专题4 指数函数与对数函数（讲义）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数幂与 指数函数 指数型函数求值、奇偶性与单调性 2026-26 单选 5 指数函数的图像与单调性 2023-20 单选 5 负指数幂、立方根运算 2022-27 填空 5 对数与对数函数 对数函数图像与性质 2025-21 单选 5 指数函数与对数函数的图像与性质 2024-21 单选 5 对数函数的定义域 2022-24 单选 5 指数函数与对 数函数的应用 对数函数模型的应用（声压级） 2026-24 单选 5 对数函数模型的应用（生物丰富度） 2025-26 单选 5 对数函数模型的应用（值） 2024-26 单选 5 对数函数模型的应用（里氏震级） 2023-25 单选 5 对数函数模型的应用（声强级） 2022-25 单选 5 命题轨迹透视： 指数函数与对数函数连续五年在湖北技能高考考试中考查11题，以单项选择题为主要考查形式，少量设置填空题，单题分值恒定5分，命题节奏趋于固化。考查内容一方面聚焦指数、对数的运算、函数定义域、奇偶性、单调性与图像性质等核心基础；另一方面高频结合声压、震级、pH 等现实情境考查对数函数模型应用，兼顾知识理解与实际建模能力考查。考点分布，三足鼎立，应用为重。命题趋势，情境化持续强化.备考复习应 "两条腿走路"：一是夯实指对函数定义域、单调性、奇偶性及图像识别等基础考点，关注指对函数图像的对比辨析；二是重点突破对数函数模型的实际应用，熟练掌握声压级、震级、pH 等常见情境下的对数建模与运算，做到 "见情境能列式、遇对数能化简"。 【考点1：指数与指数函数】 1.（2026·湖北·真题）（多选）已知 ，下列选项正确的是（ ） A. 　 B. 　 C. 是偶函数　 D. 是减函数 【考点】指数类型函数求值、奇偶性与单调性判断 【答案】AB 【解析】A：，正确；B：，正确； C：，， 且 ，非奇非偶，错误；D：，，函数不是减函数，错误. 2.（2023·湖北·真题）若指数函数 ，，， 在同一坐标系中的图像如图所示，则 ，，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【考点】指数函数的图像与单调性 【答案】C 【解析】指数函数 的图像性质： 当 时，函数单调递增，且 越大，图像在第一象限越 “高”； 当 时，函数单调递减，且 越大，图像在第一象限越 “高”. 取 ，此时函数值等于底数，即 ，，，. 从图像中可以看出， 时函数值的大小关系为 ，因此底数大小关系为 . 3.（2022·湖北·真题）计算：__________________. 【考点】负指数幂、立方根运算 【答案】 【解析】. 1.根式 ，奇数：；偶数：. 2.分数指数幂 ；；. 3.幂运算法则（） ；；. 4.指数函数的定义 （且，底数为常数，指数是自变量），定义域，值域，恒过定点. 5.指数函数的性质 （1）奇偶性：是非奇非偶函数 （2）单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减. （3）图像特征：全部在轴上方；时，函数值大于 1，函数值小于 1. 1. 的 0 次幂、负分数指数幂无意义；使用分数指数幂前提. 2. 为偶数时，，要写成，不要直接去掉绝对值. 3. 指数函数底数条件：，做题务必检验底数范围. 4. 比较指数式大小：先看底数是否相同；底数不同找中间量 0、1 辅助判断. 5. 指数函数值域永远大于 0，恒成立，不会等于 0 或负数. 6. 解不等式：直接去底；不等号方向要反转. 【预测一：考查指数幂、根式的运算】 1．计算：________. 2. 若，则_____；若，则______（结果用分数指数幂表示）. 【预测二：考查指数函数的概念、图像及性质】 3. 下列各函数中，是指数函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数与的图象大致是（ ） 6. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】 【分析】依次运用分数指数幂运算、零指数幂性质、根式化简公式计算，逐步求解. 【详解】原式化简计算：. 2.【答案】； 【分析】第一问化为同底指数式，根据指数相等求解；第二问将根式化为分数指数幂，结合幂的运算法则化简求值. 