1.4.2.3空间向量在立体几何中的综合应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的综合应用，通过生活中的降落伞问题导入新课，结合复习回顾的异面直线、线面、面面角公式，搭建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以实际问题和经典几何体为载体，融合综合法、向量法、坐标法，培养逻辑推理与数学抽象核心素养。通过例题解析与课堂检测，引导学生用数学语言表达几何关系，提升解决复杂问题的能力，为教师提供系统的教学案例和分层练习设计。

讲课人： 日期： 1.4.2.3空间向量在立体几何中的综合应用 学习目标 学习目标 核心素养 1.结合例题学习，学会运用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题. 逻辑推理 2.体会向量方法在解决立体几何问题中的应用. 数学抽象 复习回顾 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面所成角 角的类型 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 前面我们已经学习过空间向量解决距离、夹角问题，那么在实际生活中有哪些应用呢？又有哪些综合应用呢？ 下面先看一道生活中的实际问题，思考如何转化为数学问题来进行解决. 探索新知 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0. 01 N). 分析：①降落伞匀速下落时8根绳子拉力的合力的大小=礼物重力的大小 ②8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量. 探索新知 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0. 01 N). 解：设水平面的单位法向量为n，其中每一根绳子的拉力均为F. 因为 所以F在n上的投影向量为 所以8根绳子拉力的合力F合= 所以 所以 又因为降落伞匀速下落，所以|F合|=|G礼物|=1×9.8=9.8(N) 探索新知 例10:在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 分析：底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD 可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建空间直角坐标系.设DC=1. / 探索新知 （1）连接AC，交BD于点G，连接EG.依题意得 因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为 直线方向向量//平面内的一个非零向量 向量法证明直线与平面平行 （1）求证：PA∥平面EDB； 且 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，因此PA∥平面EDB. 所以 即PA∥EG. 探索新知 （2）证明：依题意得 所以PB⊥DE. 又 故 直线方向向量⟂平面内两个不共线的非零向量 向量法证明直线与平面垂直 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD. （2）求证：PB⊥平面EFD； 探索新知 解：已知PB⊥EF，由（2）可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角. 设点F的坐标为(x,y,z)，则 平面与平面的夹角的定义 因为 所以(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k),即x=k,y=k,z=1-k. 因为 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0， （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 所以∠EFD=60°，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°. 所以 点F的坐标为 又点E的坐标为 所以 所以 探索新知 思考：在例9，例10的问题解决中，我们用到了哪些方法，结合以下框图，谈谈你的收获？ 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 解决立体几何中的问题，可用三种方法： （1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题； （2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题； （3）坐标法：利用数及其运算来解决问题. 课堂小结 1.立体几何中的向量法 2.综合法、向量法、坐标法解决立体几何问题 课堂检测 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. (P41练习1) α l β A B C D 课堂检测 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角.(P41练习1) α l β A B C D E 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第41页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： $