亲爱的同学，欢迎你来到老师的数学微课堂。上节课我们一起学习了三角函数的有关概念。你还记得我们是怎么定义三角函数的吗？一起来试一试。设任意角阿尔法的终边与单位圆的交点为PXY，则sine阿尔法等于，cosine阿尔法等于，tangent阿尔法等于。非常棒，看来同学们都牢牢掌握了三角函数的有关概念。今天这节微课我们将学习一个新的知识，同角三角函数的基本关系。想必同学们都听说过蝴蝶效应，他是这样说的，一只蝴蝶在太平洋扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。既然蝴蝶和龙卷风两个看似毫不相干的事物都有联系，那同角的三函数值是否联系更加紧密呢？接下来就让我们一起来看看吧。首先让我们一起来完成下面的热身训练，经过计算我们可以发现sine 30度的平方加cosine 30度的平方等于一，sine 45度的平方加cos 45度的平方等于一，sine 60度的平方加cos 60度的平方等于一。并且sine 30度除以cos 40度等于tangent 30度，sin 45度除以cos 45度等于tangent 45度，sine 60度除以cos 60度等于tangent 60度，因此我们可以大胆猜测，sine阿尔法的平方加上sine阿尔法的平方等于一，sine阿尔法除以cosine阿尔法等于tangent阿尔法，由于是cosine阿尔法做分母，所以需要注意阿尔法不等于K派加二分之派K属于Z。但是数学的学习可不仅仅是猜想，还需要验证。接下来我们一起来验证刚才的猜想。如图，设点PXY是角阿尔法的终边与单位圆的交点，过点P作X轴的垂线，交X轴于M则三角形OMP是直角三角形，而且OP等于一。由勾股定理有OM的平方加MP的平方等于一，因此X的平方加Y平方等于一。由三角函数的定义，我们又知道sine阿尔法等于y cosine阿尔法等于x tangent阿尔法等于Y除以XX不等于0，所以sine阿尔法的平方加上sine阿尔法的平方等于一。显然当阿尔法的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。接下来我们再来探究一下探这里阿尔法三阿尔法c cosine阿尔法之间的关系。根据正切函数的定义容易得到，当阿尔法不等于K派加二分之派K属于Z时，有sine阿尔法除以cosine阿尔法等于Y除以X等于tangent阿尔法。于是我们就可以得到同角三角函数的基本关系，平方关系，sin阿尔法的平方加co sine阿尔法的平方等于一商数关系。Sine阿尔法除以cosine阿尔法等于tangent阿尔法，阿尔法不等于K派加二分之派K属于Z除此之外，我们将平方关系和商数关系进行一项，可以得到sine阿尔法的平方等于一减cosine阿尔法的平方，cosine阿尔法的平方等于一减sine阿尔法的平方，sine阿尔法等于cosine阿尔法乘以tangent阿尔法，cosine阿尔法等于sine阿尔法除以tangent阿尔法。所以当我们知道sine阿尔法、cosine阿尔法、tangent阿尔法其中一个函数值时，就可以求出另外两个，这也就是我们常说的知一求二，接下来我们来做一道练习题，已知sine阿尔法等于负的5分之3，求cosine阿尔法和tangent阿尔法的值，同学们可以先试着做一下，下方有正确答案，看你做的是否正确，你学会了吗？接下来请你试一试吧？已知cosine阿尔法等于负的5分之3，求sin阿尔法和tangent阿尔法的值。我们再来看一道题，已知tangent阿尔法等于4分之3，求sine阿尔法的平方减两倍的cosine阿尔法的平方除以sine阿尔法乘以cosine阿尔法的值。这题我们是不是要通过分类讨论来得到sine阿尔法和tangent阿尔法的值，然后再代入求解呢？那么有没有更简便的方法呢？考虑到要求的式子是分式的形式，我们充分利用sine阿尔法除以cosine阿尔法等于tangent阿尔法这一结论，可以将分子分母同时除以cosine阿尔法的平方。问题就变得简单，了解原式等于sine阿尔法的平方除以括号阿尔法的平方减去2除以sine阿尔法除以cos阿尔法等于tangent阿尔法的平方减去2除以tangent阿尔法等于负的12分之23。以上就是我们学习的全部内容。在这节课我们不仅仅复习了三角函数的基本概念，还深入理解了同角三角函数的基本关系，对三角函数有了更直观的感受。今天的数学课堂到这里就结束，不要忘记完成课后习题巩固知识。