11-第14讲 函数模型及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据课标要求覆盖函数模型选择、增长速度差异比较、实际问题建模三大核心考点，通过梳理三种函数模型性质、常见模型解析式及易错点，对接高考评价体系，明确分段函数、指数对数模型等高频考点权重，归纳图象辨析、已知模型计算、构建模型求解等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养提升”的备考设计，如结合2025北京卷对数模型训练时间计算、2026湖北荆门质检指数模型过滤问题，提炼待定系数法、分段函数分类讨论等解题技巧，培养学生用数学眼光观察实际问题、用数学思维分析增长规律的素养。通过对点演练和总结反思，帮助学生掌握建模关键步骤，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第14讲 函数模型及其应用 1 【课标要求】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和 工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一 次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数 爆炸”等术语的现实含义. 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型, 体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现 实意义. 课 标 要 求 2 1.三种函数模型的性质的比较 函数性质 在 上的 单调性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 递增 递增 递增 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ,为常数, 二次函数模型 ,,为常数, 反比例函数模型 ,为常数且 指数函数模型 ,,为常数,且 , 对数函数模型 ,,为常数,且 , 幂函数模型 ,, 为常数,, 课 前 基 础 巩 固 4 常用结论 1.函数在区间 上单调递减, 在区间 上单调递增. 2.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快， 其增长量越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢， 其增长量越来越小. 课 前 基 础 巩 固 5 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）解决某一实际问题的函数模型是唯一的.( ) × [解析] 对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别，故错误. ◆ 课前演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 6 （2）对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模 拟效果越好.( ) √ [解析] 数据越多，模拟效果越好，故正确. （3）函数比 增长的速度更快些.( ) × [解析] 根据幂函数、指数函数的性质知错误. （4）函数 的衰减速度越来越慢.( ) √ [解析] 由对数函数的图象与性质知正确. 课 前 基 础 巩 固 7 题组二 教材改编 1.有一组实验数据如表所示，则体现这组数据的最佳函数模型是 ( ) 2 3 4 5 6 1.33 2.67 5.33 10.67 21.33 A. B. C. D. √ 课 前 基 础 巩 固 8 [解析] 令，则, , ,， 通过所给数据可知，随 的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，C选项中的函数增长的速度越来越慢，D选项中函数增长的速度不变，B选项中函数增长的速度越来越快，所以B符合题意.故选B. 课 前 基 础 巩 固 9 2.某商品在最近30天内的单价（单位：元）与时间 （单位：天） 的函数关系是，销售量 （单位：件）与时间 （单位：天）的函数关系是 ，则在最近30天内，这种商品的 日销售金额最高为_____元. 506 课 前 基 础 巩 固 10 [解析] 设日销售金额为 元，则，又 ，， 所以当或13时， 取得最大值506，故在最近30天内，这种商品的日销售金额最高为506元. 课 前 基 础 巩 固 11 3.某商场国庆假期期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，那么 超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 超过500元的部分 课 前 基 础 巩 固 12 设某人在此商场的购物总金额为元，可以获得的折扣金额为 元， 则关于的函数解析式为 若此 人可以获得的折扣金额为30元，则此人购物实际所付的金额为_____ 元. 1320 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 若，则 ，所以. 由，得 ，故此人购物实际所付的金额为 （元）. 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 用函数图象刻画实际问题的变化过程 例1（1）已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的 价格走势如图所示，假设某商人持有资金6万元，他 可以在至 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖 能够立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在 时 刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是 ( ) A.4万元 B.4.5万元 C.5万元 D.6万元 √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 当甲6元时，该商人全部买入甲商品， 可以买（万份），在 时刻全部卖出， 此时获利 （万元）； 当乙4元时，该商人买入乙商品，可以 买（万份），在 时刻全部卖出，此时获利（万元），共获利 （万元）.故选D. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）（多选题）[2025· 广东普宁调研]某数学小 组在进行“探究茶水温度与时间的关系”的活动时， 根据所收集的数据，得到时间（单位： ）与 水温（单位： ）的散点图（如图），则下列不 可能作为该散点图对应的函数模型的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] ， 为增函数，故A，C不可能作为该散点图对应的函数模型； ， 为减函数，故B，D可能作为该散点图对应的函数模型.故选 . 课 堂 考 点 探 究 18 总结反思 判断函数图象是否与实际问题变化过程相吻合的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先构建函数 模型，再结合模型选图象. （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象 的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案，选 择出符合实际情况的答案. 课 堂 考 点 探 究 19 【对点演练1】（1）[2026·浙江杭州十四中模拟]已知边长为1的正方 形，为边的中点，动点在正方形 边上沿 运动，设点经过的路程为，的面积为 ，则 关于 的函数的图象大致为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 当动点在正方形边上沿运动时， 的面积为,； 当动点在正方形边上沿 运动时， 的面积为 , ；当动点在正方形边上沿运动时， 的面积为, . 课 堂 考 点 探 究 21 结合选项知A正确，故选A. 课 堂 考 点 探 究 （2）（多选题）[2026·江苏南京二十九中期中]某药物在人体内的血 药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（单位： ） 的变化规律可近似表述为，其中为初始血药浓度， 为代谢速率常数， 的图象如图所示，则( ) A. B.