第12卷 立体几何 2027年浙江省（单独考试）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以浙江省单独考试要求为依据，采用“一考一讲”模式，聚焦立体几何核心知识与空间能力，实现基础到综合的检测巩固，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|选择1/7/8、填空11-13、解答15|基础公式应用|从圆柱/圆锥/球的概念到表面积体积计算，构建几何体度量体系| |空间关系判断|选择2/4/5/9/10、填空14|位置关系推理|由线面/面面关系到异面直线、线面角判断，形成空间逻辑推理链| |综合应用|选择3、解答16-17|图表结合计算证明|三视图还原与正方体/四棱锥综合问题，实现知识迁移与综合应用|

编写说明：2027年浙江省（单独考试）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 浙江省单独考试《数学45分钟训练卷》 第12卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．一个圆柱的底面半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．已知平面平面，直线，直线，则①；②为异面直线；③一定不相交；④或异面.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 3．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（   ） A．1 B．3 C． D． 4．在如图所示的正方体中，直线与平面所成角的大小是（） A． B． C． D． 5．经过直线外一点作直线平行于，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．3条 C．无数条 D．2条以上 6．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 7．圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．圆柱的轴截面是边长为4的正方形，此圆柱的表面积为（    ） A．16π B．18π C．24π D．36π 9．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( ) A．梯形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 10．如图所示，已知边长为2的菱形中，，沿对角线折成空间四边形，使二面角的大小为60°，则的长是（    ）        A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．用一平面截球得到半径为的圆面，球心到截面的距离为，则球的表面积为_______． 12．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，绕着一条直角边旋转一周形成圆锥，则圆锥的体积为___________． 13．若某圆柱的侧面展开图为一个矩形，且矩形的长为8，宽为，则这个圆柱的体积为______． 14．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共_____________条． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图所示，已知某冰淇淋由圆锥和半个球组成，圆锥的高为10cm，球的半径为3cm.求： (1)该冰淇淋的体积； (2)该冰淇淋的表面积. 16．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 17．如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独考试）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 浙江省单独考试《数学45分钟训练卷》 第12卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．一个圆柱的底面半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式即可得解. 【详解】圆柱的底面半径为2，高为3， 则该圆柱的侧面积为， 故选：. 2．已知平面平面，直线，直线，则①；②为异面直线；③一定不相交；④或异面.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据两平面平行的性质即可解答. 【详解】若两个平面平行，则两个平面没有公共点， 若直线，直线， 所以或异面，即一定不相交， 所以①②错误，③④正确， 故选：C. 3．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图确定几何体为三棱柱，再由棱柱的体积公式求值即可. 【详解】由三视图可知该几何体为直三棱柱， 且底面三角形的底为，底面三角形的高为， 该三棱柱的高为， 所以体积为. 故选：D. 4．在如图所示的正方体中，直线与平面所成角的大小是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先找出直线与平面所成角，再根据三角函数求出角的大小. 【详解】 连接交于点，连接． 设正方体棱长为，由正方体可知， 平面，平面， ∴，又， 平面， ∴平面， 为在平面上的射影， 为与平面所成的角． 在直角中，，， ， ． 即与平面所成角为． 故选：A． 5．经过直线外一点作直线平行于，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．3条 C．无数条 D．2条以上 【答案】A 【分析】根据平行公理即可求得. 【详解】根据平行公理可知经过直线外一点能有且只有一条直线平行于. 故选：A. 6．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得到的长即为点到平面的距离，再求解即可. 【详解】连接，，，且，交于点，. 因为四边形为正方体，所以，且为中点， 因为⊥底面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离， 因为正方体棱长为， 所以由勾股定理可得， 所以. 故选：B. 7．圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据圆锥轴截面的特征可知，底面圆的直径为，据此，根据圆锥的侧面积公式可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2， 所以等腰直角三角形的直角边为2，斜边为. 即圆锥的底面圆的直径为. 所以侧面积. 故选：A 8．圆柱的轴截面是边长为4的正方形，此圆柱的表面积为（    ） A．16π B．18π C．24π D．36π 【答案】C 【分析】根据圆柱的轴截面知道半径和高易求出表面积. 【详解】由题意知道圆柱的直径为,半径,高也为,所以此圆柱的表面积为上下底面加上侧面, 即. 故选:C. 9．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( ) A．梯形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 【答案】B 【详解】根据中位线定理可知：//且，可知四边形为平行四边形 故选：B 10．如图所示，已知边长为2的菱形中，，沿对角线折成空间四边形，使二面角的大小为60°，则的长是（    ）        A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，在等边三角形和等边三角形中，，，故为二面角的平面角，据此，在可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以为二面角的平面角，即. 在等边三角形和等边三角形中，其边长为2， 故有， 所以为等边三角形， 故. 故选：A    二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．用一平面截球得到半径为的圆面，球心到截面的距离为，则球的表面积为_______． 【答案】 【分析】先求解出球的半径，再由球的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆面的半径为，球心到截面的距离为， 所以球的半径为， 则球的表面积为． 故答案为：. 12．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，绕着一条直角边旋转一周形成圆锥，则圆锥的体积为___________． 【答案】或 【分析】根据圆锥的体积公式，分两种情况讨论求解即可. 【详解】若绕长为 3 的直角边旋转， 则圆锥底面半径4，高3，体积； 若绕长为4 的直角边旋转， 则底面半径3，高4，体积． 故答案为：或. 13．若某圆柱的侧面展开图为一个矩形，且矩形的长为8，宽为，则这个圆柱的体积为______． 【答案】或. 【分析】分类讨论圆柱底面周长为和底面周长为的情况，结合圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径为， 由题意可知，当底面周长为时，，此时圆柱高为，圆柱体积， 当底面周长为时，，此时高为，圆柱体积， 故答案为：或. 14．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共_____________条． 【答案】8 【分析】利用长方体的结构特征可求. 【详解】因为此立体图形为长方体，是长方体的一条棱， 则垂直上、下两个面内的所有直线， 在长方体中，平面有四条棱，平面有四条棱， 则这个长方体中与垂直的棱共条； 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图所示，已知某冰淇淋由圆锥和半个球组成，圆锥的高为10cm，球的半径为3cm.求： (1)该冰淇淋的体积； (2)该冰淇淋的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出半球以及圆锥的体积，然后求和即可； （2）分别求出半球表面积以及圆锥的侧面积，然后求和即可. 【详解】（1）半球的体积为：， 圆锥的体积为：， 所以该冰淇淋的体积为. （2）半球的表面积为：， 圆锥的母线长为： 圆锥的侧面积为：， 所以该冰淇淋的表面积. 16．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，可知（或其补角）是异面直线与所成的角； （2）先找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再根据直角三角形的性质求解正切值； （3）根据三棱锥体积公式进行计算. 【详解】（1）在正方体中，， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 因为正方体的各棱长都相等，且，是等腰直角三角形， 所以，即异面直线与所成的角为. （2）因为平面，所以是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成的角. 在正方形中，，则， 所以，又因为， 在中，. （3）在正方形中，，则，， 则， 又平面，， 所以三棱锥的体积. 17．如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先找到二面角的平面角，进而求解； （2）根据线面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 因为底面是正方形， 所以， 又因为，平面，平面， 所以面， 因为平面，则, 所以为二面角的平面角， 在中，， 为三角形的内角， ， 即二面角的大小为. （2）如图所示，连接与交于点， 因为底面，平面， 所以 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方形的边长为， 则 即点到平面的距离为. 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $