专题4 一元二次不等式与绝对值不等式（讲义）-2027年甘肃省（中职升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式与绝对值不等式 理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的联系，能运用判别式判断根的情况。 掌握一元二次不等式的基本解法，能用集合或区间表示解集。 能根据二次函数图像和判别式讨论含参数的一元二次不等式。 掌握形如 |x|<a、|x|>a 及 |ax+b|<c、|ax+b|>c 的绝对值不等式解法。 能够从简单实际问题中建立一元二次不等式模型并求解。 考点1　一元二次方程与二次函数 【知识梳理】 方程 的判别式为 ； 时有两个不相等实根， 时有两个相等实根， 时无实根。 二次函数 的零点是一元二次方程 的实根。 当 时抛物线开口向上；当 时抛物线开口向下。 即时训练 1．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 6．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 考点2　一元二次不等式的解法 【知识梳理】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 即时训练 7．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 8．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 9．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 10．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 11．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 12．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 考点3　含参数的一元二次不等式 【知识梳理】 讨论含参数问题时，应依次关注二次项系数、判别式和对应方程两根的大小关系。 若要求 对一切实数 恒成立，则需 且 。 若二次项系数可能为零，还应单独讨论退化为一次不等式或常数不等式的情形。 即时训练 13．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 满足（　　） A． B． C． D． 14．若关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B． C． D． 15．若方程 有两个不相等的实根，则（　　） A． B． C． D． 16．若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．若关于 的不等式 有解，则（　　） A．对任意实数 都有解 B．仅当 有解 C．仅当 有解 D．仅当 有解 18．若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则（　　） A． B． C． D． 考点4　简单绝对值不等式 【知识梳理】 当 时，，。 当 时，，。 解 或 时，可把整体 看作一个变量再转化。 即时训练 19．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 20．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 21．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 22．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 23．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 24．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 考点5　不等式的实际应用 【知识梳理】 建立模型时先设未知量并明确取值范围，再根据面积、利润、路程等数量关系列出不等式。 求出不等式解集后，要结合实际意义取舍端点、整数性和正数条件。 面积、利润等问题常转化为一元二次不等式。 即时训练 25．某长方形的周长为 ，设一边长为 。若面积不小于 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．某商品每件成本为50元，售价为 元，每天销售量为 件。要使每天利润不低于2400元，则（　　） A． B． C． D． 27．用长为 的篱笆围成一面靠墙的矩形场地，设垂直墙的一边长为 。若面积不小于 ，则（　　） A． B． C． D． 28．一辆汽车制动距离 （单位：m）与速度 （单位：km/h）满足 。若制动距离不超过 ，则速度应满足（　　） A． B． C． D． 29．两个连续正整数的积不大于 ，较小的正整数为 ，则（　　） A． B． C． D． 30．某工厂产品日产量为 件，日利润（元）为 。要使日利润为正，则（　　） A． B． C． D． 1.（2020·甘肃·真题T13）一元二次方程有实数解，求m的取值范围. 2（2021·甘肃·真题T02）不等式组的解集为（ ） A. B. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式与绝对值不等式 理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的联系，能运用判别式判断根的情况。 掌握一元二次不等式的基本解法，能用集合或区间表示解集。 能根据二次函数图像和判别式讨论含参数的一元二次不等式。 掌握形如 |x|<a、|x|>a 及 |ax+b|<c、|ax+b|>c 的绝对值不等式解法。 能够从简单实际问题中建立一元二次不等式模型并求解。 考点1　一元二次方程与二次函数 【知识梳理】 方程 的判别式为 ； 时有两个不相等实根， 时有两个相等实根， 时无实根。 二次函数 的零点是一元二次方程 的实根。 当 时抛物线开口向上；当 时抛物线开口向下。 即时训练 1．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】判别式 ，故选A。 2．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】判别式 ，故选B。 3．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】判别式 ，故选A。 4．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】判别式 ，故选D。 5．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】判别式 ，故选A。 