第11卷 立体几何 2027年浙江省（单独考试）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦中职高考立体几何专项，以“一考一讲”模式构建从概念到综合应用的知识闭环，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3|点线面符号表示、空间命题判断|从空间基本元素关系切入，构建概念体系| |空间关系|选择4-6、填空11-12|线面角、面面平行条件、异面直线所成角|以位置关系性质为核心，发展推理能力| |几何体计算|选择5-8、填空13-14|体积表面积、三视图识别、组合体计算|结合空间几何体结构特征，强化运算能力| |综合应用|解答15-17|空间角证明、体积与距离计算|整合概念与计算，培养综合问题解决能力|

编写说明：2027年浙江省（单独考试）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 浙江省单独考试《数学45分钟训练卷》 第11卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．点A在直线a上，直线a在平面α内，用符号表示为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在空间中，下列命题正确的是（   ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．与同一个平面所成的角相等的两条直线平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 3．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（    ） A．和平面相互平行 B．和平面相互垂直 C．在平面内 D．不能确定 4．在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 5．设球的体积为，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．球O的截面把垂直于截面的直径分成，若截面圆半径为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 7．若一个几何体的三视图如图所示，则组成该组合体的简单几何体是（    ）    A．四棱柱和圆锥 B．长方体和圆柱 C．圆柱和圆锥 D．正方体和圆锥 8．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上，如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（   ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 10．如图所示，在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中：①平面；②平面；③平面平面；④正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是_____．（填所选条件的序号） 12．在正方体中，异面直线与所成的度数为___________. 13．如图：圆柱底面半径和高均为2，在圆柱内部挖去一同底等高的圆锥，则剩下部分几何体的表面积为____________.    14．如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为________．    三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，在正方体中，为侧面的中心. 求： (1)与所成的角； (2)与所成的角. 16．如图所示，正四棱柱的底面边长为4，高为8.求 (1)正四棱柱的表面积； (2)三棱锥的体积； (3)点C到平面的距离. 17．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若，，求： (1)点P到BC的距离； (2)平面PCD与底面ABCD所成角的大小； (3)AC与平面PAD所成角的大小． 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独考试）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 浙江省单独考试《数学45分钟训练卷》 第11卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．点A在直线a上，直线a在平面α内，用符号表示为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用元素、集合的关系选择符号即可. 【详解】点A在直线a上，点A是元素，直线a为集合，即， 直线a在平面α内，直线a为集合，平面α为集合，即， 故选：A. 2．在空间中，下列命题正确的是（   ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．与同一个平面所成的角相等的两条直线平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】选项A，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 选项B，与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交、异面，故B错误； 选项C，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，故C错误； 选项D，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故D正确． 故选：. 3．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（    ） A．和平面相互平行 B．和平面相互垂直 C．在平面内 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系作图判断. 【详解】若直线与平面内的无数条直线垂直，如图所示， 则直线和平面相互平行，或直线和平面相互垂直，或直线在平面内都有可能． 故选：D. 4．在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体内线线和线面的关系求解即可. 【详解】 ∵为正方体， ∴平面垂足为，为平面的一条斜线， ∴为斜线在平面的射影， 就是直线与平面所成的角． ∵且，∴． 即直线与平面所成角为. 故选：A. 5．设球的体积为，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的体积求出半径，代入表面积公式即可得解. 【详解】设球的半径为， 则，解得， 所以表面积为， 故选：. 6．球O的截面把垂直于截面的直径分成，若截面圆半径为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知先求球的半径，再根据球的体积公式求解. 【详解】画出过球心的大圆，如图所示，则由题意可得O为球心，D为截面圆的圆心， 且为截面圆的半径，为球的半径R， 由题意，则， 在中：， 解得，所以球O的体积． 故选：D. 7．若一个几何体的三视图如图所示，则组成该组合体的简单几何体是（    ）    A．四棱柱和圆锥 B．长方体和圆柱 C．圆柱和圆锥 D．正方体和圆锥 【答案】A 【分析】根据四棱柱和圆锥结构特征和三视图特征求解即可. 【详解】由三视图可知，该组合体的上部分为圆锥，下部分为四棱柱，如图，    故选：A． 8．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上，如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱的外接球的直径为棱柱的体对角线，求出体对角线长和底面对角线长，再由棱柱的表面积求值即可. 【详解】因为一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上， 由球的直径为正四棱柱的体对角线，得正四棱柱的体对角线长为， 又因为正四棱柱的底面边长为， 所以正四棱柱的底面对角线长为， 所以正四棱柱的高为， 该棱柱的表面积为． 故选：B. 9．如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（   ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 【答案】D 【分析】连结，，可得，根据线面垂直的性质，可得；根据异面直线所成角的概念，可得；根据线面平行的判定，可得平面，从而知与不相交，排除平行可得与异面. 【详解】 如图所示， 连结，，由几何关系可得点为的中点，且， 由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，D选项不成立； 在正四棱柱中， 平面，平面，所以, 因为，所以，即A选项成立； 在正四棱柱中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以，从而. 在正方形中，，所以，即B选项成立； 因为，平面，平面， 所以平面，所以与不相交， 假设，根据，则有，这显然矛盾，即与异面，C选项成立. 故选：D 10．如图所示，在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中：①平面；②平面；③平面平面；④正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平面图形中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直判断①，由线面平行的判定定理判断②，根据线面垂直的性质和面面垂直的判定判断③，根据线面垂直的定义判断④. 【详解】已知为正方体， 分别为，的中点， 所以， 若平面，因为平面， 所以，但， 与平面图形中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，①不正确； ，平面，平面， 所以平面，②正确； 因为平面，， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面，③正确； 因为平面，平面， 所以，④正确． 故选：D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是_____．（填所选条件的序号） 【答案】②④ 【分析】分析可知，选择方法可能是：①④，②④，③④，结合线面的位置关系、线面垂直的判定及面面平行的性质求解即可. 【详解】显然①②③④中选一个，不能使. 而①②③任意两个不能同时成立，只能选一个， 故选择方法可能是：①④，②④，③④. 若选择①④，若，，则或； 若选择②④，若，，则； 若选择③④，若，，则. 综上，要使，应满足的条件是②④． 故答案为：②④. 12．在正方体中，异面直线与所成的度数为___________. 【答案】 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可求解. 【详解】 如图，连接， 因为在正方体中，底面， 又底面， 所以， 因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以，即异面直线与所成的度数为. 故答案为：. 13．如图：圆柱底面半径和高均为2，在圆柱内部挖去一同底等高的圆锥，则剩下部分几何体的表面积为____________.    【答案】 【分析】根据题意结合圆柱及圆锥的表面积公式即可得解. 【详解】圆柱底面半径和高均为2，在圆柱内部挖去一同底等高的圆锥， 圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为， 圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为， 所以剩下部分几何体的表面积为， 故答案为：. 14．如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为________．    【答案】 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理，易得平面，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】连接，如图    因为正方体中，平面， 又平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 因为正方体的棱长为1， 所以到底面的距离为， 所以，底面是矩形，其面积， 所以四棱锥的体积为. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，在正方体中，为侧面的中心. 求： (1)与所成的角； (2)与所成的角. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合异面直线所成角的定义及正方体的性质即可得解. （）根据题意作出图像，证明出四边形为平行四边形，得出所求角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 又在正方体中，， 所以与所成的角为. （2） 如图所示，连接，因为，，所以，又， 所以四边形为平行四边形. 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 连接，，在正方体中，， 所以为等边三角形，又因为为的中点，所以， 即与所成的角为. 16．如图所示，正四棱柱的底面边长为4，高为8.求 (1)正四棱柱的表面积； (2)三棱锥的体积； (3)点C到平面的距离. 【答案】(1)160 (2) (3) 【分析】（1）将正四棱柱四个侧面与上下底面面积加起来即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. （3）由（2）得到三棱锥的体积，根据等体积法可求解. 【详解】（1）. （2）. （3）设C到平面的距离为d， ，     解得. 17．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若，，求： (1)点P到BC的距离； (2)平面PCD与底面ABCD所成角的大小； (3)AC与平面PAD所成角的大小． 【答案】(1) (2)30° (3)45° 【分析】（1）先根据线面垂直得到点P到BC的距离即为线段PB的长度，然后解即可； （2）先作出二面角的平面角，然后解即可； （3）先作出AC与平面PAD所成的角，然后解即可. 【详解】（1）如图所示，因为PA平面 ABCD，平面ABCD，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为，且平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以， 即线段PB的长度就是点P到BC的距离. 在中，因为，， 所以， 即点P到BC的距离为. （2）如图所示，因为PA平面 ABCD，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 因为，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以， 则即为平面PCD与底面ABCD所成角的平面角. 在中，， 所以， 即平面PCD与底面ABCD所成的角为30°. （3） 如图所示，连结AC， 因为平面PAD，所以AD是AC在平面PAD上的射影， 则即为AC与平面PAD所成的角. 在中，易知， 所以AC与平面PAD所成的角为45°. 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $