专题5 函数的概念与表示（讲义）-2027年甘肃省（中职升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 函数的概念与表示 1. 理解函数的概念及定义域、对应关系和值域三个要素，会判断两个函数是否为同一函数。 2. 会求分式、偶次根式及由简单实际问题给出的函数的定义域，并能用集合或区间表示。 3. 会根据函数解析式、表格或图像求函数值和基础值域。 4. 理解解析法、列表法和图像法的特点，能根据实际需要选择适当的表示方法。 5. 了解简单分段函数，能求函数值、确定定义域并解决简单应用问题。 考点1　函数及其三要素 【知识梳理】 1．函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 即时训练 1．函数的三要素是（　　） A．解析式、表格、图像 B．自变量、函数值、图像 C．定义域、自变量、因变量 D．定义域、对应关系、值域 【答案】D 【解析】函数由定义域、对应关系和值域三个要素确定，故选D。 2．下列对应中，能构成从集合 } 到集合 } 的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】按 ，集合 中每个元素在 中都有唯一像；其余对应存在不唯一、无意义或像不属于 的情况，故选A。 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当 时，，故值域为 。 4．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】B 【解析】B中自变量字母虽不同，但定义域和对应关系相同；A、D的定义域不同，C对应关系不同，故选B。 5．设函数 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把 代入，得 ，故选C。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则 ，所以 ，即 ，故选A。 考点2　函数定义域 【知识梳理】 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值集合；分式的分母不为零，偶次根式的被开方数不小于零。 同时含有多种限制时，应列出不等式组并取各限制条件的交集。 实际问题中的定义域还应满足数量的实际意义，如长度为正、时间非负等。 即时训练 7．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分母不能为零，所以 ，即 ，故选A。 8．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】偶次根式有意义需 ，解得 ，故选B。 9．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】需同时满足 与 ，所以 且 ，故选C。 10．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根式在分母上，被开方数必须大于零，即 ，所以 ，故选A。 11．函数 的定义域为______。 【答案】 【解析】由 且 ，得 且 ，所以定义域为 。 12．用长为 的铁丝围成矩形，设一边长为 ，写出矩形面积 关于 的函数及定义域。 【答案】 【解析】矩形另一边为 ，故 ；两边长都为正，所以 。 考点3　函数值与值域 【知识梳理】 求函数值时，把给定的自变量代入对应关系并按运算顺序计算。 求基础值域要结合定义域；一次函数在闭区间上的值域可由两个端点的函数值确定。 对形如 的函数，可利用平方的非负性确定最小值及值域。 即时训练 13．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选C。 14．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，所以 ，故选D。 15．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时 ，当 时 ，故值域为 。 16．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，且 时取到1，故选A。 17．已知函数 ，若 ，则 ______。 【答案】 【解析】由 得 ，所以 。 18．求函数 的值域。 【答案】 【解析】配方得 。在 上， 时最小值为1， 时最大值为5，故值域为 。 考点4　解析法、列表法和图像法 【知识梳理】 解析法用数学表达式表示对应关系，便于计算；列表法直观列出有限个输入与输出；图像法能直观反映变化趋势。 函数图像上任一点 都满足函数的对应关系，反之满足对应关系且自变量在定义域内的点也在图像上。 同一函数可用不同方法表示，应根据数据是否离散、是否需要精确计算或观察趋势进行选择。 即时训练 19．能最直观地反映函数随自变量变化趋势的表示方法是（　　） A．图像法 B．列表法 C．列举法 D．解析法 【答案】A 【解析】图像法能直观呈现函数的变化趋势，故选A。 20．某班5名学生的身高与体重数据，适合优先采用（　　）表示 A．列表法 B．解析法 C．图像法 D．方程法 【答案】A 【解析】对象数量有限且数据离散，用列表法可清楚列出对应值，故选A。 21．点 是否在函数 的图像上？（　　） A．不在 B．仅当 时在 C．在 D．无法判断 【答案】C 【解析】当 时，，所以点 在图像上，故选C。 22．函数部分对应值如下：；。其解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】逐一代入可知 与表中四组对应值一致，故选B。 23．若函数 的图像经过 和 ，则 ______。 【答案】 【解析】由 ， 得 ，所以 。 24．已知某一次函数的对应值表中有 、，求该函数解析式。 【答案】 【解析】设 ，则 ，。相减得 ，故 ，进而 ，所以 。 考点5　分段函数 【知识梳理】 分段函数是在定义域的不同部分采用不同对应关系的一个函数，不是多个函数。 求分段函数值时，先判断自变量属于哪一段，再代入该段解析式；位于分界点时尤其要看等号归属。 分段函数的定义域是各段自变量范围的并集，作图时应注意分界点用实心点还是空心点。 即时训练 25．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，应代入第一段，，故选A。 26．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分界点 属于第一段，所以 ，故选D。 27．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，所以和为5，故选C。 