5.2 指数函数及其图像（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

该教案聚焦指数函数的定义、底数限制、定义域及图像作图，通过细胞分裂情境导入，关联实数指数幂和函数已有知识，引导学生发现自变量在指数位置的关系，搭建新旧知识学习支架。 特色在于以核心素养为导向，用细胞分裂观察培养数学眼光，列表描点作图训练数学思维，图像定点问题提升数学语言表达。采用情境导入、讲练结合等方法，帮助学生准确理解概念，教师可通过练习反馈优化教学，提升课堂效率。

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第五章 指数函数与对数函数 5.2 指数函数及其图像 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材承接实数指数幂和函数的已有知识，从细胞分裂的对应关系入手，先突出自变量位于指数位置，再给出指数函数的定义、底数条件和定义域，随后通过列表求值、描点、连线作出两类典型图像，并由图像确认经过点。 本课是5.2指数函数的起始课，承担概念建立、函数辨认和基本作图任务。学生形成的定义条件、对应值计算和图像经验，将为后续归纳指数函数的值域、变化趋势和单调性，以及利用性质解决问题奠定基础。 学情分析 学生已经学习实数指数幂，并具备函数、平面直角坐标系和描点作图的基础，但容易把幂函数式与指数函数混淆，也可能忽略底数限制或把描出的点连成折线。教学中需要借助定义逐项辨认、对应值表和两类典型图像，引导学生在计算、描点和表达之间建立稳定联系。 教学目标 1．理解指数函数的定义、底数限制和定义域，知道图像经过点。 2．能根据函数形式辨认指数函数，能列表计算对应值并用描点、平滑连线的方法作出两类典型图像，能由图像上的点求底数或函数值。 3．通过细胞分裂数据、两类函数值表和图像的对应观察，发展数学抽象、直观想象和数据分析素养，形成用代数结果核对图像的习惯。 教学重难点 教学重点：指数函数的定义、底数限制和定义域，以及列表、描点、连线作出两类典型图像。 教学难点：准确辨认底数与自变量的位置，根据对应值规范作图，并由理解图像经过点。 教学方法 情境导入法、观察归纳法、列表描点法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察图5-5。某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个…… 按照这样的规律分裂次后，得到的细胞个数与分裂次数之间的关系是怎样的呢？ 根据表5-1中的对应值，可以写出。这个函数的底数为常数，自变量在指数的位置上。 分裂次数 1 2 3 … 细胞个数 2(=) 4(=) 8(=) … 当分裂次数分别为1、2、3时，细胞个数分别是多少？ 【答案】2、4、8。 【解析】每分裂一次，细胞个数乘2，分别为、、。 关系式中，哪个量是常数？哪个量在指数位置？ 【答案】底数2是常数，自变量在指数位置。 【解析】直接观察函数式中底数和指数的位置。 借助细胞分裂的数量变化激活指数幂经验，使学生从对应值中发现自变量位于指数位置的函数关系。 新知讲授 一、指数函数的定义 一般地，形如的函数称为指数函数，其中，常数称为指数函数的底数，指数为自变量，。 教材列举的、、都是指数函数。 补全指数函数定义中的底数条件：____，且____。 【答案】；。 【解析】底数应为正数且不能等于1。 指数函数的自变量取值范围是什么？ 【答案】，定义域为。 【解析】教材定义中明确给出。 二、指数函数的辨认 辨认时依次核对：函数能否写成；底数是否为常数并满足；自变量是否在指数位置；定义域是否为。 判断：函数是指数函数。 【答案】正确。 【解析】底数3是大于0且不等于1的常数，自变量位于指数位置，定义域为。 判断：函数是指数函数。 【答案】错误。 【解析】这里自变量在底数位置，不符合指数函数的形式。 三、两类典型指数函数的列表取值 在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图像。先给出一些的特殊值，分别计算对应的值，列出表5-2。 … −3 −2 −1 0 1 2 3 … … 1 2 4 8 … … 8 4 2 1 … 在函数中，当时，求对应的值。 【答案】。 【解析】。 在函数中，当时，求对应的值。 【答案】。 【解析】。 四、指数函数图像的基本作法 将表5-2中两个函数的函数值在同一平面直角坐标系中根据对应关系依次描点、连线，分别得到指数函数与的图像，如图5-6所示。 观察横坐标从负到正的各个点，描点时先核对坐标，再用平滑曲线依次连接，避免把离散点连接成折线。 利用GeoGebra软件，在输入框中分别输入函数式，可以得到与的图像，用于复核列表描点结果。 用列表描点法作指数函数图像时，列表之后依次完成哪两个主要步骤？ 【答案】根据对应值描点，再用平滑曲线依次连线。 【解析】教材作图过程明确采用列表、描点、连线。 作的图像时，点是否应落在图像上？ 【答案】应落在图像上。 【解析】当时，。 五、指数函数图像经过定点 函数的图像经过点。 理由是当时，。图5-6中的两条曲线也都通过这个点。 指数函数的图像经过哪个定点？ 【答案】。 【解析】当时，。 已知指数函数图像经过点，求。 【答案】。 【解析】指数函数图像经过定点。 依次建立定义、辨认依据、对应值和作图步骤，通过两类典型函数帮助学生形成准确作图与条件核对的方法。 课堂背诵 补全：指数函数的一般形式是____，底数满足____，定义域是____。 【答案】；；。 【解析】三处分别对应函数形式、底数限制和自变量取值范围。 按顺序说出列表描点法作图的三个环节。 【答案】列表计算对应值，描出对应点，用平滑曲线依次连线。 【解析】每一步都以上一步的对应值或坐标为依据。 补全：指数函数图像经过定点____，依据是____。 【答案】；。 【解析】把代入指数函数即可得到纵坐标1。 通过定义填空、步骤复述和定点补全提取关键表述，检查学生能否准确记住条件、方法与结论。 师生互动 任务1：已知函数是指数函数，求实数的取值范围。 【答案】。 【解析】指数函数的底数应满足且，解得。 任务2：已知指数函数的图像经过点，求。 【答案】。 【解析】由点在图像上得，所以。因此。 教师归纳：辨认函数时先核对底数条件；已知图像上的点时，把点的坐标代入函数式，再利用指数幂关系求出底数或函数值。 让学生在参数辨认和由点求底数的任务中说明依据，通过展示与互评诊断定义条件和代入方法的掌握情况。 课堂练习 1．判断：函数是指数函数。 【答案】正确。 【解析】底数0.5满足大于0且不等于1，自变量在指数位置。 2．判断：函数是指数函数。 【答案】错误。 【解析】指数函数的底数不能等于1。 3．函数中，当时，求。 【答案】。 【解析】。 4．写出函数在时对应的三个坐标点。 【答案】。 【解析】分别把三个自变量值代入函数式计算对应值。 5．在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图像。 【答案】按列表取值、描点、平滑连线完成，两条图像都经过点。 【解析】可取计算对应值后作图。 6． 知识检测：函数是指数函数，且图像经过点。求底数假设没有图像经过点(1,4)的条件，求图像必经过的定点。 【答案】；定点为。 【解析】代入点得，所以；指数函数图像经过点。 按辨认、求值、坐标确定、作图和由点求底数递进检测学习结果，并利用典型错误反馈修正判断与作图步骤。 课堂小结 学生概括：指数函数应满足哪些形式和底数条件？怎样由对应值作图？图像经过哪个定点？ 【答案】指数函数形如，其中，定义域为；作图时先列表求值，再描点并用平滑曲线连线；图像经过点。 【解析】三部分分别整理定义与条件、基本作图过程和由得到的定点结论。 教师归纳：先看函数结构和底数条件，再用对应值列表、描点和平滑连线完成作图；把代入即可核对定点。 引导学生把定义条件、辨认步骤、基本作图方法和定点结论整理成连贯结构，回应导入中的数量关系。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课后续可重点优化定义辨认与作图操作之间的衔接，观察学生是否真正理解底数为常数、自变量位于指数位置，而不是只记住函数外形。列表环节应根据作答情况调整取值数量，及时纠正负指数计算和坐标书写错误；描点后要留出展示与互评机会，提醒学生用平滑曲线连接。还可加强代数值与图像点的双向核对，使定点结论建立在计算和观察的共同证据上。 学科网（北京）股份有限公司 $