10-第13讲 函数的零点与方程的解课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据课标要求覆盖零点定义、等价关系、零点存在定理及二分法等核心考点，通过近五年高考真题分析明确零点区间判断、个数确定、参数求解等高频题型，构建“知识聚焦-易错辨析-考点探究”的系统复习网络。 课件亮点在于“真题驱动+方法建模+素养提升”，如结合2025天津卷例1，用零点存在定理与单调性判定零点区间，培养数学思维；通过复合函数零点“内外层分解法”，强化数学语言表达。设易错点警示和对点演练，帮助学生掌握“数形结合”“分离参数”等得分技巧，教师可据此精准突破考点，助力学生高效冲刺高考。

第13讲 函数的零点与方程的解 1 【课标要求】 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 2 1.函数的零点 （1）函数零点的定义 定义:对于一般函数,我们把使 的_______叫作函数 的零点. 实数 （2）等价关系 方程有实数解 函数的图象与_____有交点 函 数 有______. 轴 零点 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 （3）函数零点存在定理 如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 _____________,那么,函数在区间 内____________零点, 即存在,使得_________,这个也就是方程 的解. 至少有一个 （4）二分法：对于在区间 上图象连续不断且_____________的 函数，通过不断地把函数 的零点所在的区间_________， 使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的 方法叫作二分法. 一分为二 零点 课 前 基 础 巩 固 4 2.二次函数 的图象与零点的关系 二次函数 的图象 与 轴的交点 _____________ _______ 无交点 零点个数 ___ ___ ___ , 2 1 0 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 1.如果函数在区间 上是单调的，且在该区间上的图象是一条连 续不断的曲线，则函数 在该区间上至多有一个零点. 2.由函数 （图象是连续不断的）在闭区 间上有零点不一定能推出 （如图所示），所以“ ”是“ 在闭区间 上有零点”的充分不必要 条件. 课 前 基 础 巩 固 6 3.如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且 有，在上单调，那么 在区间 上有且仅有一个实数根. 4.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点. 5.函数有零点 方程有实数解 函数 与 的图象有交点. 6.函数有零点 方程有实数根 函数 与的图象有交点，其中 为常数. 课 前 基 础 巩 固 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的零点是 .( ) × [解析] 函数的零点是 ，故错误. ◆ 课前演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 8 （2）若函数在区间上满足，则函数 在 区间 上一定没有零点.( ) × [解析] 如函数在区间 上有 ，但是函数在区间 上有零点0， 故错误. （3）函数 有零点.( ) × [解析] 因为方程的判别式 ，所以 函数 没有零点，故错误. 课 前 基 础 巩 固 9 （4）已知定义在上的函数 的图象是连续不断的，若 ，则方程 至少有一个实数解.( ) √ [解析] 由函数零点存在定理可知正确. （5）用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.( ) √ [解析] 由二分法的定义可知正确. 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 教材改编 1.函数 的零点为( ) A.1， B.， C.2， D.， [解析] 令，得 ，解得 ，， 所以函数的零点为和 .故选B. √ 课 前 基 础 巩 固 11 2.用二分法求函数 的零点可以取的初始区间是( ) A. B. C. D. [解析] 因为,,且在定义域 上单 调递增， 所以可以取的初始区间是 .故选A. √ 课 前 基 础 巩 固 12 3.若函数在区间上存在零点，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 显然函数在 上是增函数，由函数零点存在定理可 知， 若函数在区间 上存在零点， 则只需满足，即， 解得 ， 所以实数的取值范围是 .故选D. √ 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 判断函数零点所在的区间 例1 [2025·天津卷]函数 的零点所在区间可以是 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 由指数函数、幂函数的单调性可知，在 上单调递 减，在上单调递增， 所以在 上单调递减. 因为, , ， ， , 所以根据零点存在定理可知 的零点所在区间可以是 . 故选B. 课 堂 考 点 探 究 15 总结反思 确定函数零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间 上的 图象是否连续，再看是否有，若有，则函数 在区间 内必有零点. （2）数形结合：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是 否有交点来判断. 课 堂 考 点 探 究 16 【对点演练1】 [2025·河北沧州二模]函数 的零 点所在的区间为( ) A. B. C. D. [解析] 因为与 均在定义域上单调递增， 所以在 上单调递增. 因为 ， ， 所以函数 的零点所在的区间为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 17 探究点二 用二分法求函数零点的近似值 例2 某同学用二分法求函数 的零点时，用计算器 算得部分函数值如表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是( ) A.1.2 B.1.21 C.1.27 D.1.32 √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] ， ， 由零点存在定理得，区间内存在零点， 该区间长度为 ，小于， 由于 ， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是 ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 19 总结反思 用二分法求函数零点近似值的关键：一是用定理，即利用函数零点 存在定理，估计零点所在的区间；二是取中点，即利用线段中点的 坐标公式，求出所给区间的中点的横坐标，从而求出其对应的函数 值，并判断函数值的符号，再利用“异号留，同号去”，缩小零点所 在的范围；三是满足精确度，重复第二步，直到满足精确度为止， 即可得近似值. 课 堂 考 点 探 究 20 【对点演练2】 [2026·广东汕头模拟]用二分法求函数 在内零点的近似值，若精确度要求为 ， 则需重复相同步骤的次数至少为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 原始区间长度为 ，第一次，区间长度减半，为 ， 第二次，区间长度减半，为 ， 第三次，区间长度减半，为 ， 第四次，区间长度减半，为 ， 故至少需要重复4次相同步骤.故选B. 课 堂 考 点 探 究 22 探究点三 判断函数零点的个数 例3 [2026·安徽合肥联考]函数 的零 点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定，与 的取值有关 [解析] 因为，所以由指数函数的图象与性质知， 当 时，，则， 当时， ，则， 又当时，，所以函数 只有1个零点，故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 23 总结反思 函数零点个数的判断方法 （1）直接求零点：令 ，如果能求出方程的解，那么方程有 几个解，函数就有几个零点. （2）函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在 上的图象 是一条连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象 和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点. （3）把原函数的解析式转化为两个函数解析式的差，画出两个函数 的图象，两个函数图象的交点个数即为原函数的零点个数. 课 堂 考 点 探 究 24 【对点演练3】（1）函数在 上的零点个数 为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 令，根据“对勾函数”的性质可知，函数 在 上单调递减，在上单调递增，且当 时， ，由，可得 ，. 只有当 ,2,3时，的值分别对应 , ,. 又因为 , , 在上各有2个解， 所以在 上有6个零点.故选C. 课 堂 考 点 探 究 26 （2）[2026·江苏苏北七市调研] 已知函数 满足 ，且 则方程 的实数解的个数为___. 5 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 由函数 满足 ，可得 ，所以 的一个周期为4， 又所以， 函数 的图象如图所示， 方程的实数解的个数即为的图象与直线 的 交点个数，由图可知两图象交点的个数为5，即方程 的实 数解的个数为5. 课 堂 考 点 探 究 28 探究点四 函数零点的应用 题型1 根据函数零点个数求参数 例4 已知函数若函数 恰有2个零 点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 易知当时，函数单调递增，且 . 当时，易知函数在上单调递增， 当时， ，当 时， ， 的大致图象如图所示. 若函数恰有2个零点， 则函数 的图象与直线有2个交点， 由图可知 ； 课 堂 考 点 探 究 30 当时，函数，显然函数 的图象 与直线没有交点，不符合题意； 当 时，根据对勾函数的性质可知， 当且仅当时等号成立， 显然函数 的图象与直线没有交点，不符合题意. 综上可知，实数 的取值范围是 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 31 题型2 根据函数零点范围求参数 例5（1）[2025·陕西西安六模]若函数在 上有零 点，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 易知在上单调递增，若函数在 上有零点， 则，即，解得 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 （2）[2025·湖南名校联考]已知函数在区间 上有零点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 函数在区间 上有零点， 则方程在区间上有解. 因为函数在区间 上单调递减，在上单调递增， ， ，， 所以，故的取值范围是 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 34 总结反思 根据函数零点情况求参数值（或范围）的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程（或不等式）， 再通过解方程（或不等式）确定参数的值（或范围）. （2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值（或值域）问 题加以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，然后在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象，最后数形结合求解. 课 堂 考 点 探 究 35 【对点演练4】（1）函数在区间 内有零 点，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 当时，由 可得 ， 令，因为 ，在上均单调 递增，所以在 上单调递增， 因为在区间内有零点，所以函数 在区间内有零点， 所以解得，故实数 的取值范围是 . 故选D. 课 堂 考 点 探 究 （2）（多选题）已知函数 ，若函数 存在两个零点，则 的值可能是( ) A. B.1 C.2 D.3 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 由题可得 其图象如图所示， 函数在上共有3个零点， 即方程在 上有3个根，，，. 又因为函数 在上存在两个零点， 所以.故选 . 课 堂 考 点 探 究 39 （3）[2026·辽宁名校联盟联考] 已知函数 至少有一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是_ ________. 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 对于函数 ， . 当，即时，没有零点，不符合题意. 当 时，或， 当时， ，其零点为1，符合题意； 当时， ，其零点为，不符合题意. 当，即或时， 有两个不相等的零点,， 课 堂 考 点 探 究 41 若至少有一个零点在区间 内， 则需或 解得或. 另外若,则 ， 则 ，零点为0或3，不符合题意； 课 堂 考 点 探 究 若,则 ， 则，零点为2或， ，符合 题意. 综上所述，的取值范围是. 课 堂 考 点 探 究 探究点五 复合函数的零点问题 例6（1）[2025·江西新九校协作体联考]已知函数 则函数 的零点个 数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 课 堂 考 点 探 究 44 [解析] 函数 的零点个数即 为方程 的解的个数. 作出函数 的大致图象，如图所示. 令，则， 解得 ，，. 当时， ，则，此时方程无解； 当时，，则 ，此时方程有3个不同的解； 课 堂 考 点 探 究 45 当时， ， 则 ，此时方程 有2个不同的解. 综上可知，函数 的零 点个数为5.故选A. 课 堂 考 点 探 究 46 （2）[2026·河北沧州期末]已知函数 若关 于的方程 有7个不相等的实数根， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 易知 . 由 可得 ， 故 或，画出函数 的图象，如图所示， 的图象与直线有3个交点， 若关于 的方程 有7个不相等的实数根， 则直线与的图象有4个交点, 所以，即 ，故实数的取值范围是 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 48 总结反思 对于复合函数 的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数 ； （2）确定外层函数的零点 ； （3）确定直线与内层函数 图象的交 点个数，分别记为，，， ，，则函数 的零点 个数为 . 课 堂 考 点 探 究 49 【对点演练5】（1）[2025·湖北十堰模拟]已知函数 则关于 的方程 的根的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 由得 ，解得 或. 画出 的大致图象如图所示，由图可知，函数的图象与直线 有5个交点，与直线 有5个交点， 故关于的方程 的根的个数为10.故选D. 课 堂 考 点 探 究 51 （2）已知函数若函数 有8个零 点，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 当，时， 的图象的对称轴为直 线， 所以在上单调递增，则函数 的大致 图象如图①所示. 令，则，解得或 ，即 或， 由图可知有2个解， 有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 课 堂 考 点 探 究 53 当， 时，的图象的对称轴为直 线， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 则函数 的大致图象如图②所示. 令，则，解得或 或 ，由图可知有2个解， 有3个解， 又有8个零点，所以 有3个解， 则解得，故实数的取值范围为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 54 $