6．一元二次方程 的判别式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】判别式 ，故选C。 考点2　一元二次不等式的解法 【知识梳理】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 即时训练 7．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对应方程 的两根为 、。结合二次函数开口方向及不等号，解得 ，故选B。 8．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对应方程 的两根为 、。结合二次函数开口方向及不等号，解得 ，故选A。 9．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对应方程 的两根为 、。结合二次函数开口方向及不等号，解得 ，故选B。 10．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对应方程 的两根为 、。结合二次函数开口方向及不等号，解得 ，故选D。 11．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对应方程 的两根为 、。结合二次函数开口方向及不等号，解得 ，故选B。 12．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对应方程 的两根为 、。结合二次函数开口方向及不等号，解得 ，故选C。 考点3　含参数的一元二次不等式 【知识梳理】 讨论含参数问题时，应依次关注二次项系数、判别式和对应方程两根的大小关系。 若要求 对一切实数 恒成立，则需 且 。 若二次项系数可能为零，还应单独讨论退化为一次不等式或常数不等式的情形。 即时训练 13．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次项系数为正，要使不等式恒成立，应有 ，即 ，解得 ，故选A。 14．若关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因首项系数为正且解集为 ，需 ，解得 ，故选A。 15．若方程 有两个不相等的实根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】。有两个不相等实根需 ，故 ，选A。 16．若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】恒成立需 且 ，因此 ，故选A。 17．若关于 的不等式 有解，则（　　） A．对任意实数 都有解 B．仅当 有解 C．仅当 有解 D．仅当 有解 【答案】A 【解析】原式为 ，即 。对任意实数 ，均存在满足条件的 ，故选A。 18．若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图像与 轴没有公共点等价于 ，即 ，所以 ，故选A。 考点4　简单绝对值不等式 【知识梳理】 当 时，，。 当 时，，。 解 或 时，可把整体 看作一个变量再转化。 即时训练 19．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由绝对值不等式的几何意义， 表示到 的距离大于或等于 ，解得 ，故选A。 20．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由绝对值不等式的几何意义， 表示到 的距离小于或等于 ，解得 ，故选B。 21．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由绝对值不等式的几何意义， 表示到 的距离小于或等于 ，解得 ，故选D。 22．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由绝对值不等式的几何意义， 表示到 的距离小于或等于 ，解得 ，故选B。 23．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由绝对值不等式的几何意义， 表示到 的距离小于 ，解得 ，故选C。 24．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由绝对值不等式的几何意义， 表示到 的距离小于 ，解得 ，故选B。 考点5　不等式的实际应用 【知识梳理】 建立模型时先设未知量并明确取值范围，再根据面积、利润、路程等数量关系列出不等式。 求出不等式解集后，要结合实际意义取舍端点、整数性和正数条件。 面积、利润等问题常转化为一元二次不等式。 即时训练 25．某长方形的周长为 ，设一边长为 。若面积不小于 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】另一边长为 ，由 得 ，即 ，所以 ，故选A。 26．某商品每件成本为50元，售价为 元，每天销售量为 件。要使每天利润不低于2400元，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利润为 。由 得 ，即 ，所以 ，故选A。 27．用长为 的篱笆围成一面靠墙的矩形场地，设垂直墙的一边长为 。若面积不小于 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平行墙的一边长为 ，面积为 。由 得 ，解得 ，故选A。 28．一辆汽车制动距离 （单位：m）与速度 （单位：km/h）满足 。若制动距离不超过 ，则速度应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由实际意义 ，且 ，得 ，所以 ，故选A。 29．两个连续正整数的积不大于 ，较小的正整数为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 得 ，即 。结合 为正整数，得 ，故选A。 30．某工厂产品日产量为 件，日利润（元）为 。要使日利润为正，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 得 ，即 ，所以 ，故选A。 1.（2020·甘肃·真题T13）一元二次方程有实数解，求m的取值范围. 【答案】R 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行分析即可. 【详解】∵一元二次方程有实数解， ∴ ∴. 即m的取值范围为全体实数. 2.（2021·甘肃·真题T02）不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式解得， 由不等式得到，解得， 所以不等式组的解集为. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $