专题4 指数函数与对数函数（B卷·能力提升）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数高频考点，以实际情境题为主，强化运算能力与模型应用，构建“概念-运算-应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题|指数对数式化简、集合运算|概念生成→运算法则→性质应用| |图像性质|4题|图像变换、奇偶性判断|图像特征→性质推导→符号识别| |实际应用|7题|震级/信号衰减/算力模型|实际问题→数学建模→参数求解|

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、单选题 1. 式子的值为（ ） A.　 B.　 C. 　D. 【答案】C 【分析】分别利用对数恒等式、换底公式、指数幂运算法则化简每一项，再求和. 【详解】（对数恒等式：）；（对数底数与真数化简公式）；；三项求和：. 故选. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. 　B. 　C.　 D. 【答案】A 【分析】分别求解两个集合的取值范围，再求并集. 【详解】求集合：需满足，解得，即； 求集合：解不等式，解得，即； 求并集：. 故选. 3. 已知函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】D 【分析】利用幂函数定点特性求定点坐标，再求指数函数解析式，最后计算对数值. 【详解】对数型函数恒过定点，令真数，得，代入得，即定点.设指数函数，代入得，解得，故.则，. 故选. 4. 已知，则（ ） A.　 B.　 C. 　D. 【答案】D 【分析】利用对数换底公式，将所求对数转化为常用对数，代入已知条件化简. 【详解】由换底公式得：. ，. 因此. 故选. 5. 已知，则（ ） A. 　B. 　C.　 D. 【答案】B 【分析】借助0、1为中间值，结合指数、对数函数单调性比较大小. 【详解】：对数函数单调递减，，故； ：，故，即； ：指数函数单调递增，，故. 综上：. 故选. 6. 如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数图象轴对称变换规则、指数与对数函数互为反函数的性质求解. 【详解】；：关于轴对称，解析式为； ：关于对称），解析式为；：关于轴对称，解析式为. 故选. 7. 里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅.已知5级地震的最大振幅为，则7级地震的最大振幅是（ ） A.　 　B.　 　 　C.　 　D. 【答案】D 【分析】代入震级公式列方程，作差利用对数运算求振幅倍数关系. 【详解】由题意得：，.两式相减得：，故，即. 故选. 8. 已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：TB）与所需时间（单位：min）之间的关系为，当要处理的数据量从27TB增加到729TB时，处理的时间增加了9min，则要处理的数据量为81TB时，所需的处理时间为（ ） A.　 　B.　 　C.　 　D. 【答案】A 【分析】根据时间增量求出参数，确定解析式后代入计算. 【详解】代入数据得：，. 时间增量，解得，解析式为. 当时，. 故选. 9. 目前很多手机都具有快充功能，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（ ） A.分钟　 　B.分钟　 　C.分钟　 　D.分钟 【答案】C 【分析】列不等式求解充电时间，结合自然对数运算化简. 【详解】由题意得不等式：，化简得，即.两边取自然对数：，即.代入，得，最少充电时间为32分钟. 故选. 10. 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ） A.　 　B. 　　C.　 　D. 【答案】C 【分析】利用对数运算性质化简差值公式，代入数据精准计算. 【详解】衰减量差值：. 代入，得，故. 由，得. 故选. 11. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号强度公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，则信号强度值约减少6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号强度值从变到，则（ ） A.　 　 　B.　 　 　C.　 　D. 【答案】D 【分析】先根据距离翻倍的强度变化求，再代入强度差值求距离比值. 【详解】距离翻倍时：，得. 强度差值：，即. 代入得：，化简得，故. 故选. 12. 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ） A.万片　 　 　B.万片　 　 　C.万片　 　 　D.万片 【答案】B 【分析】代入已知条件求指数参数，再解不等式求最小投入量. 【详解】当时，，代入得：，化简得，即.由得：，即，变形为.结合，得，由指数函数单调性得，即.故芯片投入量至少为4万片. 故选. 二、多选题 13．已知，则下列结论正确的有（ ） A． 　 　B． 　 　C． 　 D． 【答案】BD 【分析】利用对数运算法则（积对数公式、对数恒等式）、对数换底公式，结合逐一化简验证. 【详解】已知，. A：，A错误； B：，B正确； C：由换底公式，，C错误； D：，D正确. 综上，答案为BD. 14．函数与的图象只可能是如图中的（ ） 【答案】BC 【分析】结合一次函数截距性质、对数函数单调性，分和两种情况讨论，匹配图像特征. 【详解】一次函数斜率为1，在轴截距为. 1、当时：对数函数单调递增，截距，直线交轴负半轴，对应选项C； 2、当时：对数函数单调递减，截距，直线交轴负半轴，对应选项B； A：时截距为负，无正截距图像，错误；D：时截距为负，无正截距图像，错误. 综上，答案为BC. 15．人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏 5.0 级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ） A． B． C．乙地发生的里氏 3.2 级地震释放出的能量为焦耳 D．