28．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两段自变量范围 与 的并集为 ，故选A。 29．设 ，若 ，则 ______。 【答案】 【解析】当 时， 得 ，符合；当 时， 得 ，符合。 30．某停车场收费标准为：停车不超过2小时收费5元，超过2小时的部分每小时加收3元。写出停车费 关于时间 的分段函数（），并求停车5小时的费用。 【答案】；；停车5小时收费14元 【解析】按2小时为分界点列分段函数。 属于第二段，。 1.（2022·甘肃·真题T01）分式函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不为零列出不等式，解一元二次不等式即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为且， 故选：. 2.（2022·甘肃·真题T08）设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数，则， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 函数的概念与表示 1. 理解函数的概念及定义域、对应关系和值域三个要素，会判断两个函数是否为同一函数。 2. 会求分式、偶次根式及由简单实际问题给出的函数的定义域，并能用集合或区间表示。 3. 会根据函数解析式、表格或图像求函数值和基础值域。 4. 理解解析法、列表法和图像法的特点，能根据实际需要选择适当的表示方法。 5. 了解简单分段函数，能求函数值、确定定义域并解决简单应用问题。 考点1　函数及其三要素 【知识梳理】 1．函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 即时训练 1．函数的三要素是（　　） A．解析式、表格、图像 B．自变量、函数值、图像 C．定义域、自变量、因变量 D．定义域、对应关系、值域 2．下列对应中，能构成从集合 } 到集合 } 的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 4．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 5．设函数 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点2　函数定义域 【知识梳理】 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值集合；分式的分母不为零，偶次根式的被开方数不小于零。 同时含有多种限制时，应列出不等式组并取各限制条件的交集。 实际问题中的定义域还应满足数量的实际意义，如长度为正、时间非负等。 即时训练 7．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 8．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 9．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 10．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 11．函数 的定义域为______。 12．用长为 的铁丝围成矩形，设一边长为 ，写出矩形面积 关于 的函数及定义域。 考点3　函数值与值域 【知识梳理】 求函数值时，把给定的自变量代入对应关系并按运算顺序计算。 求基础值域要结合定义域；一次函数在闭区间上的值域可由两个端点的函数值确定。 对形如 的函数，可利用平方的非负性确定最小值及值域。 即时训练 13．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 14．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 15．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 16．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 17．已知函数 ，若 ，则 ______。 18．求函数 的值域。 考点4　解析法、列表法和图像法 【知识梳理】 解析法用数学表达式表示对应关系，便于计算；列表法直观列出有限个输入与输出；图像法能直观反映变化趋势。 函数图像上任一点 都满足函数的对应关系，反之满足对应关系且自变量在定义域内的点也在图像上。 同一函数可用不同方法表示，应根据数据是否离散、是否需要精确计算或观察趋势进行选择。 即时训练 19．能最直观地反映函数随自变量变化趋势的表示方法是（　　） A．图像法 B．列表法 C．列举法 D．解析法 20．某班5名学生的身高与体重数据，适合优先采用（　　）表示 A．列表法 B．解析法 C．图像法 D．方程法 21．点 是否在函数 的图像上？（　　） A．不在 B．仅当 时在 C．在 D．无法判断 22．函数部分对应值如下：；。其解析式可能是（　　） A． B． C． D． 23．若函数 的图像经过 和 ，则 ______。 24．已知某一次函数的对应值表中有 、，求该函数解析式。 考点5　分段函数 【知识梳理】 分段函数是在定义域的不同部分采用不同对应关系的一个函数，不是多个函数。 求分段函数值时，先判断自变量属于哪一段，再代入该段解析式；位于分界点时尤其要看等号归属。 分段函数的定义域是各段自变量范围的并集，作图时应注意分界点用实心点还是空心点。 即时训练 25．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 26．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 27．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 28．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 29．设 ，若 ，则 ______。 30．某停车场收费标准为：停车不超过2小时收费5元，超过2小时的部分每小时加收3元。写出停车费 关于时间 的分段函数（），并求停车5小时的费用。 1.（2022·甘肃·真题T01）分式函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 或 2.（2022·甘肃·真题T08）设函数，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $