专题4 指数函数与对数函数（A卷·基础巩固）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数核心考点，以概念辨析-性质应用-图像分析-实际应用为逻辑链条，覆盖20道基础巩固题，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|考查平方根、指数函数定义等基础概念|从数与式的基本概念切入，构建函数概念认知基础| |性质应用|4题|涉及定义域、大小比较等函数性质|衔接概念与性质，强化运算能力与推理意识| |图像分析|2题|通过图像判断函数参数及性质|直观呈现函数特征，发展几何直观与空间观念| |实际应用|11题|涵盖成本、pH值、放射性等生活与科学情境|以真实问题为载体，培养模型意识与应用能力|

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 （A卷·基础巩固） 一、单选题 1. 实数的平方根（ ） A.　 B.　 C.　 D. 2. 下列结论中，正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D. 3. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 4. 函数的定义域为（ ） A.　 B. 　C. 　D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 6. 已知函数的图像如图，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一种产品的成本是元，今后年后，计划使成本平均每年比上一年降低，成本是经过年数的函数（），其关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 溶液的酸碱度是通过值来刻画的，已知某溶液的值等于，其中表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为，则该溶液的值为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 9. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知该放射性物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A.　 B.　 C.　 D. 10. 通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 11. 某品牌蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间存在关系，其中为常数.在电池容量不变的条件下，当时，；当时，.则电池的容量为（ ） A.　 B. 　C.　 D. 12. 某模型训练个单位的数据量所需要的时间为（单位：小时），其中为常数.已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）小时. A. 　B. 　C. 　D. 二、多选题 13．下列判断正确的是（ ） A． B．是定义域上的减函数 C．“” 是 “” 的充分不必要条件 D．函数过定点 14．已知函数，，则（ ） A．　 　B．　 　C．　 　D． 15．指数函数①；②且满足，则它们可能的图像为（ ） 16．某商场在销售空调旺季的 4 天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ） A．　 　B．　 　C．　 D． 二、填空题 17．（1）若，则__________；（2）若，则__________. 18．已知函数，则的定义域为__________. 19．指数函数的图象经过点，__________. 20．写出一个同时具有性质①②③的函数__________. ①；②当时，；③是增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 （A卷·基础巩固） 一、单选题 1. 实数的平方根（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】D 【分析】区分算术平方根与平方根的定义，先化简原式，再求解平方根. 【详解】首先化简算术平方根：.题目所求为实数3的平方根，根据平方根定义：一个正数有两个互为相反数的平方根.因此3的平方根为. 故选. 2. 下列结论中，正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D. 【答案】C 【分析】考查指数运算法则、平方根性质、偶次根式化简，逐一验证选项正误. 【详解】A选项：根据同底数指数幂乘法法则，，A错误； B选项：正数的平方根有两个，，B错误； C选项：设（根式结果恒正），平方得，代入，得，故，C正确； D选项：偶次根式结果非负，，D错误. 故选. 3. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】B 【分析】依据指数函数的定义：形如的函数为指数函数，要求底数为定值、指数为自变量、系数为1. 【详解】由指数函数定义可得：，解得.因此函数解析式为.代入，得. 故选. 4. 函数的定义域为（ ） A.　 B. 　C. 　D. 【答案】A 【分析】函数定义域需满足对数真数大于0、二次根式被开方数大于等于0，联立不等式求解. 【详解】根据函数定义列不等式组：，解得，即函数定义域为. 故选. 5. 设，则的大小关系为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助0、1作为中间值比较大小. 【详解】对于，：底数，指数函数单调递增， 故； 对于：对数函数单调递增，，故. 综上：. 故选. 6. 已知函数的图像如图，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性判断底数范围，结合零点位置求解参数范围. 【详解】单调性判断：函数图象单调递减，故对数函数底数满足； 与的交点：令，得，即，； 由图像，，解得. 与的交点：令，得， 由图像，，得，. 综上. 故选. 7. 一种产品的成本是元，今后年后，计划使成本平均每年比上一年降低，成本是经过年数的函数（），其关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】考查指数衰减模型，逐年推导成本变化规律. 【详解】每年成本比上一年降低，即每年成本为上一年的.初始成本为，经过年后，成本，定义域为. 故选. 8. 溶液的酸碱度是通过值来刻画的，已知某溶液的值等于，其中表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为，则该溶液的值为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】C 【分析】直接代入计算公式，结合对数运算求解. 【详解】将代入公式：. 故选. 9. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知该放射性物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出指数参数，再代入总时间计算剩余质量. 【详解】当时，，代入解析式得：，化简得. 再经过8年，总时间，此时，代入， 得. 故选. 10. 通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】C 【分析】列出两次地震的能量公式，作差利用对数运算性质求比值. 【详解】由题意得：，. 两式相减得：. 根据对数运算法则，即，故. 故选. 11. 某品牌蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间存在关系，其中为常数.在电池容量不变的条件下，当时，；当时，.则电池的容量为（ ） A.　 B. 　C.　 D. 【答案】D 【分析】根据容量不变列方程组，作商求出常数，再回代计算容量. 【详解】由容量不变可得方程组：，联立得， 整理得，即，故. 将代入原式，. 故选. 12. 某模型训练个单位的数据量所需要的时间为（单位：小时），其中为常数.已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）小时. A. 　B. 　C. 　D. 【答案】C 【分析】利用对数差值公式求比例系数，再计算第二段时间增量. 【详解】时间增量公式：. 第一段数据：，，代入得，解得. 第二段数据：，时间增量小时. 故选. 二、多选题 13．下列判断正确的是（ ） A． B．是定义域上的减函数 C．“” 是 “” 的充分不必要条件 D．函数过定点 【答案】CD 【分析】结合空集定义、函数单调性、充分不必要条件、指数函数定点性质逐一判断选项. 【详解】A：空集是不含任何元素的集合，因此，A错误； B：函数的单调递减区间为和，不能说在整个定义域上单调递减.例如取，满足，但，不符合减函数定义，B错误； C：充分性：若，两边同时除以正数，可得，充分性成立； 必要性：若，变形得，解得或，无法推出，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； D：对于指数型函数，令指数，得，此时，函数恒过定点，D正确. 综上，答案为CD. 14．已知函数，，则（ ） A．　 　B．　 　C．　 　D． 【答案】AC 【分析】本题为分段函数解方程问题，根据自变量取值范围分段讨论，分别代入对应解析式求解，验证解是否符合区间范围. 【详解】函数为分段函数，分两种情况讨论： ①当时，，令，化简得，解得，符合的范围； ②当时，，令，由对数定义得，符合的范围. 综上，方程的解为或，答案为AC. 15．指数函数①；②且满足，则它们可能的图像为（ ） 【答案】AD 【分析】根据指数函数图像性质：底数时，函数单调递增，底数越大，图像上升越陡；底数时，函数单调递减，底数越大，图像越靠近上方.结合分情况判断. 【详解】分两种情况讨论： 1、当时，、均为单调递增指数函数，底数更大，图像更陡，同一自变量下，即①在②上方，对应选项A正确； 2、当时，、均为单调递减指数函数，底数，同一自变量下，即①在②上方，对应选项D正确. 综上，答案为AD. 16．某商场在销售空调旺季的 4 天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ） A．　 　B．　 　C．　 D． 【答案】ACD 【分析】将分别代入各函数，计算函数值，与表格实际利润数据 对比，匹配度低的即为不符合的模型. 【详解】表格数据近似对应，符合指数增长规律，逐一验证选项： A：，代入得，与实际利润差距极大，不符合； B：，代入得，与表格数据高度吻合，符合； C：，代入得，数值远小于实际利润，不符合； D：，代入得，第3、4组数据与实际差距过大，不符合. 综上，不符合的为ACD. 二、填空题 17．（1）若，则__________；（2）若，则__________. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据立方根的定义求解；（2）利用指数幂互化公式，化为同底数指数方程，根据指数函数单调性列等式求解. 【详解】（1）由立方根定义，若，则； （2）化简方程：，为单调函数，底数固定，指数相等： ，展开得，移项合并得，解得. 18．已知函数，则的定义域为__________. 【原题】已知函数，则的定义域为. 【答案】 【分析】函数定义域需满足根式被开方数非负、对数真数大于0，联立不等式组求解. 【详解】由函数解析式得不等式组：，解得：，函数定义域为. 19．指数函数的图象经过点，__________. 【答案】 【分析】设出指数函数标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再代入自变量计算函数值. 【详解】设指数函数，将点代入得：，两边平方得， 因此函数解析式为，代入得：. 20．写出一个同时具有性质①②③的函数__________. ①；②当时，；③是增函数. 【答案】（答案不唯一，所有底数大于1的指数函数均可） 【分析】根据指数函数运算性质和单调性，底数大于1的指数函数满足积性公式、函数值恒正、单调递增三大性质. 【详解】取，验证性质： ①，满足； ②对任意，，满足； ③底数，在上单调递增，满足. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $