2027届高三物理一轮复习：1.3 匀变速直线运动的规律

该高中物理高考复习讲义聚焦匀变速直线运动规律核心考点，涵盖运动条件、速度公式、位移公式、速度-位移关系、中时中位速度及比例规律，按“基础公式—特殊模型—比例应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如等时圆模型）、真题训练（含2024年山东卷等）环节，帮助学生构建系统解题框架。 讲义突出科学思维与模型建构，创新设计“等时圆”“最速线”专题教学，如例3通过不同倾角轨道运动时间比较，引导学生提炼等时圆模型。结合分层作业（基础题至综合题）和高考真题演练，培养学生运动观念与推理能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

§1.3 匀变速直线运动的规律 ▲物体做匀变速直线运动的条件： ①运动学条件：a恒定且方向跟v方向共线 ②动力学条件：ΣF外恒定且方向跟v方向共线 （一）速度与时间的关系（速度公式） 1．速度公式：vt＝v0＋at（初速度为零的匀加速直线运动：vt＝at） 2．加速度的定义式： 3．匀变速直线运动速度的变化（这是寻找时间关系的一条重要思路） ( A B C v A v B v C )【例1】如图所示，一质点沿直线ABC做匀变速直线运动，经A、B、C 三点时的速度分别为vA、vB、vC，且3vB＝vA+2vC，则质点经AB、BC两段位 移所用时间之比为 。 （二）位移与时间的关系（位移公式） 1．位移公式：x＝v0t+at2（初速度为零的匀加速直线运动：x＝at2） ▲匀变速直线运动的位移公式x＝v0t+at2与位置坐标方程x＝at2+v0t+x0都是关于时间t的一元二次函数，同次项系数的意义相同。 【例2】某质点的运动学方程为x＝3t2–4t+2（x、t的单位分别为m、s）。 （1）求质点的初速度和加速度；（2）写出质点速度随时间变化的函数式；（3）t＝0时刻质点是作加速还是减速运动？ 2．“等时圆”与“最速线” ( d d )（1）竖直平面内的“等时圆”模型： ( A B C C ′ A ′ B ′ P )按如图所示两种方式在竖直平面内的圆中设置不同倾斜程度的 光滑轨道，让质点由静止开始从轨道的最高点分别沿不同轨道运动 （包括沿竖直直径下落），它们将同时到达轨道的最低点，。 【例3】如图所示，一光滑直槽可绕两圆的切点P在竖直平面内转动，当直槽转至与水平 面分别成30º、45º、60º角时，与两圆分别相交于A和A′、B和B′、C和C′点。若一滑块 由静止开始分别从A、B、C滑至A′、B′和C′所需时间分别为t1、t2、t3，则（ ） A．t1＜t2＜t3 B．t1＞t2＞t3 ( A α )C．t1＝t2＝t3 D．t2＜t1＝t3 【例4】如图所示，在倾角为α的传送带某点的正上方有一发货点A，在 A点与传送带之间安装一光滑斜槽，为使货物由A点从静止开始沿斜槽以最 短的时间到达传送带，斜槽与竖直方向的夹角应为多少？ ( α = 45° d A α 竖线 垂线 角平分线 β β β ＝ α / 2 )（2）两种（光滑斜面）“最速线”： ①45°最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时， 由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短 ②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到 达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道 顶端运动到底端的时间最短 【例5】如图所示，在墙壁的同一竖直线上有A、B两点相距为h，B点离水平地面高度为H。现要在地面上寻找一点P，设置两个光滑斜面AP与BP，使得从A、B两点由静止释放的小物块分别沿两斜面滑到P点的时间相等。 （1）用作图法找出P点； ( A B O h H )（2）求P点到墙角O点的距离d。 （三）速度与位移的关系（速度–位移公式） 1．速度–位移公式：vt2−v02＝2ax 初速度为零的匀加速直线运动：vt2＝2a x（如自由落体运动下落h高获得的速度） 2．速度–位移公式的优越性及应用技巧 ①由于该公式不涉及到时间t这个过程参量，应用它来处理问题时只需用到某两个状态，因而往往比较方便，使得该公式有着广泛的应用。它是求物体加速度的一个最常用的公式之一。且现实中，运动过程一旦过去了，运动时间已无法知晓，应用该公式正好可以避开时间这个量。 ②公式中vt2和v02一正一负，涉及分段运动时，采用各段相加的方法，正负抵消，可消去中间速度。 【例6】把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动。当它到达每一等分点时，加速度增大a/n，则汽车到达终点B时的速度为多少？ ③vt2−v02＝（vt−v0）（vt+v0），而（vt−v0）可以和at联系起来，（vt+v0）可以和平均速度联系起来。 （四）速度规律 1．中时速度：（算术平均值） 即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段过程中的平均速度。 ▲灵活应用匀变速直线运动平均速度的特点，往往会使很多问题的处理变得非常简单。 【例7】一物体作匀变速直线运动： （1）若测得该物体在3s末～7s末的位移为6.4m，则该物体在前10s内的位移为 m； （2）若测得该物体在第3s内的位移为2m，在第7s内的位移为7m，则该物体的加速度为 m/s2。 【例8】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移∆x所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移∆x所用的时间为t2。则物体运动的加速度为（ ） A． B． C． D． 2．中位速度：（方均根平均值） 【例9】汽车在平直的公路上作匀加速直线运动，经过第一、第三棵树时的速度分别为1m/s和7m/s。若树间隔均匀，则经第二棵树时的速度为_________m/s；若相邻两树间距都为10m，则从第一棵树到第三棵树的时间为______s，汽车的加速度为_________m/s2。 ▲数学知识：方均根平均值大于或等于算术平均值（匀变速直线运动，中点速度必大于平均速度） 【例10】 ( A B O C D )一质点沿直线ABOCD作匀加速直线运动，O点为AD与BC的公共中 点。若质点在AD段内的平均速度为v1，在BC段内的平均速度为v2，则（ ） A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．v1＜v2 D．无法确定 （五）比例规律（n不是整数时也成立） 1．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的各段时间内的位移之比 x1:x2:x3:…:xn＝1:3:5:…:（2n−1） （即连续奇数之比） 【例11】一物体由静止开始做匀加速直线运动，将其时间依次分为3:2:1的三段，则这三段位移之比为___________。 【例12】A为超声波测速仪，B为汽车，两者相距335m。某时刻A发出超声波，同时B由静止开始远离A做匀加速直线运动。当A接收到B反射回来的超声波时，AB相距355m。已知声速为340m/s，则汽车B的加速度大小为（ ） A．20m/s2 B．10m/s2 C．5m/s2 D．无法确定 2．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比 t1:t2:t3:…:tn＝1:(−1):(−):…:(−) 【例13】（2024年山东卷）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与 斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为 Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2:Δt1为（ ） A．（−1）:（−1） B．（−）:（−1） C．（+1）:（+1） D．（+）:（+1） 【作业】 班次 座次 姓名 1．下列说法正确的有（ ） A．匀加速度直线运动的速度随位移均匀增大，即经过相同位移速度增量相同 B．匀速运动一定为直线运动，但匀变速运动可以为曲线运动 C．匀变速直线运动，加速度a为正方向则为加速运动，a为负方向则为减速运动 D．匀变速直线运动，加速度a与速度v同向则为加速运动，反向则为减速运动 2．（2025年江苏卷）新能源汽车在辅助驾驶系统测试时，感应到前方有障碍物立刻制动，做匀减速直线运动。2s内速度由12m/s减至0。该过程中加速度大小为（ ） A．2m/s2 B．4m/s2 C．6m/s2 D．8m/s2 3．（2024年北京卷）一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，则汽车的制动距离为（ ） A．5m B．10m C．20m D．30m 4．（全国高考Ⅰ卷）高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，在启动阶段列车的动能（ ） A．与它所经历的时间成正比 B．与它的位移成正比 C．与它的速度成正比 D．与它的动量成正比 ( A B C D )5．如图所示，一滑块（视为质点）沿光滑斜面下滑，依次经过斜面上的A、B、 C、D四点，通过AB、BC、CD各段的时间依次为T、2T、3T，其中AB段的长度 为L0，CD段的长度为L，则BC段的长度为（ ） A． B． C． D． ( n m p s s )6．如图所示，一物块沿斜面匀加速下滑，依次通过两段位移s所用时间分别为t1、 t2，则通过中点n时的速度大小为（ ） A． B． C． D． 7．列车过隧道需要限速。长为l的高速列车在平直轨道上正常匀速行驶，速率为v0。现要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从开始减速至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（ ） A． B． C． D． 8．一物体从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，连续三段时间分别是1s、2s、3s，这三段时间内的位移之比和平均速度之比分别是（ ） A．1:22:32，1:2:3 B．1:23:33，1:22:32 C．1:2:3，1:1:1 D．1:3:5，1:2:3 9．汽车以18m/s的速度开始制动，制动后3s内前进36m，则制动后5s内前进的距离为 m。 10．一辆汽车由甲地沿直线运动到达乙地，在前一半路程里由静止匀加速到60km/h，后一半路程里由60km/h匀加速到120km/h。则整个过程中汽车的平均速度是 km/h。 11．（2024年广西卷）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d＝0.9m，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1＝0.4s，从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2＝0.5s。求该同学 （1）滑行的加速度大小； （2）最远能经过几号锥筒。 12．（2024年全国甲卷）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2m/s2，在t1＝10s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340m/s，求： （1）救护车匀速运动时的速度大小； （2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 3 学科网（北京）股份有限公司 $§1.3匀变速直线运动的规律 ▲物体做匀变速直线运动的条件： ①运动学条件：α恒定且方向跟v方向共线 ②动力学条件：F外恒定且方向跟v方向共线 (一)速度与时间的关系（速度公式） 1.速度公式：=vo十t（初速度为零的匀加速直线运动：=at) 2.加速度的定义式：a=△y-y-2 △t△t 3.匀变速直线运动速度的变化△V=tct(这是寻找时间关系的一条重要思路) 【例1】如图所示，一质点沿直线ABC做匀变速直线运动，经A、B、C 三点时的速度分别为vA、vB、vC,且3vB=vA+2vC,则质点经AB、BC两段位 A c 移所用时间之比为 【答案】2：1 【解析】 3yB=V4+2ve→VB-VA=2(ye-VB)→atAB=2tc→tAB=2tc,即为2：1 (二)位移与时间的关系（位移公式） 1.位移公式：x=ot+号at2(初速度为零的匀加速直线运动：x=号at) ▲匀变速直线运动的位移公式x=ot什号a2与位置坐标方程x=号a2+%t+o都是关于时间t的一 元二次函数，同次项系数的意义相同。 【例2】某质点的运动学方程为x=3-4t+2(x、t的单位分别为m、s)。 (1)求质点的初速度和加速度： (2)写出质点速度随时间变化的函数式： (3)t=0时刻质点是作加速还是减速运动？ 【答案】(1)初速度%=-4s,加速度a=6,(2)v=-4+6(3)减速运动 【解析】 x为1的一元二次函数，说明为匀变速直线运动 (1)一次方项的系数表示初速度W,则=-4ms 二次方项的系数表示加速度a的}，则a=3三a=6m/s) 22 (2)速度函数式：v=叶a,即v=-4+6t (3)=0时刻，为负方向，为正方向，两者方向相反，为减速运动 2.“等时圆”与“最速线” （1)竖直平面内的“等时圆”模型： 按如图所示两种方式在竖直平面内的圆中设置不同倾斜程度的 光滑轨道，让质点由静止开始从轨道的最高点分别沿不同轨道运动 (包括沿竖直直径下落)，它们将同时到达轨道的最低点，t= 2d g 【推导】 设圆的直径为d,斜面轨道的倾斜角为0 则轨道长x=dsin(,物体沿光滑轨道运动的加速度a=gsin6 由位移公式x=㎡→1= 2x 2dsin 0 2d gsin 0 V g 得到的运动时间t与倾斜角无关，且等于沿圆的直径做自由落体运动的时间（记住I) 【例3】如图所示，一光滑直槽可绕两圆的切点P在竖直平面内转动，当直槽转至与水平 面分别成30°、45°、60°角时，与两圆分别相交于A和A'、B和B'、C和C点。若一滑块 由静止开始分别从A、B、C滑至A'、B'和C所需时间分别为t1、红、B,则( ) A.th<t红<3 B.t1>t2>t3 C.t1=t=t3 D.t<t1=t3 【答案】C 【例4】如图所示，在倾角为α的传送带某点的正上方有一发货点A,在 A点与传送带之间安装一光滑斜槽，为使货物由A点从静止开始沿斜槽以最 短的时间到达传送带，斜槽与竖直方向的夹角应为多少？ 1 --- 【答案】 【解析】 以A为圆的最高点，作一个最小的等时圆（圆与传送带相切） 连接A与切点B,即为符合条件的斜槽轨道 由几何关系，易得B=2 1 【易错点】（易错等级：★★★） 很多人一见到该题，就觉得非常简单，快速得很结论：B=α 认为所搭建的斜槽与传送带垂直时时间最短，因为垂线段最短 但要注意的是，运动时间是由位移和加速度共同决定的，位移最短时加速度并非最大 【难点】本题若用函数法分析，将会非常麻烦 因为搭建的斜槽并非与传送带垂直，斜槽与竖直线、传送带构成的是斜三角形 (2)两种（光滑斜面）“最速线”： A ①45最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时， ● B、垂线 由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短 ②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到 竖线 u=459 角平分线 达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道 B=/2 顶端运动到底端的时间最短 【例5】如图所示，在墙壁的同一竖直线上有A、B两点相距为h,B点离水平地面高度为H。现要在地面上寻找 一点P,设置两个光滑斜面AP与BP,使得从A、B两点由静止释放的小物块分别沿两斜面滑到P点的时间相等。 (1)用作图法找出P点； (2)求P点到墙角O点的距离d。 2 【解析】 (1)①作AB的中垂线DC,垂足为D A ②取圆的半径R=OD,以B为圆心画弧交DC于C点 ③过C点作地面的垂线，垂足即为所要找的P点 2)圆半径R=H+h,在RIADEC中，有： h D a →d=HH+h) (三)速度与位移的关系（速度-位移公式） 1.速度-位移公式：v2-102=2m 初速度为零的匀加速直线运动：=2ax（如自由落体运动下落h高获得的速度v=√2gh) 2.速度-位移公式的优越性及应用技巧 ①由于该公式不涉及到时间这个过程参量，应用它来处理问题时只需用到某两个状态，因而往往 比较方便，使得该公式有着广泛的应用。它是求物体加速度的一个最常用的公式之一。且现实中，运动 过程一旦过去了，运动时间已无法知晓，应用该公式正好可以避开时间这个量。 ②公式中和v一正一负，涉及分段运动时，采用各段相加的方法，正负抵消，可消去中间速度。 【例6】把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动。当它到达每一等分点时， 加速度增大an,则汽车到达终点B时的速度为多少？ 3n-1 【答案】 5 n 【解析】累加法 设每一份位移三=5，没汽车到达各分点的速度依次为Y、V、、V n 对每一段运动过程用速度-位移公式，得 y-0=2as0 、 v,2-y=2a+a 2 y2-y32=2a+2as a2-V1 n- 以上各式两边分别累加，得 g=+++分】 3 3n-1 →y,=V3n-1ks0= -CLS n 【技巧】见到本题，很多人能快速想到的解题方法就是递推法，但本题不适合用递推法求解，递推法过于麻烦 对各段分别列式，累加时前后两段正负项抵消，将中间各分点的速度全部消去，从而使得运算变得简单 ③-1o2=(v1o)(1+),而(ro)可以和at联系起来，(1+o)可以和平均速度下联系起来。 (四)速度规律 1.中时速度：下=上=当业=y+t=巧-t=y(算术平均值) 即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段过程中的平均速度。 ▲灵活应用匀变速直线运动平均速度的特点，往往会使很多问题的处理变得非常简单。 【例7】一物体作匀变速直线运动： (1)若测得该物体在3s末~7s末的位移为6.4，则该物体在前10s内的位移为 72； (2)若测得该物体在第3s内的位移为2m,在第7s内的位移为7m,则该物体的加速度为 m/s2。 【答案】(1)16：(2)125 【解析】 米1)因O+1s=3+7 2 6.4m=1.6m/s 2g=55,则-1：=-1：=y:F(7-35 则前=10s内的位移x=V0-10st=1.6×10=16(2) (2)1=2.5x时的速度Y=V第3s=2/S =6.5s时的速度V3=V第75=71/S 则加速度a=当-当、7-2 t-t6.5-2.5 =1.25m/s2)】 【例8】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移△x所用的时间为t1,紧接着通过下一段位移△x所用的时间为t2。 侧物体运动的加速度为( ) A. 2△x(1-t) B.△rt-t) C. 2△x(t+t2) D. △x(G+t) t2(+) t+) t5(-t) t(6-t3) 【答案】A 【解析】 t/2t/2 加速度a=-上=4 24-t ,A对 △x、t23 t1+t2 专+t3 t+1 2 4 2.中位速度：V= 1+12 (方均根平均值) 2 【例9】汽车在平直的公路上作匀加速直线运动，经过第一、第三棵树时的速度分别为1ms和7m。若树间隔均匀， 则经第二棵树时的速度为 m；若相邻两树间距都为10m,则从第一棵树到第三棵树的时间为s,汽车的 加速度为 m/62。 【答案】5,5,12 【解析】 +73 经第2棵树的速度V) =5(m/s） 2 从第1棵树到第3棵树的平均速度3= y+Y_1+7=4m/s) 2 则时间1=主=10mX2=5 34m/s 加速度a=当=1=7二1-12m/s) t 5 ▲数学知识：方均根平均值大于或等于算术平均值（匀变速直线运动，中点速度必大于平均速度） 【例10】一质点沿直线ABOCD作匀加速直线运动，O点为AD与BC的公共中 点。若质点在AD段内的平均速度为1，在BC段内的平均速度为y2,则()B 0 C D A.VI=V2 B.v1>V2 C.V1<V2 D.无法确定 【答案】C 【解析】极限思维法 设想B、C两点无限趋近于O点，则BC段的平均速度2无限趋近于O点速度 竹=p2→0 而AD段的平均速度防等于A运动到D中间时刻（设为P点）的速度 由于质点做加速度运动，中间时刻P必然位于中点0的前方 B PO C D 因而速度Vp<Vo,即v<v2,C对 (五)比例规律(n不是整数时也成立) 1.一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的各段时间内的位移之比 x1:x2:x3:…:xm=1:3:5:…:(2-1)（即连续奇数之比) 【例11】一物体由静止开始做匀加速直线运动，将其时间依次分为3：2：1的三段，则这三段位移之比为 【答案】9：16：11 【解析】重组法 时间等分的位移之比：1：3：5：Z:2:11:13:… 时间为3：2：1的位移之比：9：16：11 【例12】A为超声波测速仪，B为汽车，两者相距335m。某时刻A发出超声波，同时B由静止开始远离A做匀加速 直线运动。当A接收到B反射回来的超声波时，AB相距355m。已知声速为340ms,则汽车B的加速度大小为(） A.20m/s2 B.10m/s2 C.5m/s2 D.无法确定 5 【答案】B 【解析】 超声波往返时间相等，在往返的两段时间内，汽车B的位移之比为1：3，即分别走了5m、15m 超声波从发出到追上B车，超声波传播的距离为x声=335+5m=340m 则时间t=生=15 335m 5m 15 Be- V 355 在t=1s内，车B的位移x=5,设加速度为，则 at2→a=10m/s2 2 2.一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比 t1:t2:t3:…:tm=1:(√2-1)：(V3-√2)：…：(Vn-√n-1) 【例13】(2024年山东卷)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与 斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L,通过A点的时间间隔为 4t1;若木板长度为2L,通过A点的时间间隔为4t2。t2:i为() A.(5-1):(√2-1) B.(5-√2)：（√2-1） C.(5+1):(√2+1) D.(3+√2)：（√2+1） 【答案】A 【解析】木板在斜面上运动时设加速度为a 木板从静止释放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有L 3% 1 1 木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有2L=二吐？ 1 当木板长度为2L时，有3L=二at, 又4=t1-t,42=t3-t0 联立解得生：生=（3-1：（√2-1，故选A 【作业】 班次 座次 姓名 1.下列说法正确的有（) A.匀加速度直线运动的速度随位移均匀增大，即经过相同位移速度增量相同 B.匀速运动一定为直线运动，但匀变速运动可以为曲线运动 C.匀变速直线运动，加速度a为正方向则为加速运动，a为负方向则为减速运动 D.匀变速直线运动，加速度α与速度v同向则为加速运动，反向则为减速运动 【答案】BD 【解析】 A:加速度是速度对时间的变化率，匀加速直线运动，是速度随时间均匀增大，即经过相同的时间速度的增量相同，A错 6 B:速度是矢量，匀速运动是指速度矢量保持不变，即速度的大小和方向都保持不变 速度方向不变，则物体一定做直线运动 匀变速运动，指的是加速度大小和方向都不变，但速度方向可以改变，所以可以是曲线运动，如平抛运动，选项B对 正因为匀速运动一定是直线运动，所以匀速直线运动可以简称为匀速运动 但匀变速运动可以是曲线运动，所以匀变速直线运动虽然属于匀变速运动，但不能简称为匀变速运动 CD:匀变速直线运动有加速和减速之分，但到底是加速还是减速，不是单独由加速度的正负（即加速度的方向）决定的 而是由加速度的方向和速度的方向的关系决定的 当加速度和速度同向（同正，或同负）时，做加速运动 当加速度和速度反向（一正一负）时，做减速运动 选项C错误，D正确 另外，矢量的正负方向是人为选定的。同样的一个自由落体运动： 你选定向上为正方向，则加速度为负（加速度为负时可以是加速运动） 你选定向下为正方向，则加速度为正（加速度为正时也可以是加速运动） 2.(2025年江苏卷)新能源汽车在辅助驾驶系统测试时，感应到前方有障碍物立刻制动，做匀减速直线运动。2s内 速度由12m/s减至0。该过程中加速度大小为() A.2m/s2 B.4m/s2 C.6m/s2 D.8m/s2 【答案】C 3,(2024年北京卷)一辆汽车以10ms的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，则汽车的制动距离 为( A.5m B.10m C.20m D.30m 【答案】B 4.(全国高考【卷)高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，在启动阶段列车的动能() A.与它所经历的时间成正比 B.与它的位移成正比 C.与它的速度成正比 D.与它的动量成正比 【答案】B 【解析】 高铁列车启动阶段可看作初速度为零的匀加速运动 则列车所受合外力恒定，由动能定理E=F·X,E与位移x成正比 男外，B,=}m2=mr= 2 ，故选项B正确，A、C、D错误 2 2 5.如图所示，一滑块（视为质点）沿光滑斜面下滑，依次经过斜面上的A、B、 C、D四点，通过AB、BC、CD各段的时间依次为T、2T、3T,其中AB段的长度 B 为L,CD段的长度为L,则BC段的长度为( A. 2L+5L B.L+5Lo c.51o-2L D.5L。-Z 4 4 4 4 【答案】B 【解析】特值法 v4=0时，时间T、2T、3T内的位移比： 令vA=0,则L=27L0,BC=8L0 1:3:5:7:9:11:13:… 将L=27L代入各选项验证，只有B选项是8L0,B对 AB:BC:CD=Lo:8Lo:27Lo 6.如图所示，一物块沿斜面匀加速下滑，依次通过两段位移s所用时间分别为、 t红，则通过中点n时的速度大小为( A.s2-62 B.s+6） c.s-6） s2+） D. tt2G1-t2) tt26+t2) tt261+t2) (t) 【答案】B 【解析】 设加速度大小为a,通过中点"时速度大小为Vm 142 m用逆程法得：了=以一之 1 7由位移公式得y=话+2 上述两式消去a得：Vm= sg2+52 选项B正确 4,(6+t) 7.列车过隧道需要限速。长为1的高速列车在平直轨道上正常匀速行驶，速率为。现要通过前方一长为L的隧道， 当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v<vo)。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a, 则列车从开始减速至回到正常行驶速率所用时间至少为( A. Yo-v I+l B.%yL+21 3。-四1+1 c D. (-v),L+21 2a 2a 1 【答案】C 【解析】 取临界情况进行计算： 设车头刚进隧道时速度刚好减到？，车尾刚出隧道后从开始加速 进隧道前的减速时间千=6-Y 车头进隧道 车尾出隧道 2a L+1 在隧道中的匀速运动时间t,= 3=2i (从车头开始进隧道到车尾刚好出隧道，列车的位移为L+1) 车头进隧道车尾出隧道 出隧道后的加速时间5=6一Y a 则所求的时间1。=1+6+5与=二'+L+1+6-y-3-y1L+ ，选项C正确 2a y 2a 8.一物体从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，连续三段时间分别是1s、2s、3s,这三段时间内的位移之 比和平均速度之比分别是() A.1:22:32,1:2:3 B.1:23:33,1:22:32 C.1:2:3,1:1:1 D.1:3:5,1:2:3 【答案】重组法 时间等分时位移比：1：3：5：7：9：11：13：… 【解析】先将时间等分得位移比，再对时间段进行重组 时间比为1：2：3时位移比：1：8：27 平均速度（位移/时间）比：1：4：9 9.汽车以18m/s的速度开始制动，制动后3s内前进36m,则制动后5s内前进的距离为 1m。 【答案】40.5 【解析】 刹车制动问题，都要注意在所述的过程中是否已经停止 6=0时刻：%=18s 36m 1=15s时刻：4=V前3s= -=12m/s 35 则加速度大小：a=-上=18-12 m/s2=4m/s2 t-01.5-0 制动直到件止的总时间：T=占一0_180，=45<5 4 则制动后5s内前进的距离x=T=18 ×4.5m=40.5m 2 2 10.一辆汽车由甲地沿直线运动到达乙地，在前一半路程里由静止匀加速到60am/h,后一半路程里由60am/h匀加速 到120an/h。则整个过程中汽车的平均速度是 am/h。 【答案】45 【解析】 前一半路程的平均速度=0+60=301/) 2 后一半路程的平均速度下，= 60+120 =90(am/h) 2 设总路程为2x,则全程中的平均速度 2x 2x_2可2=2×30×90=45km/h) 4+6x+x +30+90 VV2 11.(2024年广西卷)如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d=0.9m,某同学穿着轮 滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1=0.4s,从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2=0.5s。求该 同学 k+1 (1)滑行的加速度大小： 月 月 (2)最远能经过几号锥筒。 7777n7777777777777711//117111/1177777n77T ←一d 【答案】(1)1m/,(2)4 【解析】 (1)根据匀变速运动规律，某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度 d 可知在1、2间中间时刻的速度为y=二=2.25m/5 t 9 2、3间中间时刻的速度为V,= d=1.8mls t 故可得加速度大小为a=Ay-上-业=1m/g 22 (2)设到达1号锥筒时的速度为V0 1 根据匀变速直线运动规律得4-】a叶2=d 2 代入数值解得y,=2.45m/s 从1号开始到停止时通过的位移大小x=女=3.00125m≈3.33d 2a 故可知最远能经过4号锥筒 12.(2024年全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动， 加速度大小a=2ms2,在t1=10s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，2=41s时在救护车出发处的 人听到救护车发出的最后的鸣笛声。己知声速vo=340ms,求： (1)救护车匀速运动时的速度大小； (2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 【答案】(1)20s:(2)680m 【解析】 (1)救护车匀速运动时的速度大小v=at1=2×10=20(m/s) 2)救护车加速运动过程中的位移飞=，止=100 设在时刻停止鸣笛，根据题意可得x+t3一t)=yt2一t3)一t3=395 停止鸣笛时救护车距出发处的距离x=（t,-t3)=340(41-39)=680(m) 10 §1.3 匀变速直线运动的规律 ▲物体做匀变速直线运动的条件： ①运动学条件：a恒定且方向跟v方向共线 ②动力学条件：ΣF外恒定且方向跟v方向共线 （一）速度与时间的关系（速度公式） 1．速度公式：vt＝v0＋at（初速度为零的匀加速直线运动：vt＝at） 2．加速度的定义式： 3．匀变速直线运动速度的变化（这是寻找时间关系的一条重要思路） ( A B C v A v B v C )【例1】如图所示，一质点沿直线ABC做匀变速直线运动，经A、B、C 三点时的速度分别为vA、vB、vC，且3vB＝vA+2vC，则质点经AB、BC两段位 移所用时间之比为 。 【答案】2:1 【解析】 ，即为2:1 （二）位移与时间的关系（位移公式） 1．位移公式：x＝v0t+at2（初速度为零的匀加速直线运动：x＝at2） ▲匀变速直线运动的位移公式x＝v0t+at2与位置坐标方程x＝at2+v0t+x0都是关于时间t的一元二次函数，同次项系数的意义相同。 【例2】某质点的运动学方程为x＝3t2–4t+2（x、t的单位分别为m、s）。 （1）求质点的初速度和加速度； （2）写出质点速度随时间变化的函数式； （3）t＝0时刻质点是作加速还是减速运动？ 【答案】（1）初速度v0＝-4m/s，加速度a＝6m/s2；（2）v＝-4+6t；（3）减速运动 【解析】 x为t的一元二次函数，说明为匀变速直线运动 （1）一次方项的系数表示初速度v0，则v0＝-4m/s 二次方项的系数表示加速度a的，则 （2）速度函数式：v＝v0+at，即v＝-4+6t （3）t＝0时刻，v0为负方向，a为正方向，两者方向相反，为减速运动 2．“等时圆”与“最速线” （1）竖直平面内的“等时圆”模型： ( d d )按如图所示两种方式在竖直平面内的圆中设置不同倾斜程度的 光滑轨道，让质点由静止开始从轨道的最高点分别沿不同轨道运动 （包括沿竖直直径下落），它们将同时到达轨道的最低点，。 ( θ θ d x )【推导】 设圆的直径为d，斜面轨道的倾斜角为θ 则轨道长，物体沿光滑轨道运动的加速度 由位移公式 得到的运动时间t与倾斜角θ无关，且等于沿圆的直径做自由落体运动的时间（记住！） ( A B C C ′ A ′ B ′ P )【例3】如图所示，一光滑直槽可绕两圆的切点P在竖直平面内转动，当直槽转至与水平 面分别成30º、45º、60º角时，与两圆分别相交于A和A′、B和B′、C和C′点。若一滑块 由静止开始分别从A、B、C滑至A′、B′和C′所需时间分别为t1、t2、t3，则（ ） A．t1＜t2＜t3 B．t1＞t2＞t3 C．t1＝t2＝t3 D．t2＜t1＝t3 【答案】C ( A α ) 【例4】如图所示，在倾角为α的传送带某点的正上方有一发货点A，在 A点与传送带之间安装一光滑斜槽，为使货物由A点从静止开始沿斜槽以最 短的时间到达传送带，斜槽与竖直方向的夹角应为多少？ 【答案】 ( A α β α B )【解析】 以A为圆的最高点，作一个最小的等时圆（圆与传送带相切） 连接A与切点B，即为符合条件的斜槽轨道 由几何关系，易得 【易错点】（易错等级：★★★） 很多人一见到该题，就觉得非常简单，快速得很结论： 认为所搭建的斜槽与传送带垂直时时间最短，因为垂线段最短 但要注意的是，运动时间是由位移和加速度共同决定的，位移最短时加速度并非最大 【难点】本题若用函数法分析，将会非常麻烦 因为搭建的斜槽并非与传送带垂直，斜槽与竖直线、传送带构成的是斜三角形 ( α = 45° d A α 竖线 垂线 角平分线 β β β ＝ α / 2 )（2）两种（光滑斜面）“最速线”： ①45°最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时， 由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短 ②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到 达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道 顶端运动到底端的时间最短 【例5】如图所示，在墙壁的同一竖直线上有A、B两点相距为h，B点离水平地面高度为H。现要在地面上寻找一点P，设置两个光滑斜面AP与BP，使得从A、B两点由静止释放的小物块分别沿两斜面滑到P点的时间相等。 （1）用作图法找出P点； （2）求P点到墙角O点的距离d。 ( A B O h H )【解析】 ( A B O h H D C d R P R d )（1）①作AB的中垂线DC，垂足为D ②取圆的半径R＝OD，以B为圆心画弧交DC于C点 ③过C点作地面的垂线，垂足即为所要找的P点 （2）圆半径，在Rt△DBC中，有： （三）速度与位移的关系（速度–位移公式） 1．速度–位移公式：vt2−v02＝2ax 初速度为零的匀加速直线运动：vt2＝2a x（如自由落体运动下落h高获得的速度） 2．速度–位移公式的优越性及应用技巧 ①由于该公式不涉及到时间t这个过程参量，应用它来处理问题时只需用到某两个状态，因而往往比较方便，使得该公式有着广泛的应用。它是求物体加速度的一个最常用的公式之一。且现实中，运动过程一旦过去了，运动时间已无法知晓，应用该公式正好可以避开时间这个量。 ②公式中vt2和v02一正一负，涉及分段运动时，采用各段相加的方法，正负抵消，可消去中间速度。 【例6】把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动。当它到达每一等分点时，加速度增大a/n，则汽车到达终点B时的速度为多少？ 【答案】 【解析】累加法 设每一份位移，设汽车到达各分点的速度依次为、、、…、 ( a 、 s 0 )对每一段运动过程用速度-位移公式，得 … … 以上各式两边分别累加，得 【技巧】见到本题，很多人能快速想到的解题方法就是递推法，但本题不适合用递推法求解，递推法过于麻烦 对各段分别列式，累加时前后两段正负项抵消，将中间各分点的速度全部消去，从而使得运算变得简单 ③vt2−v02＝（vt−v0）（vt+v0），而（vt−v0）可以和at联系起来，（vt+v0）可以和平均速度联系起来。 （四）速度规律 1．中时速度：（算术平均值） 即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段过程中的平均速度。 ▲灵活应用匀变速直线运动平均速度的特点，往往会使很多问题的处理变得非常简单。 【例7】一物体作匀变速直线运动： （1）若测得该物体在3s末～7s末的位移为6.4m，则该物体在前10s内的位移为 m； （2）若测得该物体在第3s内的位移为2m，在第7s内的位移为7m，则该物体的加速度为 m/s2。 【答案】（1）16；（2）1.25 【解析】 （1）因，则 则前t＝10s内的位移 （2）t1＝2.5s时的速度 t2＝6.5s时的速度 则加速度 【例8】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移∆x所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移∆x所用的时间为t2。则物体运动的加速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A ( ∆ x 、 t 1 ∆ x 、 t 2 v 1 v 2 t 1 /2 t 2 /2 )【解析】 加速度，A对 2．中位速度：（方均根平均值） 【例9】汽车在平直的公路上作匀加速直线运动，经过第一、第三棵树时的速度分别为1m/s和7m/s。若树间隔均匀，则经第二棵树时的速度为_________m/s；若相邻两树间距都为10m，则从第一棵树到第三棵树的时间为______s，汽车的加速度为_________m/s2。 【答案】5，5，1.2 【解析】 经第2棵树的速度 从第1棵树到第3棵树的平均速度 则时间 加速度 ▲数学知识：方均根平均值大于或等于算术平均值（匀变速直线运动，中点速度必大于平均速度） 【例10】 ( A B O C D )一质点沿直线ABOCD作匀加速直线运动，O点为AD与BC的公共中 点。若质点在AD段内的平均速度为v1，在BC段内的平均速度为v2，则（ ） A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．v1＜v2 D．无法确定 【答案】C 【解析】极限思维法 ( A B O C D P v 1 = v P v 2 → v O )设想B、C两点无限趋近于O点，则BC段的平均速度v2无限趋近于O点速度 而AD段的平均速度v1等于A运动到D中间时刻（设为P点）的速度 由于质点做加速度运动，中间时刻P必然位于中点O的前方 因而速度＜，即v1＜v2，C对 （五）比例规律（n不是整数时也成立） 1．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的各段时间内的位移之比 x1:x2:x3:…:xn＝1:3:5:…:（2n−1） （即连续奇数之比） 【例11】一物体由静止开始做匀加速直线运动，将其时间依次分为3:2:1的三段，则这三段位移之比为___________。 【答案】9:16:11 【解析】重组法 时间等分的位移之比：1:3:5:7:9:11:13:… 时间为3:2:1的位移之比：9:16:11 【例12】A为超声波测速仪，B为汽车，两者相距335m。某时刻A发出超声波，同时B由静止开始远离A做匀加速直线运动。当A接收到B反射回来的超声波时，AB相距355m。已知声速为340m/s，则汽车B的加速度大小为（ ） A．20m/s2 B．10m/s2 C．5m/s2 D．无法确定 【答案】B 【解析】 超声波往返时间相等，在往返的两段时间内，汽车B的位移之比为1:3，即分别走了5m、15m 超声波从发出到追上B车，超声波传播的距离为x声＝335m+5m＝340m ( 335 m 355 m 5 m 15 m A B )则时间 在t＝1s内，车B的位移x＝5m，设加速度为a，则 2．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比 t1:t2:t3:…:tn＝1:(−1):(−):…:(−) 【例13】（2024年山东卷）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与 斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为 Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2:Δt1为（ ） A．（−1）:（−1） B．（−）:（−1） C．（+1）:（+1） D．（+）:（+1） 【答案】A 【解析】木板在斜面上运动时设加速度为a 木板从静止释放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有 木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有 当木板长度为2L时，有 又， 联立解得，故选A 【作业】 班次 座次 姓名 1．下列说法正确的有（ ） A．匀加速度直线运动的速度随位移均匀增大，即经过相同位移速度增量相同 B．匀速运动一定为直线运动，但匀变速运动可以为曲线运动 C．匀变速直线运动，加速度a为正方向则为加速运动，a为负方向则为减速运动 D．匀变速直线运动，加速度a与速度v同向则为加速运动，反向则为减速运动 【答案】BD 【解析】 A：加速度是速度对时间的变化率，匀加速直线运动，是速度随时间均匀增大，即经过相同的时间速度的增量相同，A错 B：速度是矢量，匀速运动是指速度矢量保持不变，即速度的大小和方向都保持不变 速度方向不变，则物体一定做直线运动 匀变速运动，指的是加速度大小和方向都不变，但速度方向可以改变，所以可以是曲线运动，如平抛运动，选项B对 正因为匀速运动一定是直线运动，所以匀速直线运动可以简称为匀速运动 但匀变速运动可以是曲线运动，所以匀变速直线运动虽然属于匀变速运动，但不能简称为匀变速运动 CD：匀变速直线运动有加速和减速之分，但到底是加速还是减速，不是单独由加速度的正负（即加速度的方向）决定的 而是由加速度的方向和速度的方向的关系决定的 当加速度和速度同向（同正，或同负）时，做加速运动 当加速度和速度反向（一正一负）时，做减速运动 选项C错误，D正确 另外，矢量的正负方向是人为选定的。同样的一个自由落体运动： 你选定向上为正方向，则加速度为负（加速度为负时可以是加速运动） 你选定向下为正方向，则加速度为正（加速度为正时也可以是加速运动） 2．（2025年江苏卷）新能源汽车在辅助驾驶系统测试时，感应到前方有障碍物立刻制动，做匀减速直线运动。2s内速度由12m/s减至0。该过程中加速度大小为（ ） A．2m/s2 B．4m/s2 C．6m/s2 D．8m/s2 【答案】C 3．（2024年北京卷）一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，则汽车的制动距离为（ ） A．5m B．10m C．20m D．30m 【答案】B 4．（全国高考Ⅰ卷）高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，在启动阶段列车的动能（ ） A．与它所经历的时间成正比 B．与它的位移成正比 C．与它的速度成正比 D．与它的动量成正比 【答案】B 【解析】 高铁列车启动阶段可看作初速度为零的匀加速运动 则列车所受合外力恒定,由动能定理，Ek与位移x成正比 另外，，故选项B正确，A、C、D错误 ( A B C D )5．如图所示，一滑块（视为质点）沿光滑斜面下滑，依次经过斜面上的A、B、 C、D四点，通过AB、BC、CD各段的时间依次为T、2T、3T，其中AB段的长度 为L0，CD段的长度为L，则BC段的长度为（ ） A． B． C． D． ( v A ＝ 0时， 时间 T 、2 T 、3 T 内的位移比： 1 : 3 : 5 : 7 : 9 : 11 : 13 : … AB : BC : CD ＝ L 0 : 8 L 0 : 27 L 0 )【答案】B 【解析】特值法 令vA＝0，则L＝27L0，BC＝8L0 将L＝27L0代入各选项验证，只有B选项是8L0，B对 ( n m p s s )6．如图所示，一物块沿斜面匀加速下滑，依次通过两段位移s所用时间分别为t1、 t2，则通过中点n时的速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设加速度大小为，通过中点n时速度大小为 m→n用逆程法得： n→p由位移公式得： 上述两式消去得：，选项B正确 7．列车过隧道需要限速。长为l的高速列车在平直轨道上正常匀速行驶，速率为v0。现要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从开始减速至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（ ） A． B． C． D． 【答案】C ( v 0 t O v v 车头进隧道 车尾出隧道 t 1 t 2 t 3 ＝ 2t 1 2 a a v v 车头进隧道 车尾出隧道 L l )【解析】 取临界情况进行计算： 设车头刚进隧道时速度刚好减到v，车尾刚出隧道后从v开始加速 进隧道前的减速时间 在隧道中的匀速运动时间 （从车头开始进隧道到车尾刚好出隧道，列车的位移为） 出隧道后的加速时间 则所求的时间，选项C正确 8．一物体从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，连续三段时间分别是1s、2s、3s，这三段时间内的位移之比和平均速度之比分别是（ ） A．1:22:32，1:2:3 B．1:23:33，1:22:32 C．1:2:3，1:1:1 D．1:3:5，1:2:3 ( 时间等分时位移比： 1 : 3 : 5 : 7 : 9 : 11 : 13 : … 时间比为1 : 2 : 3时 位移比：1 : 8 : 27 平均速度（位移/时间）比：1 : 4 : 9 )【答案】重组法 【解析】先将时间等分得位移比，再对时间段进行重组 9．汽车以18m/s的速度开始制动，制动后3s内前进36m，则制动后5s内前进的距离为 m。 【答案】40.5 【解析】 刹车制动问题，都要注意在所述的过程中是否已经停止 t0＝0时刻：v0＝18m/s t1＝1.5s时刻： 则加速度大小： 制动直到停止的总时间：＜5s 则制动后5s内前进的距离 10．一辆汽车由甲地沿直线运动到达乙地，在前一半路程里由静止匀加速到60km/h，后一半路程里由60km/h匀加速到120km/h。则整个过程中汽车的平均速度是 km/h。 【答案】45 【解析】 前一半路程的平均速度 后一半路程的平均速度 设总路程为，则全程中的平均速度 11．（2024年广西卷）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d＝0.9m，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1＝0.4s，从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2＝0.5s。求该同学 （1）滑行的加速度大小； （2）最远能经过几号锥筒。 【答案】（1）1m/s2；（2）4 【解析】 （1）根据匀变速运动规律，某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度 可知在1、2间中间时刻的速度为 2、3间中间时刻的速度为 故可得加速度大小为 （2）设到达1号锥筒时的速度为 根据匀变速直线运动规律得 代入数值解得 从1号开始到停止时通过的位移大小 故可知最远能经过4号锥筒 12．（2024年全国甲卷）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2m/s2，在t1＝10s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340m/s，求： （1）救护车匀速运动时的速度大小； （2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 【答案】（1）20m/s；（2）680m 【解析】 （1）救护车匀速运动时的速度大小 （2）救护车加速运动过程中的位移 设在t3时刻停止鸣笛，根据题意可得 停止鸣笛时救护车距出发处的距离 3 学科网（北京）股份有限公司 $§1.3匀变速直线运动的规律 ▲物体做匀变速直线运动的条件： ①运动学条件：α恒定且方向跟v方向共线 ②动力学条件：F外恒定且方向跟v方向共线 (一)速度与时间的关系（速度公式） 1.速度公式：=vo十t（初速度为零的匀加速直线运动：=at) 2.加速度的定义式：a=△y--口 △t△t 3.匀变速直线运动速度的变化△V=tct(这是寻找时间关系的一条重要思路) 【例1】如图所示，一质点沿直线ABC做匀变速直线运动，经A、B、C 三点时的速度分别为vA、vB、vC,且3vB=vA+2vC,则质点经AB、BC两段位 A B 移所用时间之比为 (二)位移与时间的关系（位移公式） 1.位移公式：x=ot+号af(初速度为零的匀加速直线运动：x=号at) ▲匀变速直线运动的位移公式x=t什号a与位置坐标方程x=号a+ot什都是关于时间t的一 元二次函数，同次项系数的意义相同。 【例2】某质点的运动学方程为x=3-4t+2(x、t的单位分别为m、s)。 (1)求质点的初速度和加速度；(2)写出质点速度随时间变化的函数式；(3)t=0时刻质点是作加速还是减速运动？ 2.“等时圆”与“最速线” （1)竖直平面内的“等时圆”模型： 按如图所示两种方式在竖直平面内的圆中设置不同倾斜程度的 光滑轨道，让质点由静止开始从轨道的最高点分别沿不同轨道运动 (包括沿竖直直径下落)，它们将同时到达轨道的最低点，t= 2d Vg 【例3】如图所示，一光滑直槽可绕两圆的切点P在竖直平面内转动，当直槽转至与水平 面分别成30°、45°、60°角时，与两圆分别相交于A和A'、B和B'、C和C点。若一滑块 由静止开始分别从A、B、C滑至A'、B'和C'所需时间分别为1、t红、t3,则( A.1<红<切 B.t1>t>t3 C.t=tz=t3 D.t2<t=t3 A 【例4】如图所示，在倾角为α的传送带某点的正上方有一发货点A,在 A点与传送带之间安装一光滑斜槽，为使货物由A点从静止开始沿斜槽以最 短的时间到达传送带，斜槽与竖直方向的夹角应为多少？ ----- 1 (2)两种（光滑斜面)“最速线”： ①45最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时， 、垂线 由静止从斜面项端运动到底端的时间最短 竖线 ②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到 =459 角平分线 达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道 B=/2 顶端运动到底端的时间最短 【例5】如图所示，在墙壁的同一竖直线上有A、B两点相距为h,B点离水平地面高度为H。现要在地面上寻找 一点P,设置两个光滑斜面AP与BP,使得从A、B两点由静止释放的小物块分别沿两斜面滑到P点的时间相等。 (1)用作图法找出P点： (2)求P点到墙角O点的距离d。 H （三)速度与位移的关系（速度-位移公式) 1.速度-位移公式：v2-02=2x 初速度为零的匀加速直线运动：？=2ax(如自由落体运动下落h高获得的速度v=√2gh) 2.速度-位移公式的优越性及应用技巧 ①由于该公式不涉及到时间这个过程参量，应用它来处理问题时只需用到某两个状态，因而往往 比较方便，使得该公式有着广泛的应用。它是求物体加速度的一个最常用的公式之一。且现实中，运动 过程一旦过去了，运动时间已无法知晓，应用该公式正好可以避开时间这个量。 ②公式中和v一正一负，涉及分段运动时，采用各段相加的方法，正负抵消，可消去中间速度。 【例6】把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动。当它到达每一等分点时， 加速度增大an,则汽车到达终点B时的速度为多少？ ③-=(0)(+0)，而(vro)可以和t联系起来，(+0)可以和平均速度v联系起来。 (四)速度规律 1.中时速度：下=-当+业=y+a=巧-=y(算术平均值) t2 即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段过程中的平均速度。 ▲灵活应用匀变速直线运动平均速度的特点，往往会使很多问题的处理变得非常简单。 【例7】一物体作匀变速直线运动： (1)若测得该物体在3s末~7s末的位移为6.4m,则该物体在前10s内的位移为 m; (2)若测得该物体在第3s内的位移为2m,在第7s内的位移为7m,则该物体的加速度为 m/s2。 【例8】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移△x所用的时间为t1,紧接着通过下一段位移△x所用的时间为t2。 则物体运动的加速度为( A. 2△xt-t） B.△4-) c.2△x4+) D.△r4+i) t2(+t) t+) t(-t) tt(低-t2) 2 2.中位速度：y= +2 （方均根平均值) 2 【例9】汽车在平直的公路上作匀加速直线运动，经过第一、第三棵树时的速度分别为1ms和7m。若树间隔均匀， 则经第二棵树时的速度为 ms；若相邻两树间距都为10m,则从第一棵树到第三棵树的时间为s,汽车的 加速度为 m/s2。 ▲数学知识：方均根平均值大于或等于算术平均值（匀变速直线运动，中点速度必大于平均速度) 【例10】一质点沿直线ABOCD作匀加速直线运动，O点为AD与BC的公共中 点。若质点在AD段内的平均速度为y,在BC段内的平均速度为2，则()AB 0 C D A.VI=V2 B.V1>V2 C.VI<V2 D.无法确定 (五)比例规律(n不是整数时也成立) 1.一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的各段时间内的位移之比 x1:x2:x3:…:x=1:3:5:…:（2n-1)(即连续奇数之比) 【例11】一物体由静止开始做匀加速直线运动，将其时间依次分为3：2：1的三段，则这三段位移之比为 【例12】A为超声波测速仪，B为汽车，两者相距335m。某时刻A发出超声波，同时B由静止开始远离A做匀加速 直线运动。当A接收到B反射回来的超声波时，AB相距355m。已知声速为340m/8,则汽车B的加速度大小为() A.20m/s2 B.10m/s2 C.5m/s2 D.无法确定 2.一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比 t1:t2:t3:…:tm=1:(√2-1)：(V3-√2)：：（√n-√n-1) 【例13】(2024年山东卷)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与 斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L,通过A点的时间间隔为 t1;若木板长度为2L,通过A点的时间间隔为t2。t2:t1为() A.(5-1):(√2-1) B.(5-√2)：（√2-1） C.(5+1):(√2+1) D.(√5+√2)：（√2+1） 【作业】 班次 座次」 姓名 1.下列说法正确的有( A.匀加速度直线运动的速度随位移均匀增大，即经过相同位移速度增量相同 B.匀速运动一定为直线运动，但匀变速运动可以为曲线运动 C.匀变速直线运动，加速度a为正方向则为加速运动，a为负方向则为减速运动 D.匀变速直线运动，加速度α与速度v同向则为加速运动，反向则为减速运动 2.(2025年江苏卷)新能源汽车在辅助驾驶系统测试时，感应到前方有障碍物立刻制动，做匀减速直线运动。2s内 速度由12m/s减至0。该过程中加速度大小为() A.2m/s2 B.4m/2 C.6m/s2 D.8m/s2 3.(2024年北京卷)一辆汽车以10ms的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，则汽车的制动距离 为() A.5m B.10m C.201m D.30m 4.(全国高考I卷)高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，在启动阶段列车的动能() A.与它所经历的时间成正比 B.与它的位移成正比 C.与它的速度成正比 D.与它的动量成正比 3 &装面小名及。 C、D四点，通过AB、BC、CD各段的时间依次为T、2T、3T,其中AB段的长度 为L,CD段的长度为L,则BC段的长度为( A.2L+5 B.L+5Lo C. 5L-2L D.5Lo-L 4 4 4 4 6.如图所示，一物块沿斜面匀加速下滑，依次通过两段位移s所用时间分别为1、 2,则通过中点n时的速度大小为( A.s2-63） B.s+52） c.s2-52） D.s+52） t纯2传1-t32) t3传1+t2) t (+t2) tit (-t2) 7.列车过隧道需要限速。长为1的高速列车在平直轨道上正常匀速行驶，速率为。现要通过前方一长为L的隧道， 当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v<vm)。己知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a, 则列车从开始减速至回到正常行驶速率所用时间至少为( A.Yo-v+L+/ B.b-V+L+21 c.3(。-D+Z+1D.3%-2+L+2☑ 2a v 2a 1 a 1 8.一物体从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，连续三段时间分别是1s、28、3s,这三段时间内的位移之 比和平均速度之比分别是(） A.1:22:32,1:2:3B.1:23:33,1:22:32C.1:2:3,1:1:1 D.1:3:5,1:2:3 9.汽车以18m/s的速度开始制动，制动后3s内前进36m,则制动后5s内前进的距离为 1m。 10.一辆汽车由甲地沿直线运动到达乙地，在前一半路程里由静止匀加速到60am/h,后一半路程里由60%mh匀加速 到120an/h。则整个过程中汽车的平均速度是 am/h。 11.(2024年广西卷)如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d=0.9m,某同学穿着轮 滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1=0.4s,从2号锥筒运动到3号锥筒用时2=0.5s。求该 同学 1 2 3 k+1 (1)滑行的加速度大小： (2)最远能经过几号锥筒。 d 12.(2024年全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动， 加速度大小α=2m/s?,在1=10s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2=41s时在救护车出发处的 人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速vo=340m/s,求： (1)救护车匀速运动时的速度大小； (2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 4