【详解】①求解：原方程化为同底数： 幂相等则指数对应相等：，解得； ②求解：，原式. 3.【答案】D 【分析】指数函数的标准定义为（且），需同时满足三个条件：底数为正且不等于1、自变量为唯一指数、解析式系数为1，据此逐一判断. 【详解】A选项：底数，不满足底数大于0的要求，不是指数函数； B选项：解析式系数为，不为1，不是指数函数； C选项：指数为，不是单纯的自变量，不是指数函数； D选项：，底数且，系数为1，指数为，符合指数函数定义. 综上，答案选. 4.【答案】B 【分析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数，要求解析式系数为1，底数满足定义域要求，先求解参数，再代入自变量计算函数值. 【详解】由指数函数定义可得方程组： 由，解得，符合底数取值要求. 因此函数解析式为. 将代入得：. 答案选. 5.【答案】A 【分析】分和两种情况，结合指数函数单调性、一次函数斜率与截距的几何意义，逐一排除错误选项. 【详解】①当时：指数函数在上单调递减，且恒过定点； 一次函数斜率，截距，即直线与轴交点在下方，符合该特征的为A选项，B选项截距大于1，错误. ②当时：指数函数单调递增，一次函数截距，且斜率为正，C、D选项中直线斜率为负，均不符合，排除. 综上，答案选. 6.【答案】C 【分析】利用指数函数单调性比较同底数指数式大小，借助中间值1区分不同范围的指数式，进而判断三者大小关系. 【详解】对于指数函数，底数，函数在上单调递减. 因为，所以，即. 由指数函数性质可知：，即. 对于，底数，故，即. 综上可得：，答案选. 【考点2：对数与对数函数】 1.（2025·湖北·真题）函数 的图像是（ ） A. B. C. D. 【考点】对数函数图像与性质、函数奇偶性 【答案】B 【解析】定义域：，即 ，定义域关于原点对称； 奇偶性：，函数为偶函数，图像关于轴对称； 分段分析： 当 时，，在 单调递增，过点 ； 当 时，，在 单调递减，过点 . 结合特征可知对应选项 B. 2.（2024·湖北·真题）如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（ ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【考点】指数函数与对数函数的图像与性质 【答案】A 【解析】指数函数部分：已知，是递减的指数函数，图像过且从左上到右下.是递增的指数函数，图像过且从左下到右上，因此递增的曲线对应. 对数函数部分：是递增的对数函数，过，当时，对应图像中从向右上方延伸的曲线；是递减的对数函数，过，当时，对应图像中从向右下方延伸的曲线. 综上，，，，选 A. 3.（2022·湖北·真题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【考点】对数函数的定义域、一元二次不等式求解 【答案】A 【解析】对数函数的定义域为，因此需满足：, 整理得：，解得，即定义域为，选 A. 1.对数定义：若，则；底数，真数，. 2.常用结论：，，， 3.对数运算公式：，， 换底公式： 4.对数函数的定义： ，定义域：，值域：，过定点 5.对数函数的性质： （1）奇偶性：非奇非偶函数 （2）单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减. 比较大小：看底数判断增减，结合 0、1 作中间量. 1. 对数的真数必须大于 0，求解方程、不等式优先写定义域，容易出现增根. 2. ，不能拆分加减，只可拆乘除； ，注意前提，负数不能直接提取系数. 3. 对数函数单调性看底数：增，减；解不等式时，底数小于 1 要改变不等号方向.比较大小时，容易忽略底数范围，直接当作递增处理导致结果颠倒. 4. 区分指数函数与对数函数定义域、定点；指数函数的图像只在 x 轴上方；对数函数图像只在 y 轴右侧. 5. 换底公式不要写反分子分母：，不是. 【预测一：对数的运算】 1．计算：（1）________；（2）________. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【预测二：对数函数的概念、图像及性质】 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若（且，且），则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，函数，的图象可能为（ ） 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】； 【分析】利用对数减法运算法则分别计算两空. 