每小时血药浓度降低的数值相等 C.服药后6小时，血药浓度降至初始值的 D.服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 将代入 中得，， 得 ，故A正确； 因为，所以当 时， ，不是定值，故B错误； 因为 ，所以 ，故C正确； 由题图可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 24 探究点二 已知函数模型解决实际问题 例2（1）[2025·北京卷]在一定条件下，某人工智能语言模型训练 个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中 为常 数，在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到 个单位时，训练时间增加20小时，则当训练数据量从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（单位：小时） ( ) A.2 B.4 C.20 D.40 √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 设当取，， 时训练时间分别为,,. 由题意得， ， ， . 因为，所以 ，所以 ，所以当训练数据量从个单位增加到 个单位时，训练时间增加4小时.故选B. 课 堂 考 点 探 究 26 （2）[2026·湖北荆门质检]规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放， 已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：）与过滤时间 （单位：）之间的函数关系式为 为自然对数的底 数，为污染物的初始含量，过滤 后检测，发现污染物的含量为 原来的，要使污染物的含量不超过初始值的 ，则至少需要过滤 （参考数据： ）( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 过滤后检测，发现污染物的含量为原来的 ，则，则，可得，所以 ， 由，得 ，两边取以10为底的对数，可得，整理得， 故 ，解得，因此至少需要过滤 ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 28 总结反思 已知函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）认清所给函数模型， 弄清哪些量为待定系数；（2）根据已知条件利用待定系数法确定模 型中的待定系数；（3）利用该模型求解实际问题. 课 堂 考 点 探 究 29 【对点演练2】（1）沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置.现有 一个沙漏上方装有 的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下， 经过分钟时剩余的细沙量为，且为常数 ，经过 16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经 过的时间为( ) A.24分钟 B.28分钟 C.32分钟 D.36分钟 √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 依题意得，即 ，两边取对数得，所以，则 ， 当上方细沙是开始时的时，，所以 ，两边取对数得，所以，即要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为32分钟.故选C. 课 堂 考 点 探 究 31 （2）[2026·广东汕头质检]音量大小用声强级 （单位： ）表示，声强级 与声强（单位：）的关系是，其中 指的是人能听到的最 低声强.人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为.若学生早读 期间读书的声音的声强级范围为 （单位： ），则下列选项中说法错 误的是( ) A.（单位： ） B.学生早读期间读书的声强范围为（单位： ） C.如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D.如果声强级增加 ，则声强变为原来的10倍 √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 由题知，可得 ，A中说法正确； ，若 ，则，所以 ，B中说法正确； 若，则 ，C中说法错误； 若，则，可得 ，则 ，D中说法正确.故选C. 课 堂 考 点 探 究 33 探究点三 构建函数模型解决实际问题 例3（1）[2026·广东佛山调研]某工厂近两年投产高新电子产品，第 一个月产量为1000台，合格品率为 ，以后每月的产量在前一个 月的基础上提高，合格品率比前一个月增加.已知第 个月 ，且生产的合格品数量首次突破5000台，则 的值为 （参考数据： ）( ) A.8 B.9 C.10 D.11 √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 由题可得第 个月生产合格品的数量为 . 由题可得,则 , 所以.当 时， ，不满足题意； 当 时， ，不满足题意； 课 堂 考 点 探 究 35 当 时， ，不满足题意； 当 时, ，满足题意. 故第11个月生产的合格品数量首次突破5000台.故选D. 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2026·河南商丘联考] 某超市开展优惠促销活动，下表是购买 苹果的促销方案： 购买苹果的质量 苹果单价 不超过4千克的部分 8元 超过4千克但不超过8千克的部分 7元 超过8千克的部分 6元 已知甲、乙顾客分别从这家超市购买了3千克、6千克苹果，若甲、 乙两人合在一起购买9千克苹果，则可以节省___元. 4 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 设购买千克苹果，消费金额为 元， 则 甲购买3千克苹果消费金额为 （元），乙购买6千克苹果消费金额为 （元），甲、乙两人合在一起购买9千克苹果消费金额为 （元）， 则可以节省 （元）. 课 堂 考 点 探 究 38 总结反思 构建函数模型解决实际问题的时候，首先应选取合适的函数模型， 然后进行逻辑推理或运算，最后返回到实际问题中去，结合实际得 到问题的解. 课 堂 考 点 探 究 39 【对点演练3】（1）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案： 当销售利润不超过8万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利 润超过8万元时，若超出的部分为 万元，则超出的部分按 进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售 利润是( ) A.15万元 B.25万元 C.30万元 D.20万元 √ 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 由题意知，当时，；当 时， ， 所以 当 时，， 故小江的销售利润 ，所以，解得 ， 所以小江的销售利润是20万元.故选D. 课 堂 考 点 探 究 41 （2）（多选题）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆 形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位： ） 的四次方成正比，当气体在半径为 的管道中时，流量为 ，则( ) A.当气体在半径为的管道中时，流量为 B.当气体在半径为的管道中时，流量为 C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D.要使得气体流量不小于 ，管道的半径的最小值为 √ √ 课 堂 考 点 探 究 42 [解析] 依题意可设，. 当气体在半径为 的管道中时，流量为，所以，解得，则 . 当时，，故A正确，B错误. 由，解得 ，故C正确，D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 43 $