第12章 一次函数 教学设计 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级数学上册第12章《一次函数》单元教学设 计 (配套2024新教材·问题牵引式教学·共6课时) 一、课标要求与素养定位 《义务教育数学课程标准(2022年版)》对"函数"主题的要求是：理解函数的概 念，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；能结合具体情境体 会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会利用一次函数的图像 与性质解决简单实际问题；体会数形结合思想，感悟数学模型观念。 本章是学生第一次系统学习"函数"，是函数概念的奠基章，核心素养落点为： 1.抽象能力：从气温变化、行程等具体情境中抽象出变量与常量、函数概念； 2.模型观念：用一次函数模型刻画匀速变化、行程相遇等实际问题，体会"用函数 描述变化、预测未来"； 3.数形结合意识：在解析式、列表、图像三种表示法之间自由转换，从图像读取 信息、由图像求交点； 4.几何直观：借助直线图像直观理解一次函数性质与方程组解的关系。 二、教材分析 本章是沪科版八年级上册第12章，前承第11章《平面直角坐标系》（点的坐标、 象限)，后启第13章起三角形、全等、轴对称等几何内容，并在九年级与反比例函 数、二次函数衔接，是"函数"学段主线的起点。 本章知识结构： 12.1函数（变量与常量→函数的概念→三种表示法→自变量的取值范围→描 点法画图像→从图像读取信息)→12.2一次函数（正比例函数→一次函数的概念→ 图像与性质→待定系数法求解析式)→12.3一次函数与二元一次方程（组）（方程的 解对应直线上的点→两直线交点对应方程组的解→平行、相交、重合与解的关 系)→12.4综合与实践（一次函数模型的应用)。 1 全章以"用一条直线，描述变化、预测未来"为主线，先建立函数概念，再研究最 简单的函数一一次函数，进而用函数观点回看二元一次方程（组），实现代数与图形 的第一次打通。 三、学情分析 学生已具备：会用有序数对表示点的位置，能在平面直角坐标系中描点；能列代 数式、解一元一次方程和二元一次方程组。这些是本章学习的基础。 主要学习障碍： 1.函数概念抽象，"一个量确定，另一个量唯一确定"的对应关系不易一次到位， 容易把"有联系"误判为"是函数"； 2.自变量取值范围的确定容易遗漏实际意义限制，或忽略分母不为零等隐性条 件； 3.数形转换不熟练：从解析式想图像、从图像读性质、由图像求方程组解，需要 一个从"算"到"看"再回到"算"的过程； 4.待定系数法求解析式时，解方程组、代回检验环节容易出现符号错误。 教学对策：全程采用问题牵引，先让学生"卡住"，再在活动中建构；图像素材全 部原创绘制，统一配色，支持数形结合直观理解。 四、教学目标 (一)知识与技能 1.理解变量与常量、函数的概念，能识别一个变化过程中两个变量之间的函数关 系； 2.会用解析式法、列表法、图像法表示函数，能确定简单函数的自变量取值范 围； 3.理解一次函数、正比例函数的概念，掌握一次函数图像的性质，会用待定系数 法求一次函数解析式； 4.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，能利用图像解方程组，能判断两 直线平行、相交、重合与方程组解的情况； 2 5.能建立一次函数模型解决行程、方案选择等简单实际问题。 (二)过程与方法 1.经历"观察情境一抽象概念一表示函数一画图读图一解决问题"的完整过程，体会 从特殊到一般、数形结合的研究方法； 2.在描点画图、读图分析、图像解方程组的活动中，发展几何直观与推理能力； 3.在综合与实践活动中，经历"设变量一找关系一建模型一验结果"的建模流程。 (三)情感态度与价值观 1.感受函数刻画现实世界的价值，体会数学与生活的联系； 2.在合作探究与成果交流中增强学习数学的兴趣与自信。 五、教学重难点 重点：函数概念的理解；一次函数的图像与性质；待定系数法求解析式；一次函 数与二元一次方程（组）的关系。 难点：对"唯一对应"关系的深刻理解；k、b对图像位置的影响及数形转换；建立 一次函数模型解决实际问题。 六、课时安排总览 课时 教学内容 核心问题 课时类型 12.1函数的概念（变 两个变量之间"唯一对 第1课时 新授课 量与常量) 应"的关系怎样描述？ 同一函数如何用三种 12.1函数的表示与图 第2课时 方法表示？如何画 新授课 像 图、读图？ 什么样的函数图像是 12.2正比例函数与一 第3课时 直线？y=kxb是什 新授课 次函数 么？ k、b各决定图像的什 12.2一次函数的图像 第4课时 么？怎样由条件求解 新授课 与性质、待定系数法 析式？ 方程的解与直线上的 12.3一次函数与二元 第5课时 点是一回事吗？交点 新授课 一次方程（组） 是什么？ 3 12.4综合与实践：一 怎样用一次函数解决 第6课时 活动课十小结 次函数模型的应用 行程等真实问题？ 七、分课时教学设计 第1课时12.1函数的概念 (一)教学目标 1.能识别具体情境中的变量与常量，说出函数定义中的两个关键词； 2.能判断一个变化过程中两个变量是否构成函数关系，能说明理由； 3.能写出简单函数的自变量取值范围，体会实际问题中自变量的实际意义。 （二)教学重难点 重点：函数概念中"唯一对应"的理解； 难点：用定义判断函数关系（尤其反例中"不唯一"的情形）。 (三)教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 出示某地24小时气温 读图回答，体会”一个 变化图像，提问：下 用真实情境制造"对应 时刻对应一个温度， 情境引入 午4点的温度是多 关系"直觉，为函数概 同一温度可能对应多 少？什么时候是 个时刻"。 念铺垫。 24℃？ 给出汽车匀速行驶 观察、讨论、归纳， s=60L,组织学生找出 概念建构 得出变量与常量的定 从特例抽象一般概 变与不变的量，归纳 念，落实抽象能力。 变量与常量定义。 义。 给出函数定义，强 对比气温情境与 调"每一个确定的 y2=x,判断t→T是函 通过正反例对比突 深化理解 值"唯一确定"；用 数、T-t不是函数， 破"唯一对应"难点。 y2=x说明"不唯一则不 并说明理由。 是函数"。 出示y=3x、y=1/(x 2)、圆的周长C=2π 当堂检验概念掌握， 即时练习 等，让学生指出变 独立完成并互查，板 演取值范围。 暴露并纠正错误。 量、常量并判断函数 关系、求取值范围。 课堂小结 引导概括：函数是什 用自己的话复述本节 以判断句收束，形成 4 么？判断函数看什 么？求取值范围注意 三个核心结论。 可迁移的结论。 什么？ (四)板书设计 函数 一、变量与常量：s=60t(t、s变量，60常量) 二、函数：x每个确定的值→y唯一确定 正例：t→T;反例：y2=x、T→t 三、取值范围：整式全体实数；分式分母≠0；实际意义 (五)作业布置 必做：教材练习；补充题：判断y=x中y是否是x的函数，并说明理由。选做：举出 生活中的函数关系的例子。 第2课时12.1函数的表示与图像 (一)教学目标 1.掌握函数的三种表示法，能根据情境选择合适的表示方法； 2.会用列表、描点、连线的方法画简单函数的图像； 3.能由图像读取信息，解释图像中"平"与陡"的含义。 (二)教学重难点 重点：三种表示法及相互转化；描点法三步； 难点：从图像读取信息并作出合理解释。 (三)教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 提问：已学的函数有 回顾并举例，比较各 唤醒旧知，建立"表示 温故引入 哪些表示方式？引出 自优点与局限。 法"的整体框架。 三种表示法的比较。 以y=2x+1为例，同时 观察三幅表示，填写 用同一函数的三种表 给出解析式、列表、 对比要点（精确/直 三种表示法 图像，组织学生对比 示，直观体会"可互相 观/对应值一目了 优缺点。 然)。 转化"。 画图操作 示范"列表一描点一连 独立画出y=2x+1的图动手操作落实描点 线”三步，强调连线用 平滑曲线、按x从小 法，为一次函数图像 像，同桌互查。 到大。 是直线埋下伏笔。 出示小明上学路程一 培养从图像提取信息 读图回答，归纳"平= 读图训练 时间图像，提出三个 的素养，服务后续读 不变，陡=快"口诀。 递进问题。 图解题。 复述结论：同一函数 引导概括三表示法的 课堂小结 三种表示可互转；图 收束本节判断句。 关系与描点法步骤。 像"平"与"陡"的语义。 (四)板书设计 函数的表示 一、三种表示法：解析式（精确）列表（直观取值）图像（趋势直观） 二、描点法三步：列表→描点→连线 三、读图：平=不变，陡=快 (五)作业布置 必做：画y=x的图像（列表、描点、连线）；读图题（教材）。选做：用图像描述"先 快后慢的走路过程。 第3课时12.2正比例函数与一次函数 (一)教学日标 1.理解正比例函数、一次函数的概念，能识别两种函数并指出k、b; 2.理解正比例函数是一次函数的特例，会判断给定的函数是否是一次函数。 (二)教学重难点 重点：一次函数y=kx+b(k0)的概念； 难点：区分一次函数与正比例函数、识别非一次函数（次数、分母中含字母）。 (三)教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 提问：上一节画 y=2x+1时发现点在一 回顾画图经验，产生 以引题驱动全节学 问题引入 条直线上，这是巧合 认知冲突。 习。 吗？什么样的函数图 像是直线？ 6 从"总价=单价×数 列举正比例函数实 量"等情境抽象出 例，判断y=3x、y=0x 建立正比例函数概 正比例函数 y=kx,给出定义并强 等是否为正比例函 念，强调k0条件。 调k≠0。 数。 给出y=kx+b定义，指 判断 通过正反例辨析，突 出b=0时退化为正比 y=2x+1、y=5-3x、y= 一次函数 破"形如y=kxb且 例函数，梳理"包 x2、y=1x是否是一次 k0"的判定。 含"关系。 函数并说明理由。 布置口答与板演：指 即时检测 出一次函数的k、b; 独立完成，同伴互 当堂巩固概念，暴露 由条件确定k的取值 评。 易错点。 范围。 复述判断句：形如 引导概括一次函数定 y=kx+b(k≠0)是一次 课堂小结 以判断句收束。 义要点与包含关系。 函数，正比例函数是 b=0的特例。 (四)板书设计 一次函数 一、正比例函数：y=kx(k≠0) 二、一次函数：y=kx+b(k0),b=0时即正比例函数 三、判断：形如y=kx+b且k≠0；x的次数为1，不在分母 (五)作业布置 必做：教材练习；补充：y=(m-1)x+m2-1,当m满足什么条件时是一次函数？是正比 例函数？选做：自编两个一次函数情境并说明k、b的实际意义。 第4课时12.2一次函数的图像与性质、待定系数法 （一)教学目标 1.掌握一次函数图像的性质：k决定走向与陡峭、b决定与y轴交点位置； 2.能用待定系数法（设、代、解、写）求一次函数解析式； 3.会由k、b的符号判断直线经过的象限。 (二)教学重难点 重点：图像性质与待定系数法； 难点：由图像位置反推k、b符号；待定系数法中解方程组的准确性。 7 (三)教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 出示k、b四宫格图像 分组观察、交流，归 (四个坐标系)，组 用对比图像直观建构 图像观察 纳"k定走向与陡峭、b 织学生观察并总结规 定上下"。 性质。 律。 板书性质表格，结合 完成象限判断口答， 把图像规律语言化， 性质归纳 y=2x-1等实例训练象 总结判断口诀。 形成可迁移结论。 限判断。 以"图像过 用完整例题呈现方法 A(1,3)B(-1,-1)"为 跟随板演，独立完成 待定系数法 同类题并检验。 路径，强调代入检 例，示范设、代、 验。 解、写四步。 布置：正比例函数过 巩固方法，区分正比 点求k;一次函数过 独立完成，投影互 变式训练 例（设y=kx)与一般 (0,2)和(3,5)求解析 评。 式。 情形。 复述：k定走向、b定 引导概括性质与待定 课堂小结 上下；待定系数法四 收束判断句。 系数法步骤。 步。 (四)板书设计 一次函数的图像与性质 一、图像性质：k>0上升，k<0下降；k越大越陡；b定O,b) 二、象限判断：k、b符号→过哪些象限 三、待定系数法：设y=kx+b→代入两点→解方程组→写解析式 (五)作业布置 必做：教材练习；画y=-x+2并判断经过象限。选做：一次函数图像过点(2,5)和 (-1,-1),求解析式并判断增减性。 第5课时12.3一次函数与二元一次方程（组） (一)教学目标 1.理解二元一次方程的解与一次函数图像上的点的一一对应关系； 2.会用图像法解二元一次方程组，理解两直线交点是方程组的解； 8 3.能由k、b关系判断两直线平行、相交、重合与方程组解的情况。 (二)教学重难点 重点：交点坐标即方程组解； 难点：理解"点的坐标同时满足两个方程与解的对应；平行与重合的区分。 (三)教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 把x+y=1变形为 变形并观察：方程的 建立方程与函数的联 方程变形 y=-x+1,组织学生比 每一组解都对应直线 系，体会数形结合。 较方程与函数。 上的一个点。 出示两直线图像 读图找交点(1,2)，验 (y=x+1与 直观建立"交点=方程 图像解方程 证其坐标同时满足两 y=-x+3),提问交点 组的解"。 个方程。 是什么？ 列表对比两直线相 归纳：先比k判断是 交、平行、重合时 把图像位置与方程组 位置关系 否平行，再看b区分 k、b的关系与解的情 的解系统对应。 平行与重合。 况。 对比图像法与代入加 讨论并总结：图像法 直观但读数有误差， 理性认识两种方法， 方法比较 减法解方程组的优 明确各自适用场景。 劣。 代数法精确。 复述：方程的解→ 引导概括本节三个对 点；交点→方程组的 课堂小结 应关系。 收束判断句。 解；平行无解、相交 解、重合无数解。 (四)板书设计 方程与图像 一、二元一次方程→直线（变形为y=kx+b) 二、方程的解一直线上的点；两直线交点分方程组解 三、位置关系：相交一解/平行无解/重合无数解 (五)作业布置 必做：教材练习；用图像法解方程组y=x+1与y=-2x+4。选做：探究y=2x+3与 y=2x-1的图像关系并说明理由。 9 第6课时12.4综合与实践：一次函数模型的应用 (一)教学目标 1.经历"设变量-找关系-建模型一读交点一验结果"的建模过程； 2.能用一次函数图像解决行程相遇、方案选择等实际问题； 3.通过章末小结，整体把握本章知识结构与核心方法。 (二)教学重难点 重点：建立一次函数模型并利用图像求解； 难点：把实际问题转化为函数问题，正确设定变量与关系式。 (三)教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 出示甲、乙相向而行 的行程问题，提问： 理解题意，提出用函 用真实问题驱动建模 情境呈现 怎样知道他们何时、 数图像求解的猜想。 需求。 何地相遇？ 引导学生设时间为x、 分组完成建模四步， 距离为y,写出两个一 完整经历建模流程， 建模探究 汇报交点坐标及其实 次函数，画出两条直 体会"交点即相遇"。 际意义。 线，读出交点。 提问：如果两人同向 而行（追及），图像 画图猜想、验证，交 深化对交点意义的理 变式拓展 会怎样？交点还表示 流结论。 解，培养迁移能力。 相遇吗？ 回扣引题"为什么图像 是直线"，梳理四根支 复述全章知识结构， 章末小结 柱（函数、一次函 以判断句收束全章。 完成小结提纲。 数、图像、方程 组)。 布置分层作业：基础 分层巩固，满足不同 布置作业 题、提升题、拓展 记录并课后完成。 学情。 题。 (四)板书设计 模型应用 一、建模四步：设变量→找关系→画图像→读交点 10 二、交点意义：横坐标=时间，纵坐标=地点 三、全章主线：用一条直线，描述变化、预测未来 (五)作业布置 必做：教材综合与实践题；自选生活中的一次函数情境建模。选做：探究"方案选 择"问题（如两种收费方式何时一样）。 八、教学评价设计 评价维度 主要证据 评价方式 课堂练习正确率；能独立判断 函数概念与表示 函数关系并说明理由 课堂观察、即时练习 描点画图质量；象限判断与读 图像与性质 板演、互评 图口头表达 待定系数法四步过程的完整 解析式求法 作业批改 性、结果检验 能由图像求方程组解，能判断 方程与图像 当堂检测 两直线位置关系 模型应用 综合实践活动的建模四步与汇 活动评价、作品展示 报质量 九、教学资源准备 1.配套课件：第12章《一次函数》备课课件(21页，含12张原创函数图像：气 温折线、三种表示法对照、描点法、读图、正比例图像、y=2x+1、k/b四宫格、b与y 轴交点、方程直线、两直线交点、行程相遇)； 2.导学案：第12章分课时导学案(6课时合一册)； 3.分层练习：第12章分层练习(A基础巩固B能力提升/C拓展探究，附解析)； 4.单元测试卷：第12章单元测试卷(A卷基础达标、B卷能力提升，附评分标 准)； 5.教具：坐标纸（或作图工具）、投影设备。 11 沪科版八年级数学上册第12章《一次函数》单元教学设计 （配套2024新教材 · 问题牵引式教学 · 共6课时） 一、课标要求与素养定位 《义务教育数学课程标准（2022年版）》对"函数"主题的要求是：理解函数的概念，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；能结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会利用一次函数的图像与性质解决简单实际问题；体会数形结合思想，感悟数学模型观念。 本章是学生第一次系统学习"函数"，是函数概念的奠基章，核心素养落点为： 1. 抽象能力：从气温变化、行程等具体情境中抽象出变量与常量、函数概念； 2. 模型观念：用一次函数模型刻画匀速变化、行程相遇等实际问题，体会"用函数描述变化、预测未来"； 3. 数形结合意识：在解析式、列表、图像三种表示法之间自由转换，从图像读取信息、由图像求交点； 4. 几何直观：借助直线图像直观理解一次函数性质与方程组解的关系。 二、教材分析 本章是沪科版八年级上册第12章，前承第11章《平面直角坐标系》（点的坐标、象限），后启第13章起三角形、全等、轴对称等几何内容，并在九年级与反比例函数、二次函数衔接，是"函数"学段主线的起点。 本章知识结构： 12.1 函数（变量与常量 → 函数的概念 → 三种表示法 → 自变量的取值范围 → 描点法画图像 → 从图像读取信息）→ 12.2 一次函数（正比例函数 → 一次函数的概念 → 图像与性质 → 待定系数法求解析式）→ 12.3 一次函数与二元一次方程（组）（方程的解对应直线上的点 → 两直线交点对应方程组的解 → 平行、相交、重合与解的关系）→ 12.4 综合与实践（一次函数模型的应用）。 全章以"用一条直线，描述变化、预测未来"为主线，先建立函数概念，再研究最简单的函数——一次函数，进而用函数观点回看二元一次方程（组），实现代数与图形的第一次打通。 三、学情分析 学生已具备：会用有序数对表示点的位置，能在平面直角坐标系中描点；能列代数式、解一元一次方程和二元一次方程组。这些是本章学习的基础。 主要学习障碍： 1. 函数概念抽象，"一个量确定，另一个量唯一确定"的对应关系不易一次到位，容易把"有联系"误判为"是函数"； 2. 自变量取值范围的确定容易遗漏实际意义限制，或忽略分母不为零等隐性条件； 3. 数形转换不熟练：从解析式想图像、从图像读性质、由图像求方程组解，需要一个从"算"到"看"再回到"算"的过程； 4. 待定系数法求解析式时，解方程组、代回检验环节容易出现符号错误。 教学对策：全程采用问题牵引，先让学生"卡住"，再在活动中建构；图像素材全部原创绘制，统一配色，支持数形结合直观理解。 四、教学目标 （一）知识与技能 1. 理解变量与常量、函数的概念，能识别一个变化过程中两个变量之间的函数关系； 2. 会用解析式法、列表法、图像法表示函数，能确定简单函数的自变量取值范围； 3. 理解一次函数、正比例函数的概念，掌握一次函数图像的性质，会用待定系数法求一次函数解析式； 4. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，能利用图像解方程组，能判断两直线平行、相交、重合与方程组解的情况； 5. 能建立一次函数模型解决行程、方案选择等简单实际问题。 （二）过程与方法 1. 经历"观察情境—抽象概念—表示函数—画图读图—解决问题"的完整过程，体会从特殊到一般、数形结合的研究方法； 2. 在描点画图、读图分析、图像解方程组的活动中，发展几何直观与推理能力； 3. 在综合与实践活动中，经历"设变量—找关系—建模型—验结果"的建模流程。 （三）情感态度与价值观 1. 感受函数刻画现实世界的价值，体会数学与生活的联系； 2. 在合作探究与成果交流中增强学习数学的兴趣与自信。 五、教学重难点 重点：函数概念的理解；一次函数的图像与性质；待定系数法求解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系。 难点：对"唯一对应"关系的深刻理解；k、b 对图像位置的影响及数形转换；建立一次函数模型解决实际问题。 六、课时安排总览 课时 教学内容 核心问题 课时类型 第1课时 12.1 函数的概念（变量与常量） 两个变量之间"唯一对应"的关系怎样描述？ 新授课 第2课时 12.1 函数的表示与图像 同一函数如何用三种方法表示？如何画图、读图？ 新授课 第3课时 12.2 正比例函数与一次函数 什么样的函数图像是直线？y=kx+b 是什么？ 新授课 第4课时 12.2 一次函数的图像与性质、待定系数法 k、b 各决定图像的什么？怎样由条件求解析式？ 新授课 第5课时 12.3 一次函数与二元一次方程（组） 方程的解与直线上的点是一回事吗？交点是什么？ 新授课 第6课时 12.4 综合与实践：一次函数模型的应用 怎样用一次函数解决行程等真实问题？ 活动课＋小结 七、分课时教学设计 第1课时　12.1 函数的概念 （一）教学目标 1. 能识别具体情境中的变量与常量，说出函数定义中的两个关键词； 2. 能判断一个变化过程中两个变量是否构成函数关系，能说明理由； 3. 能写出简单函数的自变量取值范围，体会实际问题中自变量的实际意义。 （二）教学重难点 重点：函数概念中"唯一对应"的理解； 难点：用定义判断函数关系（尤其反例中"不唯一"的情形）。 （三）教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境引入 出示某地24小时气温变化图像，提问：下午4点的温度是多少？什么时候是24℃？ 读图回答，体会"一个时刻对应一个温度，同一温度可能对应多个时刻"。 用真实情境制造"对应关系"直觉，为函数概念铺垫。 概念建构 给出汽车匀速行驶 s=60t，组织学生找出变与不变的量，归纳变量与常量定义。 观察、讨论、归纳，得出变量与常量的定义。 从特例抽象一般概念，落实抽象能力。 深化理解 给出函数定义，强调"每一个确定的值""唯一确定"；用 y²=x 说明"不唯一则不是函数"。 对比气温情境与 y²=x，判断 t→T 是函数、T→t 不是函数，并说明理由。 通过正反例对比突破"唯一对应"难点。 即时练习 出示 y=3x、y=1/(x-2)、圆的周长 C=2πr 等，让学生指出变量、常量并判断函数关系、求取值范围。 独立完成并互查，板演取值范围。 当堂检验概念掌握，暴露并纠正错误。 课堂小结 引导概括：函数是什么？判断函数看什么？求取值范围注意什么？ 用自己的话复述本节三个核心结论。 以判断句收束，形成可迁移的结论。 （四）板书设计 函数 一、变量与常量：s=60t（t、s 变量，60 常量） 二、函数：x 每个确定的值 → y 唯一确定 　正例：t→T；反例：y²=x、T→t 三、取值范围：整式全体实数；分式分母≠0；实际意义 （五）作业布置 必做：教材练习；补充题：判断 y=|x| 中 y 是否是 x 的函数，并说明理由。选做：举出生活中的函数关系的例子。 第2课时　12.1 函数的表示与图像 （一）教学目标 1. 掌握函数的三种表示法，能根据情境选择合适的表示方法； 2. 会用列表、描点、连线的方法画简单函数的图像； 3. 能由图像读取信息，解释图像中"平"与"陡"的含义。 （二）教学重难点 重点：三种表示法及相互转化；描点法三步； 难点：从图像读取信息并作出合理解释。 （三）教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 温故引入 提问：已学的函数有哪些表示方式？引出三种表示法的比较。 回顾并举例，比较各自优点与局限。 唤醒旧知，建立"表示法"的整体框架。 三种表示法 以 y=2x+1 为例，同时给出解析式、列表、图像，组织学生对比优缺点。 观察三幅表示，填写对比要点（精确/直观/对应值一目了然）。 用同一函数的三种表示，直观体会"可互相转化"。 画图操作 示范"列表—描点—连线"三步，强调连线用平滑曲线、按 x 从小到大。 独立画出 y=2x+1 的图像，同桌互查。 动手操作落实描点法，为一次函数图像是直线埋下伏笔。 读图训练 出示小明上学路程—时间图像，提出三个递进问题。 读图回答，归纳"平＝不变，陡＝快"口诀。 培养从图像提取信息的素养，服务后续读图解题。 课堂小结 引导概括三表示法的关系与描点法步骤。 复述结论：同一函数三种表示可互转；图像"平"与"陡"的语义。 收束本节判断句。 （四）板书设计 函数的表示 一、三种表示法：解析式（精确）/列表（直观取值）/图像（趋势直观） 二、描点法三步：列表 → 描点 → 连线 三、读图：平＝不变，陡＝快 （五）作业布置 必做：画 y=x 的图像（列表、描点、连线）；读图题（教材）。选做：用图像描述"先快后慢"的走路过程。 第3课时　12.2 正比例函数与一次函数 （一）教学目标 1. 理解正比例函数、一次函数的概念，能识别两种函数并指出 k、b； 2. 理解正比例函数是一次函数的特例，会判断给定的函数是否是一次函数。 （二）教学重难点 重点：一次函数 y=kx+b（k≠0）的概念； 难点：区分一次函数与正比例函数、识别非一次函数（次数、分母中含字母）。 （三）教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 问题引入 提问：上一节画 y=2x+1 时发现点在一条直线上，这是巧合吗？什么样的函数图像是直线？ 回顾画图经验，产生认知冲突。 以引题驱动全节学习。 正比例函数 从"总价=单价×数量"等情境抽象出 y=kx，给出定义并强调 k≠0。 列举正比例函数实例，判断 y=3x、y=0·x 等是否为正比例函数。 建立正比例函数概念，强调 k≠0 条件。 一次函数 给出 y=kx+b 定义，指出 b=0 时退化为正比例函数，梳理"包含"关系。 判断 y=2x+1、y=5−3x、y=x²、y=1/x 是否是一次函数并说明理由。 通过正反例辨析，突破"形如 y=kx+b 且 k≠0"的判定。 即时检测 布置口答与板演：指出一次函数的 k、b；由条件确定 k 的取值范围。 独立完成，同伴互评。 当堂巩固概念，暴露易错点。 课堂小结 引导概括一次函数定义要点与包含关系。 复述判断句：形如 y=kx+b（k≠0）是一次函数，正比例函数是 b=0 的特例。 以判断句收束。 （四）板书设计 一次函数 一、正比例函数：y=kx（k≠0） 二、一次函数：y=kx+b（k≠0），b=0 时即正比例函数 三、判断：形如 y=kx+b 且 k≠0；x 的次数为 1，不在分母 （五）作业布置 必做：教材练习；补充：y=(m−1)x+m²−1，当 m 满足什么条件时是一次函数？是正比例函数？选做：自编两个一次函数情境并说明 k、b 的实际意义。 第4课时　12.2 一次函数的图像与性质、待定系数法 （一）教学目标 1. 掌握一次函数图像的性质：k 决定走向与陡峭、b 决定与 y 轴交点位置； 2. 能用待定系数法（设、代、解、写）求一次函数解析式； 3. 会由 k、b 的符号判断直线经过的象限。 （二）教学重难点 重点：图像性质与待定系数法； 难点：由图像位置反推 k、b 符号；待定系数法中解方程组的准确性。 （三）教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 图像观察 出示 k、b 四宫格图像（四个坐标系），组织学生观察并总结规律。 分组观察、交流，归纳"k 定走向与陡峭、b 定上下"。 用对比图像直观建构性质。 性质归纳 板书性质表格，结合 y=2x−1 等实例训练象限判断。 完成象限判断口答，总结判断口诀。 把图像规律语言化，形成可迁移结论。 待定系数法 以"图像过 A(1,3)、B(−1,−1)"为例，示范设、代、解、写四步。 跟随板演，独立完成同类题并检验。 用完整例题呈现方法路径，强调代入检验。 变式训练 布置：正比例函数过点求 k；一次函数过 (0,2) 和 (3,5) 求解析式。 独立完成，投影互评。 巩固方法，区分正比例（设 y=kx）与一般情形。 课堂小结 引导概括性质与待定系数法步骤。 复述：k 定走向、b 定上下；待定系数法四步。 收束判断句。 （四）板书设计 一次函数的图像与性质 一、图像性质：k＞0 上升，k＜0 下降；|k| 越大越陡；b 定 (0, b) 二、象限判断：k、b 符号 → 过哪些象限 三、待定系数法：设 y=kx+b → 代入两点 → 解方程组 → 写解析式 （五）作业布置 必做：教材练习；画 y=−x+2 并判断经过象限。选做：一次函数图像过点 (2,5) 和 (−1,−1)，求解析式并判断增减性。 第5课时　12.3 一次函数与二元一次方程（组） （一）教学目标 1. 理解二元一次方程的解与一次函数图像上的点的一一对应关系； 2. 会用图像法解二元一次方程组，理解两直线交点是方程组的解； 3. 能由 k、b 关系判断两直线平行、相交、重合与方程组解的情况。 （二）教学重难点 重点：交点坐标即方程组解； 难点：理解"点的坐标同时满足两个方程"与解的对应；平行与重合的区分。 （三）教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 方程变形 把 x+y=1 变形为 y=−x+1，组织学生比较方程与函数。 变形并观察：方程的每一组解都对应直线上的一个点。 建立方程与函数的联系，体会数形结合。 图像解方程 出示两直线图像（y=x+1 与 y=−x+3），提问交点是什么？ 读图找交点 (1,2)，验证其坐标同时满足两个方程。 直观建立"交点＝方程组的解"。 位置关系 列表对比两直线相交、平行、重合时 k、b 的关系与解的情况。 归纳：先比 k 判断是否平行，再看 b 区分平行与重合。 把图像位置与方程组的解系统对应。 方法比较 对比图像法与代入/加减法解方程组的优劣。 讨论并总结：图像法直观但读数有误差，代数法精确。 理性认识两种方法，明确各自适用场景。 课堂小结 引导概括本节三个对应关系。 复述：方程的解→点；交点→方程组的解；平行无解、相交一解、重合无数解。 收束判断句。 （四）板书设计 方程与图像 一、二元一次方程 → 直线（变形为 y=kx+b） 二、方程的解 ↔ 直线上的点；两直线交点 ↔ 方程组解 三、位置关系：相交一解 / 平行无解 / 重合无数解 （五）作业布置 必做：教材练习；用图像法解方程组 y=x+1 与 y=−2x+4。选做：探究 y=2x+3 与 y=2x−1 的图像关系并说明理由。 第6课时　12.4 综合与实践：一次函数模型的应用 （一）教学目标 1. 经历"设变量—找关系—建模型—读交点—验结果"的建模过程； 2. 能用一次函数图像解决行程相遇、方案选择等实际问题； 3. 通过章末小结，整体把握本章知识结构与核心方法。 （二）教学重难点 重点：建立一次函数模型并利用图像求解； 难点：把实际问题转化为函数问题，正确设定变量与关系式。 （三）教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境呈现 出示甲、乙相向而行的行程问题，提问：怎样知道他们何时、何地相遇？ 理解题意，提出用函数图像求解的猜想。 用真实问题驱动建模需求。 建模探究 引导学生设时间为 x、距离为 y，写出两个一次函数，画出两条直线，读出交点。 分组完成建模四步，汇报交点坐标及其实际意义。 完整经历建模流程，体会"交点即相遇"。 变式拓展 提问：如果两人同向而行（追及），图像会怎样？交点还表示相遇吗？ 画图猜想、验证，交流结论。 深化对交点意义的理解，培养迁移能力。 章末小结 回扣引题"为什么图像是直线"，梳理四根支柱（函数、一次函数、图像、方程组）。 复述全章知识结构，完成小结提纲。 以判断句收束全章。 布置作业 布置分层作业：基础题、提升题、拓展题。 记录并课后完成。 分层巩固，满足不同学情。 （四）板书设计 模型应用 一、建模四步：设变量 → 找关系 → 画图像 → 读交点 二、交点意义：横坐标＝时间，纵坐标＝地点 三、全章主线：用一条直线，描述变化、预测未来 （五）作业布置 必做：教材综合与实践题；自选生活中的一次函数情境建模。选做：探究"方案选择"问题（如两种收费方式何时一样）。 八、教学评价设计 评价维度 主要证据 评价方式 函数概念与表示 课堂练习正确率；能独立判断函数关系并说明理由 课堂观察、即时练习 图像与性质 描点画图质量；象限判断与读图口头表达 板演、互评 解析式求法 待定系数法四步过程的完整性、结果检验 作业批改 方程与图像 能由图像求方程组解，能判断两直线位置关系 当堂检测 模型应用 综合实践活动的建模四步与汇报质量 活动评价、作品展示 九、教学资源准备 1. 配套课件：第12章《一次函数》备课课件（21页，含12张原创函数图像：气温折线、三种表示法对照、描点法、读图、正比例图像、y=2x+1、k/b四宫格、b与y轴交点、方程直线、两直线交点、行程相遇）； 2. 导学案：第12章分课时导学案（6课时合一册）； 3. 分层练习：第12章分层练习（A基础巩固/B能力提升/C拓展探究，附解析）； 4. 单元测试卷：第12章单元测试卷（A卷基础达标、B卷能力提升，附评分标准）； 5. 教具：坐标纸（或作图工具）、投影设备。 1 学科网（北京）股份有限公司 $