甲地发生的里氏 5.0 级地震释放出的能量是丙地发生的里氏 4.3 级地震释放出的能量的倍 【答案】BD 【分析】代入已知数据求解常数，得到完整函数解析式，再分别代入震级求解能量、计算能量倍数关系. 【详解】将代入得： 由对数性质，化简得： 移项计算：，解得，故B正确，A错误； 完整解析式：. C：当时，，，，焦耳，C错误； D：设甲地震级，丙地震级，两式相减： ，化简得，即，D正确. 综上，答案为BD. 16． 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m 处测得实际声压分别为，则（ ） 声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 A． 　 　B． 　 　C． 　 　D． 【答案】ACD 【分析】根据声压级公式变形得到，声压级越大，实际声压越大，结合区间数据逐一计算判断. 【详解】由，变形得. C：电动汽车，代入得，，，C正确； A：燃油汽车声压级，混合动力汽车，恒有，故，A正确； B：，，则，故不成立，B错误； D：，，，即，D正确. 综上，答案为ACD. 二、填空题 17. 计算： （1）_______； （2）________. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用分数指数幂、负指数幂运算法则化简计算；（2）结合对数换底公式、对数恒等式、完全平方公式化简求解. 【详解】（1），，原式； （2）先化简对数：， 再化简对数式： 原式. 18．已知，，则__________，__________. 【答案】； 【分析】利用对数换底公式、指数对数互化公式化简，分步求解两个式子的值. 【详解】由换底公式：， 由得，故， 第一空：； 第二空：，. 19．①________； ②函数是奇函数，则________. 【答案】①；② 【分析】①利用负指数幂、对数运算公式计算；②利用奇函数性质恒成立求解参数. 【详解】①，，原式； ②设，定义域为，关于原点对称， 由奇函数性质：，化简得： 整理：，解得. 20．写出一个同时具有下列性质①②③的函数________. ①； ②； ③任取，且. 【答案】（答案不唯一） 【分析】性质②为偶函数，性质③为上单调递增，性质①为积函数性质，函数满足积性，取即可. 【详解】取，逐一验证： ①，满足； ②，为偶函数，满足； ③在上单调递增，任意，，满足. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、单选题 1. 式子的值为（ ） A.　 B.　 C. 　D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. 　B. 　C.　 D. 3. 已知函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则（ ） A.　 B.　 C.　 D. 4. 已知，则（ ） A.　 B.　 C. 　D. 5. 已知，则（ ） A. 　B. 　C.　 D. 6. 如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（ ） A. B. C. D. 7. 里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅.已知5级地震的最大振幅为，则7级地震的最大振幅是（ ） A.　 　B.　 　 　C.　 　D. 8. 已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：TB）与所需时间（单位：min）之间的关系为，当要处理的数据量从27TB增加到729TB时，处理的时间增加了9min，则要处理的数据量为81TB时，所需的处理时间为（ ） A.　 　B.　 　C.　 　D. 9. 目前很多手机都具有快充功能，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（ ） A.分钟　 　B.分钟　 　C.分钟　 　D.分钟 10. 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ） A.　 　B. 　　C.　 　D. 11. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号强度公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，则信号强度值约减少6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号强度值从变到，则（ ） A.　 　 　B.　 　 　C.　 　D. 12. 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ） A.万片　 　 　B.万片　 　 　C.万片　 　 　D.万片 二、多选题 13．已知，则下列结论正确的有（ ） A． 　 　B． 　 　C． 　 D． 14．函数与的图象只可能是如图中的（ ） 15．人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏 5.0 级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ） A． B． C．乙地发生的里氏 3.2 级地震释放出的能量为焦耳 D．甲地发生的里氏 5.0 级地震释放出的能量是丙地发生的里氏 4.3 级地震释放出的能量的倍 16． 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m 处测得实际声压分别为，则（ ） 声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 A． 　 　B． 　 　C． 　 　D． 二、填空题 17. 计算： （1）_______； （2）________. 18．已知，，则__________，__________. 19．①________； ②函数是奇函数，则________. 20．写出一个同时具有下列性质①②③的函数________. ①； ②； ③任取，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $