，且， ∴ ． (4) ∵是正数，是负数，正数大于负数， ∴． (5) ∵是负数，为正数，正数大于负数， ∴． (6) ∵，，且 ， ∴ ． 4． 【分析】比较两个负数的大小，先计算两个数的绝对值，通分后比较绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得到结果． 【详解】解：，，且， ． 5． 【分析】先分别化简两个式子，再比较化简结果的大小， 【详解】解： ∵ ， ， ∴． 6． 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 7． 【分析】根据数轴上表示某个数的点与原点的距离的大小确定结论． 【详解】解：由图可知：实数在数轴上的对应点到原点的距离最小， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 【题型7 利用数轴比较数大小】 1、 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”直接作答即可． 【详解】解：观察数轴可知，， ． 故答案为：． 2、A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小． 根据数轴作答即可． 【详解】解：由数轴可知，， 即比数轴上点A表示的数小的数是． 故选：A． 3、(1)2， (2)见解析， 【分析】本题考查用数轴表示数，并比较有理数的大小．正确的表示出各数，是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置，确定的值，根据绝对值的意义，确定的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）由图可知：； ∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴； 故答案为：； （2）数轴上表示各数，如图： 由图可知： 4、B 【分析】根据相反数的意义，把-a、-b先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系 【详解】根据相反数的意义，把−a、−b表示在数轴上，    所以a<−b<b<−a. 故选B. 【点睛】本题考查数轴和有理数大小比较，解题的关键是掌握数轴和有理数大小比较. 学科网（北京）股份有限公司 $