【详解】①第一空：； ②第二空：. 2.【答案】C 【分析】分段函数求值需根据自变量取值范围选择对应解析式，结合对数运算性质、对数恒等式化简计算. 【详解】①计算：因为，代入对应的解析式： . ②计算：因为，代入对应的解析式： . ③求和：. 答案选. 3.【答案】A 【分析】利用对数加法运算法则化简方程，先根据对数真数大于0确定定义域，求解方程后验根，舍去增根. 【详解】由对数式有意义的条件得定义域：，解得. 原方程化简： 根据对数定义得：，整理得一元二次方程： 因式分解：，解得或. 结合定义域，舍去增根，故. 答案选. 4.【答案】A 【分析】函数定义域需满足：对数真数大于0、二次根式被开方数大于等于0，联立不等式组求解即可. 【详解】根据函数有意义条件列不等式组： 解不等式，得；解不等式，得. 综上，函数定义域为，答案选. 5.【答案】D 【分析】利用对数符号与底数的关系、换底公式变形，结合对数函数单调性，判断底数的取值范围和大小关系. 【详解】已知，对数函数值为负，说明底数，，故A、B选项正确. 由换底公式得：，，则. 不等式两边为负数，取倒数后不等号反向，得：. 又在定义域上单调递增，故，C选项正确，D选项错误. 本题要求选择不正确的结论，答案选. 6.【答案】D 【分析】根据底数，分别判断对数函数、指数函数的单调性和定点，匹配图像特征. 【详解】已知： ①对数函数：在上单调递减，恒过定点； ②指数函数，由得，函数在上单调递增，恒过定点. 结合图像特征：对数函数递减、指数函数递增，仅D选项符合条件. 综上，答案选. 7.【答案】D 【分析】借助中间值1、2划分取值范围，结合对数函数单调性，进而比较大小. 【详解】①判断范围：，即. ②判断范围：，即. ③判断范围：，即. ④比较与：， ，故. 综上，三者大小关系为：，对应选项：. 【考点3：指数函数与对数函数的应用】 1.（2026·湖北·真题）声压级计算公式为 ，记，其中为真实噪音，为参考噪声.当 时， 与 的关系为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】对数函数模型的应用、对数运算、对数方程求解 【答案】C 【解析】将 代入公式：，化简得：， 由对数定义：，即 ，本题选 C. 2.（2025·湖北·真题）某实验室开展从河流水质监测评估为主题的跨学科综合性活动，监测得到生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好. 若某河流治理前后生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度由变为，则（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 【考点】对数函数模型的应用（生物丰富度指数） 【答案】 【解析】由 ，得 . A 选项：，A 正确. B 选项：，B 正确. C 选项：，满足比例的有无穷多组，不一定是，C 错误. D 选项：，满足比例的有无穷多组，不一定是，D 错误. 3.（2024·湖北·真题）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位为摩尔/升，若pH<7，则溶液为酸性；若pH=7，则溶液为中性；若pH>7，则溶液为碱性. 下列说法正确的有 A. 若，则溶液的pH为9 B. 若，则溶液为中性 C. 若，则溶液为酸性 D. 若，则溶液为碱性 【考点】对数函数模型的应用（值计算） 【答案】 【解析】 A：，正确；B：，中性，正确； C：，酸性，正确；D：，酸性，D 错误. 4.（2023·湖北·真题）地震的里氏震级的计算公式为，其中A表示地震的最大振幅，表示“标准地震”的振幅.假设在一次地震中，测震仪测得A=10，0.001，则该地震的震级为里氏（ ） A. 4级 B. 5级 C. 6级 D. 7级 【考点】对数函数模型的应用（里氏震级） 【答案】A 【解析】把A=10，0.001直接代入公式，得 ， 答案 A. 5.（2022·湖北·真题）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）.平时常人交谈时的声强 W/m2，其声强级约为（ ） A.10dB B.60dB C.120dB D.180Db 【考点】对数函数模型的应用（声强级） 【答案】 【解析】把声强 直接代入公式，得 ， 答案 B. 1.指数函数模型：，常用于增长率、衰减问题；为基数，为增长率 / 衰减率，为次数. 2.对数函数模型：，常用于声音分贝、地震震级、酸碱度pH等量级类问题. 3.运算公式： 指数：， 对数：；；. 指数与对数互化：. 换底公式： 4.函数性质： ：递增；递减，值域. ：递增；递减，定义域. 5.实际解题步骤：审题建模型→代入数值→指数对数运算→求解→检验实际意义. 1. 对数的真数必须大于 0，求解后要舍去使真数≤0 的解.对数的底数，不要遗漏底数限制条件. 2. 指数增长模型：衰减时取负数，不要写成. 3. 混淆指数、对数模型：增长成倍用指数；已知倍数求次数常用对数. 4. 忽略实际定义域：代表次数、时间，一般取非负数，结果要符合现实；计算结果不检验：求出数值后要放回原题验证是否符合题意. 【预测一：考查指数函数模型的应用】 1. 某牧场今年年初牛的存栏数为 2000，预计以后每年存栏数的增长率为 5%，则牧场从今年起开始计算，第 3 年年初计划存栏数为（ ） A．2200 B．2205 C．2300 D．2315 2. 古生物学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间．当生物体生存时，其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平，设为．当生物体死亡后，碳 14 会发生衰变．且碳 14 含量随时间（单位：年）的变化规律满足 ，其中是衰变常数．已知碳 14 的半衰期约为 5730 年，即每经过 5730 年，碳 14 含量就会变为原来的，现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳 14 含量为．由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【预测二：考查对数函数模型的应用】 3. 我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则时的声音强度是时声音强度的（ ） A．2 倍 B．4 倍 C．10 倍 D．100 倍 4. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则（ ） A． B． C． D． 5. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 / 升．已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔 / 升，则该溶液的约为（参考数据：，）（ ） A． B． C． D． 【答案、分析、详解】 1.【答案】B 【分析】本题考查指数函数增长模型，第 1 年初为初始值，第 2 年初增长 1 次，第 3 年初增长 2 次，代入增长公式 计算. 【详解】今年年初（第1年初）存栏数：，年增长率 第3年初相较于第1年初，经过2次增长，根据指数增长公式可得： . 故选：. 2.【答案】C 【分析】本题考查指数函数衰减模型，先利用半衰期求出，再代入，解指数方程求，借助对数运算和参考数据算出数值. 【详解】已知半衰期：时，，代入衰变公式： 约去得：，转化为对数式：，解得 由题意，化石碳14含量满足，代入公式得： 约去得：，转化为对数式：，即 将代入得：，代入参考数据： ，，故选：. 3.【答案】D 【分析】本题考查对数函数模型，代入分贝公式，分别求出对应的、对应的，再求比值. 【详解】当时，代入音量公式： 当时，代入音量公式： 两式作比：，故选：. 4.【答案】C 【分析】本题考查对数函数模型，把震级代入关系式，得到、，两式相减，利用对数运算性质求出，再还原指数得到比值. 【详解】将代入能量公式： 将代入能量公式： 两式作差，根据对数运算性质： ，，由对数与指数互化可得：. 故选：. 5.【答案】D 【分析】本题考查对数函数模型，将氢离子浓度代入公式，利用对数运算公式拆分化简，结合已知参考数据计算求解，得出pH数值. 【详解】已知，代入pH计算公式： 由对数性质得，代入参考数据： ，故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $