专题02 相似三角形的常见模型（题型专练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以模型为核心，通过图例-条件-结论-易错点构建系统方法体系，覆盖6类相似模型，典例与变式结合，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字型相似|1典例+4变式|共角模型识别，正/斜A对应比例区分|从平行到等角的相似判定递进| |8字型相似|1典例+3变式|共点对角模型应用，面积比转化|与A字型形成互补的位置关系| |子母型相似|1典例+3变式|共边共角模型，射影定理应用|直角与普通三角形相似的拓展| |一线三等角|1典例+4变式|等角证相似，一线三垂直模型迁移|外角性质与相似判定的综合| |蝶形与筝形|1典例+3变式|非平行两组相似，比例式关联|8字型模型的复杂变形| |手拉手型|1典例+4变式|共顶点相似旋转，手拉线夹角不变|旋转不变性与相似传递性结合|

专题02 相似三角形的常见模型 （题型突破·举一反三） 题型01 A字型相似 题型02 8字型相似 题型03 子母型相似 题型04 一线三等角型相似 题型05 蝶形与筝形模型 题型06 手拉手模型 ▌题型01 A字型相似 模型图例 交点个数 正A字型 斜A字型 图例 条件 DE//BC ∠ADE＝∠ABC 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 易错点睛：正A和斜A都属于“共角模型”； 但是，两个模型的对应方式不一样，边的对应比例形式不一样。 【典例1】（25-26九年级·上海·期中）如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，点在线段上，且，过点作，交于点，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边上，且．若以C，D，E为顶点的三角形与相似，则的长度为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】（2025年上海一模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为__________． 【变式1-4】（上海市浦东新区2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在中，，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，速度为每秒3个单位长度，过点作交直线于点，连接．设点的运动时间为秒．在运动过程中，当为等腰三角形时，的值是_______． ▌题型02 8字型相似 模型图例 交点个数 正8字型 斜8字型 图例 条件 DE//BC ∠ADE＝∠ACB 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ACB 易错点睛：正8和斜8都属于“共点对角模型”； 但是，两个模型的对应方式不一样，边的对应比例形式不一样。 【典例2】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，、相交于，且，若，，，则__________． 【变式2-1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【变式2-3】（24—25上学期上海航华中学九年级期中）如图，在中，，，过点作，垂足为点． 点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． ▌题型03 子母型相似 模型图例 类型 子母型 射影型 图例 条件 ∠ACD=∠ABC ∠ACD=90︒，CD⊥AB 结论 ∆ADC∽∆ACB ∆ADC∽∆CDB∽∆ACB 易错点睛：子母型相似、射影型相似都属于“共边、共角模型”，共边是共线上两条边的比例中项； 在子母型相似中，边的对应关系容易找错，∆ADC∽∆ACB⟹ 【典例3】（上海市松江区2023-2024学年（一模））已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【变式3-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，，则__________． 【变式3-2】（上海市崇明区2023-2024学年（一模））如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【变式3-3】（2025上海一模）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． ▌题型04 一线三等角模型 模型图例 类型 一线三等角 一线三垂直 图例 条件 ∠CDE=∠A=∠B 结论 ∠EDB=∠ACD,∠ADC=∠BED,∆ADC∽∆BED 易错点睛： 一条直线上有三个角相等，简称“一线三等角”，常常用来证明三角形相似。当三个等角是直角时，又称“一线三垂直”。 在一线三等角模型中证明相似时，往往需要再找一组等角。通常用三角形的外角和、平角定义来证明。 【典例4】2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； 【变式4-2】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【变式4-3】（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【变式4-4】（上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． ▌题型05 蝶形和筝形 模型图例 类型 蝶形 筝形 图例 条件 ∠PDA=∠PBC 结论 易错点睛： 在蝶形图与筝形图中，两组相似三角形共一组比例式子。蝶形图与正8字型图的区别是蝶形图中没有平行，蝶形图中有两组相似，而正8字型图中只有一组相似。 【典例5】（上海市徐汇中学2025-2026学年九年级上学期期中）如图，在中，是边上的高，点在边上，交于点，且是的平分线，交于点，交于点．    求证： (1)； (2)． 【变式5-1】（上海市浦东新区2025-2026学年上学期期末）已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． 【变式5-2】如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证： (2)求证：∆ECF∆ADF 【变式5-3】（上海市浦东新区2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在中，，，BC=15，，垂足为，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作交线段于点，垂足为． 连接，当与相似时，求的值． ▌题型06 手拉手型相似 模型图例 类型 手拉手 图例 条件 ∆ABC∽∆ADE,两个相似共顶点， 结论 手拉线三角相似∆ABD∽∆ACE，手拉线夹角等于共角∠BPC=∠BAC=∠DAE 易错点睛： 共角减叠角，差相等：∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE 一组比例，两组相似：∵∆ABC∽∆ADE∴，又∵∠BAD=∠CAE，∴∆ABD∽∆ACE 一转成双，找找8字型会有新发现：∵∆ABD∽∆ACE∴∠ABD=∠ACE∴∆ABO∽∆PCO∴∠BPC=∠BAC 【典例6】（上海华耀宝山实验学校2025-2026学年上学期九年级期末改编）在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则=______． 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【变式6-2】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考改编）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则BG=__________； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 相似三角形的常见模型 (题型突破举一反三) 目录 题型01A字型相似 题型028字型相似 题型03子母型相似 题型04一线三等角型相似 题型05蝶形与筝形模型 题型06手拉手模型 题型01A字型相似 解题必备 模型图例 交点个数 正A字型 斜A字型 E D 图例 D B B 条件 DE//BC ∠ADE=∠ABC 结论 △ADE∽△ABC △ADE∽△ABC 易错点睛：正A和斜A都属于“共角模型”； 1138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 但是，两个模型的对应方式不一样，边的对应比例形式不一样。 典例精析 【典例1】(25-26九年级上海期中)如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD=2,DB=4,DE=3,则 BC的长为() D B A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】B 【分析】根据DE∥BC证明△ADE一△ABC,再运用相似三角形的性质可得结论. 【详解】解：DE∥BC, .△ADE-△ABC, DE AD 2 1 BC-AB2+43' ∴.BC=3DE=9 E 举一反三 【变式11】(2526九年级上陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点G在线段 AD上，且AG=2DG,过点G作GE∥BC,交AC于点E,若BC=8,则GE的长为() G E P A.2 B.3 C.s D.3 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质. 先由三角形的中线得到CD=4,再证明△AGE△ADC,即可求解. 【详解】解：，AD是BC边上的中线，BC=8 2138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=4, .AG=2DG. …8 :GE∥BC, ∴.△AGE∽△ADC, GE AG DC AD .GE_2 .43 故选：B 【变式12】(25-26九年级上陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5,点D,E分别 在边BC,AC上，且BD=4.若以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为() B 10 A. 3 B.5 c号改9 【答案】C CD CE CD CE 【分析】分两种情况讨论：当CDEACBA时，可得BC=AC,当△CDE∽△CAB时，可得CACB, 再求解即可 【详解】解：如图，AB=4,BC=6,AC=5,BD=4, .CD=BC-BD=2. 当△CDEACBA时， 3138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CDCE 2 CE ·BC=AC,即6=5， .CE=3 E=AC-CE=5-5=10 Γ33 当△CDEn△CAB时，如图， B CD CE 2 CE CACB即5=6， .CE= 5” AE=AC-CE=5-12_13 55 1013 综上： AE的长为：3或5 故选C 【变式13】(2025年上海一模)如图，点G是△ABC的重心，点D是边AC的中点，GE∥AC交BC于点 S图边形CDFE E'DF∥BC交EG于点p,则SC的比值为 B 【答案】3 【详解】解：连接BG,DG,CG,延长DF交AB于点P,连接PG, 4138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E :点G为△ABC重心，点D为AC边中点， GD 1 GB-2 GB 2 BD 3 SGDE :.S.GBE GB 4 ,FEI‖AC ∴.△BGEABDC, S.DBc BD 9 设SGDF=X,则SGBE=4x,S,DBC=9x, S四边形GEcD=SD8c-S.GBE=5x, ∴.S四边形CDFE=S,GDF+S四边形GEcD=x+5x=6x, ,点D为AC边中点， ∴SABc=2S,DBc=l8x, S四边形CDFE= 6x1 .S。ABC 18x3· 故答案为：3 【变式1-4】（上海市浦东新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度， 过点E作EF⊥AB交直线AC于点F,连接CE,设点E的运动时间为t秒.在运动过程中，当△CEF为等腰 三角形时，t的值是一。 5138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 2.12 【答案】3或5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论点F的位 置并分析腰长. 分类讨论点F在线段AC上与当点F在线段AC的延长线上两种情况，当点F在线段AC上时，结合 △ABC与△AFE相似，由此可求解：点F在线段AC的延长线上时，由5t=12,即可求解. 【详解】解：①当点F在线段AC上时， :∠CFE=∠AEF+∠A>90°， ∴.当aCEF为等腰三角形时，只能是FC=FE, EF⊥AB, ∴.∠AEF=90°， 在△ABC中，∠ACB=90°， .∠ACB=∠AEF, 又∠A=∠A, 在△ABC与△AFE中， ∠ACB=∠AEF ∠A=∠A ∴△ABCD△AFE, AC BC 68 AEFE,即3FE, .FE=4t, 1 :当点F恰好运动到点C时，SBc= ×AC×BC= xEF×AC, 2 即6x8=Ef×10可得EF=24 5· 2 6 4t= 5,解得1=5， 6138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0<1< 5, ∴AF=5t,FC=4t, .5t+4t=6, 2 t= ②当点F在线段AC的延长线上时，如图2， 10 当点E运动到点B时，有31=10，解得(=3， 6 10 :.5 t≤ 3 A E B F 图2 ∠FCE=∠FCB+∠ECB>90°， ∴.当△CEF为等腰三角形时，只能是FC=EC, 此时∠F=∠CEF, EF⊥AB, .∠AEF=90°，即∠CEA+∠CEF=90°， 又∠F+∠A=90°. ∠CEA=∠A, ∴CE=AC=6, FC=6, .AF=12,即5t=12, 4=2 59 212 综上所述，，的值为3秒或5秒时，ACEF为等腰三角形， 7138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 212 故答案为：3或5 题型02 8字型相似 解题必备 模型图例 交点个数 正8字型 斜8字型 E D 图例 条件 DE//BC ∠ADE=∠ACB 结论 △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB 易错点晴：正8和斜8都属于“共点对角模型”； 但是，两个模型的对应方式不一样；边的对应比例形式不一样。 E 典例精析 【典例2】(24-25九年级上上海金山期中)如图，AB、CD相交于O,且∠A=∠C,若OA=4,OD=3」 0B=2,则OC= D B A 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质定理.由 8138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠400=∠C0B:4=∠C得a40D%COB即得品-，放OC-S 43 3 【详解】解：∠AOD=∠COB,∠A=∠C, .△AOD∽△COB, OA OD .OC OB' OA=4,OD=3,0B=2, 43 .0C2: 0C=8 故答案为：3 举一反三 【变式21】(25-26九年级下山东淄博期末)如图，AB与CD交于点O,且AC∥BD.若BD=2AC, 则△AOC的面积S4oc与△BOD的面积SOD之间的关系正确的是() B A.S△OD=2S△Aoc B.S△BOD=3S△A0C C.SABOD=4SA40C D.SAROD=5S△AOC 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可. 【详解】解：，AC∥BD, ∴.△AOC∽△BOD ..BD=2AC .= SABOD .S△BoD=4S△A0c。 9138 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式22】(25-26八年级下·山东淄博期末)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播 特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B', 设AB=30cm,AB'=20cm.小孔O到AB的距离为36cm,则小孔O到AB'的距离为 cm B A B ←-36cm k?cm→ 【答案】24 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比 【详解】解：设小孔O到A'B的距离为xcm, AB∥AB, .AA0B△A'OB', 36AB303 x=AB202: .x=24,即小孔O到A'B'的距离为24cm, 【变式23】(24-25上学期上海航华中学九年级期中)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,过点 B作BD⊥AC,垂足为点D. B 点E是BD延长线上一点，连结CE,当∠E=∠A时，求线段CE的长。 【答】Bc-号 【详解】(1)解：过点A作AF⊥BC,垂足为F,如图， 10/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :AB=AC=10,BC=12, :BF-FC-IBC-6, 21 在Rt△ACF中，AF=VAC2-FC2=8, 5w-AC-BD-号8CAN :BD=48 , CD=BC2-BD =36 , 又'∠BAD=∠E,∠ADB=∠EDC=90°， .△ABD∽△ECD, 48 10 ABBD,即EC= 36, EC CD 5 .EC= 2 1题型03 子母型相似 解题必备 模型图例 类型 子母型 射影型 11/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图例 D B 条件 ∠ACD=∠ABC ∠ACD=90·,CD⊥AB △ADC∽△CDB∽△ACB △ADC∽△ACB AC2=AD·AB 结论 AC=AD·AB BC2=BD·AB CD=AD·BD 易错点晴：子母型相似、射影型相似都属于“共边、共角模型”，共边是共线上两条边的比例中项： DC_AC_AD 在子母型相似中，边的对应关系容易找错，△ADC∽△ACB一 BC BC AC E 典例精析 【典例3】（上海市松江区2023-2024学年（一模）)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、 AC上，DE∥BC,∠BDC=∠DEC.求证： B (1)△ADE∽△ACD: CD2 AE (2) BC-AC 【答案】(1) 证明：∠BDC=∠DEC,∠BDC=∠A+∠ACD,∠DEC=∠A+ADE, ∴.∠ADE=∠ACD, ∠A=∠A, .△ADEn△ACD: (2) 证明：，DE∥BC, 12/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EDC=∠BCD, :∠BDC=LDEC, ..ADECACDB, CD DE ·BCCD :.CD2=DE.BC. CD2 DE BC· :DE∥BC, .△ADE-△ABC, DE AE BC AC CD2 AE BCAC 三 举一反目 AD 3 C 【变式3】在t△ABC中，∠C=90,CDLAB,垂足为D,BD2,则BC 6 【答案】 2 【详解】解：'∠C=90°，CD⊥AB, .∠ACB=∠ADC=90°， C D :∠CAD=∠BAC, ∴.△ACD-△ABC, ACAD .ABAC’ ∴AC2=ADAB 同理△BCD一△BAC, 13/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC BD AB BC ∴.BC2=BDAB, AC2 AD BCBD’ AD 3 :BD2' AC23 …8C=2 4C-6 故答案为： 6 2 【变式32】（上海市崇明区2023-2024学年（一模）)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,E是边 BC上一点，AE与对角线BD相交于点F,且BE2=EF·AE. A D B E (1)求证：△DAB∽AAFB; (2)联结AC,与BD相交于点O,若ABOB=BC·AF,求证：AF2=OD.BF. 【答案】(1) 证明：，BE=EF·AE, BE AE EFBE :∠AEB=∠BEF, ∴.△AEB∽△BEF, ∴.∠EBF=∠BAE: :AD∥BC, .∠ADB=∠EBF, ,∠BAE=∠ADB: 14/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠ABF=∠DBA, .△DABP△AFB; (2) 证明：AB.OB=BCAF AB BC AFOB 由(1)知∠EBF=∠BAE, ∴.△ABF∽△BCO .∠AFB=∠BOC, .∠AFO=∠AOF, .AF=OA: ∠BOC=∠AOD, ,∠AFB=∠AOD: 由(1)知∠BAE=∠ADB, ∴△AOD△BFA, OA OD ·BFAF, 即OA·AF=OD·BF .AF =OA, .'.AF2=OD.BF 【变式33】(2025上海一模)定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形叫做“差直角三 角形”，如图，在△ABC中，AC=BC=10,AB=16,点D是边AB上的一动点（且AD>BD),若△BCD 是“差直角三角形”，则CD的长为 B D 15 【答案】2或35 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB于M,过点D作DN‖CM,交BC于N. 15/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MD B :AC=BC=10,AB=16, .M为AB中点，AM=MB=8, ∴.CM=VBC2-MB2=V102-82=6. AD>BD, ∴∠BDC为钝角： 分两种情况： ①∠BDC-∠B=90°，则∠BDC=∠B+90°， :∠BDC-∠A+∠ACD,∠A=∠B ∴.∠ACD=90o ∴ACMDAAMC, CM CD 6 CD ·AMAC810 .CD= 29 ②∠BDC-∠BCD=90°，则∠BCD=∠BDC-90°， :∠CDN=∠BDC-90° ∴.∠CDN=∠BCD ∴.CN=DN ..DN IICM, .△NDBACMB, ND DB BN ND BN CMMB CB,即6=10， 设DN=CN=X 哈-190 15 4 16/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 :.BD= 6 8 ,解得BD=5, .MD=BM-BD=8-5=3. .CD=CM2+MD2 =35 15 综上，CD的长为2或35 题型04一线三等角模型 解题必备 模型图例 类型 一线三等角 一线三垂直 图例 0 0 条件 ∠CDE=∠A=∠B 结论 ∠EDB=∠ACD,∠ADC=∠BED,△ADCP△BED 易错点晴：一条直线上有三个角相等，简称“一线三等角”，常常用来证明三角形相似。当三个等角是直 角时，又称“一线三垂直”。 在一线三等角模型中证明相似时，往往需要再找一组等角。通常用三角形的外角和、平角定义来证明。 E 典例精析 奥例2024江苏苏州中考真题)如图，点4为反比例所数y=-(<0)图象上的一点。连接40：过 4 AO 点O作O4的垂线与反比例y=x>0)的图象交于点B,则80的值为() 17/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B V=4 衣 A. 8.4 C.v3 3 【分析】过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D,构成一个“一线三垂直”的模型，证明 △AOC∽△OBD,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可. 【详解】解：过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D, B V= 4 c o .S。Ac0= :OA⊥OB. ∴.∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD, ∴△AOC∽△OBD, S4四 2 OA 即2 OB 2 OB OA 1 …0B 2 (负值舍去)， 故选：A. 举一反三 【变式41】(2025吉林长春中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的 中点，点E为边AB上一动点，连接DE.将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF. 18/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)线段AB的长为： (2)当EF∥AC时，求AE的长： (3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF; 【详解】(1)解：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4, ∴，AB=VAC2+BC2=4V2； (2)解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的中点， ,∠A=∠B=45°，AD=CD=2, D F :EF∥AC, ∴∠FEB=∠A=45°，而∠DEF=45°， ∴，∠DEB=90°=∠AED, ·AE= AD=2 2 (3)证明：旋转， .DE=EF,∠DEF=45° 如图，，∠DEF+∠BEF=∠DEB=∠A+∠ADE,∠DEF=∠A=45°， .∠BEF=∠ADE, CF B E ∠A=∠B=45°，DE=FE, ,△ADE≌△BEF: 19/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式42】如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=∠ABC. (1)求证：△ABD∽△DCE: (2)如果AB=8，,BC=6,AE=7,求DC的长。 【答案】(1)见解析 (2)DC的长为2或4. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键 (1)由等腰三角形的性质可得∠B=∠C,由“一线三等角”可得∠BAD=∠CDE,可得结论； CD CE (2)根据△ABD∽△DCE,得到AB-BD,进而求出解即可. 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠B=LC, :∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠ABC .∠BAD=∠CDE, ·.△ABD∽△DCE (2)解：AC=AB=8,AE=7, .CE=AC-AE=1, △ABDP△DCE, BD=BC-CD=6-CD.CE=AC-AE=8-7=1 CD CE CD 1 ABBD,即 86-CD 解得CD=2或CD=4, .DC的长为2或4 【变式43】(2025四川资阳一模)【探究发现】 (1)如图1，己知A,D,B,F在同一直线上，若∠CBF=∠BDE=∠CAE,则△ABCEDA,请证明： 20/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【灵活运用】 AC 1 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC2,点D在边AB上，AE⊥CD于点E,连接BE·若 AD ∠BED=45,求BD的值： 3 【答案】(1)见解析：(2)4： 【详解】(1)证明：：∠CBF=∠BCA+∠BAC,∠CAE=∠BAC+∠DAE,∠CBF=∠CAE, ∴，∠BCA=∠DAE, :∠BDE=∠DAE+∠DEA,∠CAE=∠BAC+∠DAE,∠BDE=∠CAE, .∠BAC=∠DEA, .∴ABCAEDA (2)解：过点B作BF⊥CD的延长线于点F, D B 则∠CFB=90°，∠BCF+∠FBC=90°， ∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=∠ACB=90°， .∠ACE=∠FBC, 又.AE⊥CD, .∠AED=∠AEC=90°=∠CFB, △ACEn△CBF, AC AE CE CB CF BF· :∠BED=45°， .∠FBE=180°-∠CFB-∠BED=180°-90°-45°=45°， .EF BF, 21/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=AECE CB CF EF' AC 1 BC-2 AC AE CE 1 CB CF EF 2' 设AE=a,则CF=CE+EF=2a, CE 1 EF2,即CE= EF+EF=2a,解得EF= 39 ..BF=EF 30, ∠AED=∠DFB=90°，∠ADE=∠BDF, ∴△AED∽△BFD, AD AE a 3 BD BE 4 30 【变式44】（上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级期中）(1)如图1，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=4,D是AB边上一点，AD=V2,F是BC边上一点，∠CDF=45°.求BF的长： B D 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9,BF=8,求 线段CF的长， (3)在△ABC中，AB=4W2,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上，点E 在AC上.若CD=x,CE=y,求y关于x的函数解析式及定义域. 【答案1aBr-:②cr=53y=R-8(8) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解 题的关键。 22/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC AD (1)证明ACDPABDF,得BDBF: AC AD (2)延长AC交BF的延长线于点T.证明△ACD∽aBDF,推出BD=BF,求出AD,CT=FC,再利用 勾股定理求解： (3)过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°，由(1)同理得△ABD∽△DFE,可知DF=V2AB=2, 再利用△EFC∽△DEC,可得答案： 【详解】解：(1)∠ABC=90°，AC=BC=4, ∴.∠A=∠B=45°，AB=4V2, .BD=AB-AD=4V2-√2=32， :∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， .∠ACD=∠BDF, ∴△ACDABDF, AC=AD :BD-BF' 42 六328F, BF=3 (2)如图2中，延长AC交BF的延长线于点T C D 图2 ,∠A=∠CDF=∠B=45°. .∠T=90°，TA=TB, :∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, ∠ACD=∠BDF, ∴.△ACD∽△BDF, AC AD ·BDBF 23/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD=DB, 9 AD AD-8' .AD=6√2， ∴.AB=2AD=122, .TA=TB=12, .CT=12-9=3,TF=12-8=4, .CF=CT2+TF2=V32+4=5: (3)如图，过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°， E B 0 ∠B=∠ADE=45°， ∴∠BAD=∠EDF, .△ABD∽△DFE. 、AB=AD DE DE :DE=V2AD,AB=4√2， .DF=2AB=8. ∠EFD=45°，∠ADE=45°， .∠EFC=∠DEC=135°， .△EFC△DEC, FC=EC :.EC CD x-8=y .yx' y=Vx2-8x(x>8). 1题型05 蝶形和筝形 24/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解题必备 模型图例 类型 蝶形 筝形 0 图例 A 条件 ∠PDA=∠PBC △PAD~△PCB 结论 →PA·PB=PC·PD △PAC一△PDB 易错点晴： 在蝶形图与筝形图中，两组相似三角形共一组比例式子。蝶形图与正8字型图的区别是蝶形图 中没有平行，蝶形图中有两组相似，而正8字型图中只有一组相似。 典例精析 【典例5】（上海市徐汇中学2025-2026学年九年级上学期期中）如图，在△ABC中，AE是BC边上的高， 点D在边AC上，AE交BD于点O,且CE·OB=AC·OE,CF是∠ACB的平分线，交AB于点F,交DE于 点G. C D E B 求证： (1)BD⊥AC: (2)CF·DE=CG·AB 证明：(1)，CEOB=AC.OE, 25/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE_AC OE OB' :AE是BC边上的高， ∠AEC=∠BEO=90°， ∴△ACE∽aBOE, ∴.∠CAE=∠BOE, :∠AOD=∠BOE」 ∴，180°-∠A0E-∠CAE=180°-∠B0E-∠0BE, 即LAD0=∠BE0=90°， .BD⊥AC: (2)证明：根据解析(1)可知：∠CAE=∠OBE, 即∠CAE=LCBD, ,∠ACE=∠BCD, .△ACEABCD, CD CB …CE=Ca, ∠DCE=∠BCA, ∴.△CDEACBA, ,CF平分∠ACB, CG DE 即CF=AB, ∴CF,DE=CG·AB 举一反三 【变式51】（上海市浦东新区2025-2026学年上学期期末）已知，如图，在△ABC中，点D、E分别在边 AB和AC上，AD·AB=AE·AC,点F是BE与CD的交点. (1)求证：△FDB∽aFEC (2)如果AB=15,AC=18,AD=6,求EF:DF. 26/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1) 证明：ADAB=AE·AC, ,4D=4C :.AE AB :∠BAE=∠CAD」 △ABE∽△ACD, ∠ABE=∠ACD, 又，∠DFB=∠EFC, ,△FDBAFEC: 13 2g· 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. (1)证明△ABE∽△ACD,得到∠ABE=∠ACD,即可得出结论： (2)由ADAB=AEAC,AB=15,AC=18,AD=6,求出AE=5,得到BD=9,CE=13,由△FDBn△FEC, EF CE 13 得到DF=BD9· 【详解】(1)略 (2)解：：AD·AB=AE·AC,AB=15,AC=18,AD=6 6×15=AE×18, ∴.AE=5, .'BD=AB-AD=9,CE=AC-AE=13. :△FDBAFEC, EF CE 13 DFBD9 DC EC 【变式52】如图，四边形ABCD中，E为AB边上一点，∠ECB=∠DCA:ACBC,DE交AC于点F· E 27/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：△ABC∽△DEC (2)求证：△ECF~AADF 【答案】(1)证明：，∠ECB=∠DCA, .∠ECB+∠ECA=∠DCA+∠ECA,即∠ACB=∠DCE, DC EC 又：ACBC ∴.△ABC∽△DEC: (2)△ABC∽△DEC ,.∠CDF=∠EAF ,∠DFC=∠AFE ∴.△AFD∽△AFE DF CF …AFFE :∠AFD=∠EFC ∴.△ADF∽△ECF 【变式53】（上海市浦东新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=20,BC=15,CD⊥AB,垂足为D,点E是边AD上一动点（点E不与点A、点D重 合)，连接CE,过点D作DF⊥CE交线段AC于点F,垂足为G B B D D E 连接EF,当△EFG与△DGC相似时，求CF的值. 5V73-45 【答案】12或 P 【分析】根据题意可得只存在△EFG∽△aDCG和△EFG∽△aCDG两种情况，如果△EFGn△aDCG 則四边形EFCD为蝶形相似，如果△EFG∽△aCDG则四边形EFCD为正8字型相似。 【详解】解：∠ACB=90°，AC=20,BC=15 ∴.AB=25 28/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,CD⊥AB .CD=9,AD=16 ,DF⊥CE .∠EDG+∠GDC=∠GDC+∠DCG=90· .∠EDG=∠DCG DF⊥CE, ∴.∠DGC=∠FGE=90° ∴.当△EFG与aDGC相似时，只存在△EFG∽△aDCG和△EFG∽△aCDG两种情况； (1)当△EFG∽△aDCG时，则∠DCG=∠EFG, :∠EDG=∠DCG, .∠EDG=∠EFG, ∴DE=EF, 又，DF⊥CE ∴CE垂直平分DF, ..CF=CD=12; (2当△EFG∽△aCDG时， ∴∠GEF=∠GCD, .EF∥CD. AFAE EF ∴AC-AD DC 设Cf=a 20-a_EF_AE .20 1216 4 EF220-a,AF-16 4 D-AD-AB亏0 :∠AEF=∠ADC=90°，∠EDG=∠DCG, ∴.AEDF∽△DCE EF_ED ·EDDC 29/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 昌20-。 4 12 5V73-45 解得 845或15v万-45 8 (舍去)， B 0 E 5V73-45 综上所述，CF的长为12或 8 1题型06 手拉手型相似 解题必备 模型图例 类型 手拉手 A A 图例 D D B 条件 △ABC∽△ADE,两个相似共顶点， 结论 手拉线三角相似△ABD∽△ACE,手拉线夹角等于共角∠BPC=∠BAC∠DAE 易错点晴： 30/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 共角减叠角，差相等：，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴.∠BAD=∠CAE ABAC 组比例，两组相似：：△ABC∽△ADE.AD=AE,又：∠BAD=∠CA起，△ABD∽△ACE 一转成双，找找8字型会有新发现：△ABD∽△ACE.∴∠ABD=∠ACE∴.△AB0∽△PCO'∠BPC=∠BAC 三典例精析 【典例6】（上海华耀宝山实验学校2025-2026学年上学期九年级期末改编）在Rt△ABC中，∠C=90°， 将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点A,点C落在AB延长线上的点C',延长C'C交线段AA于点 SAABA D.若△DC的面积是△4BC的3倍，则SAc 【答案】25 D 【详解】解：如图， A 由旋转可知，∠ABC=∠A'BC',AB=A'B,BC=BC' .∠ABC+ANBC=∠ABC'+∠ANBC ∴，∠ABA'=∠CBC 照品 ∴.△ABA'∽△CBC .∠BC'C=∠BAA=∠BAA ∴△A'CD为等腰三角形， :△A'DC'的面积是△A'BC的3倍， ∴△AAC'的面积是△ABC'的6倍， .'.AC'=6BC 31/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AB=5B'C S8A-25 SACBC' 举一反目 【变式6-1】(24-25九年级上辽宁辽阳期末)如图，点E为△ABC外一点，BE与AC交于点F,点D在 AB BC AC 线段BE上，连接AD:AE:CE?若AD-DE-AE,则图中的相似三角形共有(） D B A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 【答案】B 【分析】由手拉手图形得到△BADACAE,则∠ABF=∠ACE,又∠AFB=∠CFE,得到△BAF∽△CEF ∠AEF=∠ACB,∠AFE=∠BFC,得到△AEF∽aBCF,即可求解. AB BC AC 【详解】解：“ADDE AE' .△ABC-△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE,∠AEF=∠ACB, :∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠CAE. ∴.∠BAD=∠CAE, ABAC :AD AE' ∴，△BAD∽△CAE, .∠ABF=∠ACE, ,∠AFB=∠CFE, .△BAF∽△CEF, ∠AEF=∠ACB,∠AFE=∠BFC, ∴△AEF∽aBCF, ∴.图中的相似三角形共有4对， 32/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选：B 【变式62)(24-25九年级上河南信阳期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,将矩形 ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形ABCD,此时B'C'恰好经过点D,连接BB,则BB的长为 () D A C 35 12√2 6V10 A. B.3 c. 5 0. 【答案】D 【分析】由手拉手图形证明出△ABB'∽△ADD',运用勾股定理得到在B'D=VAD2-AB2=8,则 DC'=B'C'-B'D=2,在Rt△D'C'D中，DD'=√D'C2+DC2=210,再代入求值即可. 【详解】解：连接DD', D C D B B ,四边形ABCD是矩形，且旋转至矩形ABCD, AB=AB'=D'C'=6,LC=∠C'=∠ABC=∠AB'C'=∠BAD=∠BAD'=90°，AD=AD=BC=10, ABAB' ·∠BAB=∠DAD,ADAD △ABB'P△ADD', AB BB' AD DD' 在Rt△AB'D中，B'D=√AD2-AB2=8, DC'=B'C'-B'D=2, 33/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴在Rt△D'C'D中，DD'=VD'C2+DC2=210, 6 BB' 102W10' ÷BB=6V0 J 故选：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到 △ABB'∽△ADD'是解题的关键， 【变式6-3】(24-25九年级上四川巴中·期末)如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, 点E在线段OD上，连接CE,作EF⊥CE交AB于点F,连接CF交BD于点H,则下列结论正确的个数 是() ①∠EFC=45°②AF=V2DE③CF2=CG·CA④△BCE∽△DHC H B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质.证 △ADE≌△CDE,可得AE=EC,再证AE=EF即可判断LECH=∠EFC=45°：证明△AFC△DEC, 即可判断②：证明△BCE∽△DHC,△CFGACAF,即可判断③和④，即可求解. 【详解】解：如图，连接AE, G 四边形 是正方形， H B ABCD .AD=CD,∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，LBAC=∠BCD=∠ABC=90°， 又DE=DE, 34/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AADE≌ACDE(SAS). ∴AE=EC,∠DAE=∠DCE, ∴.∠EAF=∠BCE, :∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°，∠FEC=∠ABC=90°， ∴.∠BCE+∠EFB=18O°， 又：∠AFE+∠BFE=180°， :∠AFE=∠BCE=∠EAF, .AE=EF, ∴EF=EC, ÷∠ECH=LEFC=45°：故①正确，符合题意： :∠ECF=∠ACD=45°， ,∠ACF=∠DCE, 又：∠FAC=∠CDE=45° ∴.△AFC∽△DEC, -4C-、5,甲A=2DE故@正确，符合圈意✉ .DE CD ,∠DHC=∠HBC+∠FCB=45°+∠FCB,∠DCE+∠FCB=90°-∠ECF=45° ∴∠BCE=90°-∠DCE=90°-(45°-∠FCB)=45°+∠FCB ∴∠BCE=∠DHC 又：∠CBE=∠HDC=45° ∴.△BCE∽△DHC,故④正确 .∠CFG=∠CAF=45°，∠FCG=∠ACF ∴.ACFGACAF CF CA ∴CGCF,即cF2=CG-CA, 故③正确，符合题意， 综上所述，①②③④正确， 故选：D 【变式64】(2025黑龙江齐齐哈尔中考改编)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何 模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”· 35/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G E 图1 图2 图3 备用图 (1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在△ABC内部取一点D,连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AD,连接BD,CD',则CD'与BD的数量关系是 ∠AD'C与∠ADB的数量关系是 (2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90° 得到线段CE',连接E'B,延长E'B交DE的延长线于点F,求证：四边形CEFE'是正方形： (3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取一点E，使∠CED=90°，将线段 CG 4 CE绕点C逆时针旋转90得到线段CE,延长CE至点G,使CE-3,连接GB,延长GB交DE的延长 线于点F,连接AF,若AF=2,则BG= 【详解】(1)CD'=BD,∠AD'C=∠ADB 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD, ∴.∠DAD'=90°，AD=AD :∠BAC=90° ∴∠BAC-∠DAC=∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠DAC 又，AB=AC, .△DAB≌△D'AC(SAS) .CD'=BD,∠AD'C=∠ADB 故答案为：相等（或CD'=BD);相等（或∠AD'C=∠ADB). (2)证明：，四边形ABCD是正方形 .∠DCB=90°，BC=DC :CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', .∠ECE'=90,CE=CE ∠DCB=∠ECE'=90° .∠DCB-∠BCE=LECE'-∠BCE即∠DCE=LBCE .△BCE'≌△DCE(SAS) 36/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BE'C=∠DEC=90° :∠CED+∠CEF=180° .∠CEF=90° ∴.∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90° ∴四边形CEFE是矩形 又，CE=CE .四边形CEFE是正方形： (3)解：，CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', .:∠ECE'=90°，CE=CE CG 4 ·CE3' CG 4 CE3 ,四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, .CD=AB=3. BC 4 …cD3 CGBC4 …CECD3 ∠DCB=∠ECE'=90°， .∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE即∠DCE=∠BCE' ∴.△BCG∽△DCE .∠BGC=∠DEC=90° ,∠CED+∠CEF=180° ∴.∠CEF=90° ∴.∠BGC=∠ECG=∠CEF=90° ∴四边形CEFG是矩形， AB_FC_3 BC-CG4 ∴.△ABC∽△FGC 瓷 ，∠ACB=∠FCG ∴.∠ACF=∠BCG 37/38 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△AFC∽△BGC ACAF :BCBG .AC=AC2+BC2=5 8 :B6-5 E D 丁一 B G E 38/38可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题0 21 相似三角形的常见模型 参考答案 【典例1】B 【变式1-1)B 【变式1-2】c 1 【变式13】3 度式成号 .12 【典例2】3 【变式2-1】C 【变式2-2】24 【变式2-3】 【答案】EC= 2 【详解】(1)解：过点A作AF⊥BC,垂足为F,如图， B F ,AB=AC=10,BC=12, 片BF=FC=)BC=6, 2 在Rt△ACF中，AF=VAC2-FC2=8, +.5owx-jAC-BD-BC.AF 1115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=48 , 六CD=VBC2-BD-36 又：∠BAD=∠E,∠ADB=∠EDC=90°， .△ABD∽△ECD. 48 10 = 5 ·ABBD, 即EC36, EC CD 5 5 ..EC= 2· 【典例3】 【答案】(1) 证明：：∠BDC=∠DEC,∠BDC=∠A+∠ACD,∠DEC=∠A+ADE, ∴∠ADE=∠ACD, ,∠A=∠A, .△ADE∽△ACD: (2) 证明：，DE∥BC, ∴∠EDC=∠BCD. ∠BDC=∠DEC, ∴.△DEC∽aCDB, CD DE ·BCCD .CD2 DE.BC. CD2 DE …BCBC ,DE∥BC, △ADE-△ABC, DE AE BC AC CD2 AE BC2 AC 2115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 【变式31】2 【变式3-2】 【答案】(1) 证明：，BE2=EF·AE, BE AE EFBE ,∠AEB=∠BEF, ∴△AEB∽△BEF, ∴.∠EBF=∠BAE: :AD∥BC, .∠ADB=∠EBF, ,∠BAE=∠ADB: ,∠ABF=∠DBA, ∴.△DAB∽△AFB: (2) 证明：AB·OB=BC·AF AB BC ·AFOB 由(1)知∠EBF=∠BAE, ∴.△ABFABCO, .∠AFB=∠BOC, ,∠AFO=∠AOF, ∴AF=OA: :∠BOC=∠AOD .∠AFB=∠AOD: 由(1)知∠BAE=∠ADB, .△AODr△BFA. OA OD ·BFAF' 即OA·AF=OD·BF 3115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF =OA, ..AF2=OD.BF. 15 【变式33】2或35 【典例4】A 【变式41】 【详解】(1)解：：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4, ∴AB=VAC2+BC2=4W2: (2)解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的中点， ∴∠A=∠B=45°，AD=CD=2, C D F B :EF∥AC, 、∠FEB=∠A=45°，而∠DEF=45°， ∠DEB=90°=∠AED, AE② D=2: 2 (3)证明：旋转， DE=EF,∠DEF=45o」 如图，，∠DEF+∠BEF=∠DEB=∠A+∠ADE,∠DEF=∠A=45°， ,∠BEF=∠ADE, D ,∠A=∠B=45°，DE=FE, 4/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴，△ADE≌△BEF; 【变式42】 【答案】(1)见解析 (2)DC的长为2或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键， (1)由等腰三角形的性质可得∠B=∠C,由“一线三等角”可得∠BAD=∠CDE,可得结论； CD CE (2)根据△ABD∽△DCE得到ABBD,进而求出解即可. 【详解】(1)证明：~AB=AC, .∠B=∠C, :∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠ABC ∴.∠BAD=∠CDE, .△ABD∽△DCE (2)解：AC=AB=8,AE=7 .CE=AC-AE=1, :△ABDADCE, BD=BC-CD=6-CD,CE=AC-AE=8-7=1 CD CE CD 1 ABBD,即86-CD: 解得CD=2或CD=4, .DC的长为2或4 【变式43】 【答案】(1)见解析：(2)4： 【详解】(1)证明：~∠CBF=∠BCA+∠BAC,∠CAE=∠BAC+∠DAE,∠CBF=∠CAE. .∠BCA=∠DAE, ∠BDE=∠DAE+∠DEA,∠CAE=∠BAC+∠DAE,∠BDE=∠CAE, .∠BAC=∠DEA, .AABC△EDA. (2)解：过点B作BF⊥CD的延长线于点F, 5115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C E D列 B 则∠CFB=90°，∠BCF+∠FBC=90°， ∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCF=∠ACB=90°， .∠ACE=LFBC, 又AE⊥CD, .∠AED=∠AEC=90°=∠CFB. △ACE∽aCBF, AC AE CE CB CF BF· ∠BED=45°， ∴.∠FBE=180°-∠CFB-∠BED=180°-90°-45°=45°， .EF =BF, AC AE CE CB CF EF :4C1 BC=2 AC AE CE 1 CB CF EF 2' 设AE=a,则CF=CE+EF=2a, CE 1 EF2,即CE=EF 2 EF+EF=2a,解得乐4 39, F=F子. :∠AED=∠DFB=9O°，∠ADE=∠BDF, ∴.△AED∽△BFD 6115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD AE a 3 BD BE 4 4 【变式44】 3 【答案】(1) BF=2:(2CF=5:(3)y=VR-8x(>8) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解 题的关键 AC AD (1)证明ACDABDF,得BD=BF: AC AD (2)延长AC交BF的延长线于点T,证明。ACDBDF,推出BDBF,求出AD,CT=FC,再利用 勾股定理求解： (3)过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°，由(1)同理得△ABD∽△DFE,可知DF=V2AB=2, 再利用△EFC∽△DEC,可得答案： 【详解】解：(1)：∠ABC=90°，AC=BC=4, .∠A=∠B=45°，AB=4V2, .BD=AB-AD=4V2-√2=32， :∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， .∠ACD=∠BDF, ∴.△ACD∽aBDF, :BD BF' 4√2 32BF, :BF=3 : (2)如图2中，延长AC交BF的延长线于点T T C 、、 F A D 图2 7115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠A=∠CDF=∠B=45°. .∠T=90°，TA=TB, :∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, .∠ACD=∠BDF, △ACDABDF, AC=AD ·BD=BF, AD=DB, 9 AD 心AD8, .AD=62, .AB=2AD=12V2, .TA=TB=12, CT=12-9=3,TF=12-8=4, .CF=VCT2+TF2=V32+4=5: (3)如图，过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°， E D :∠B=∠ADE=45°， ∴∠BAD=∠EDF, .△ABD∽△DFE, ABAD DF-DE' DE=2AD.AB=42, .DF=2AB=8. :∠EFD=45°，∠ADE=45°， ∴.∠EFC=∠DEC=135°. ∴.△EFC∽△DEC, FC_EC EC=CD' 8115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,x-8=y .y x' y=Vx2-8x(x>8) 【典例5】 证明：(1)CE.OB=AC·OE, CE_AC OE OB' :AE是BC边上的高， .∠AEC=∠BEO=90°， △ACE∽aBOE, ∴.∠CAE=∠BOE. ∠AOD=∠BOE, ∴，180°-∠AOE-∠CAE=180°-∠B0E-∠0BE, 即∠ADO=∠BEO=90°， BD⊥AC: (2)证明：根据解析(1)可知：∠CAE=∠OBE, 即∠CAE=∠CBD, ∠ACE=∠BCD, ∴.△ACE∽△BCD, CD CB ·CECA' ∠DCE=∠BCA, △CDEACBA, :CF平分∠ACB, CG DE 即CF=AB' .CF·DE=CG·AB 【变式51】 【答案】(1) 证明：AD·AB=AE·AC, 9115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D=4C :.AE B ,∠BAE=∠CAD ∴△ABE∽△ACD, ∴，∠ABE=∠ACD 又，∠DFB=∠EFC, ,△FDBAFEC: .13 219· 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， (1)证明△ABE∽△ACD,得到∠ABE=∠ACD,即可得出结论： (2)由AD·AB=AE·AC,AB=15,AC=18,AD=6,求出AE=5,得到BD=9,CE=13,由△FDB△FEC, EF CE 13 得到DFBD9 【详解】(1)略 (2)解：AD·AB=AE·AC,AB=15,AC=18,AD=6, ,6×15=AE×18, .AF=5, .'BD=AB-AD=9,CE=AC-AE=13, ,△FDB∽aFEC, EF CE 13 DF=BD9· 【变式52】 【答案】(1)证明：：∠ECB=∠DCA, ∴∠ECB+LECA=∠DCA+∠ECA,即LACB=∠DCE, DC EC 又：ACBC· ∴△ABC∽△DEC; (2),△ABC∽△DEC .∠CDF=∠EAF ,∠DFC=∠AFE 10/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△AFD∽△AFE DF CF AF FE ,∠AFD=∠EFC ∴.△ADF∽△ECF 【变式53】 5√73-45 【答案】12或 P 【分析】根据题意可得只存在△EFG∽△aDCG和△EFG∽△aCDG两种情况，如果△EFG∽△aDCG 則四边形EFCD为蝶形相似，如果△EFG∽△△CDG则四边形EFCD为正8字型相似。 【详解】解：，∠ACB=90°，AC=20,BC=15 AB=25 ,CD⊥AB .CD=9,AD=16 ,DF⊥CE ∴.∠EDG+∠GDC=∠GDC+∠DCG=90· ∴.∠EDG=∠DCG DF⊥CE, .∠DGC=∠FGE=90°， ∴.当△EFG与△DGC相似时，只存在△EFG∽△aDCG和△EFG∽△aCDG两种情况： (1)当△EFG∽△△DCG时，则∠DCG=∠EFG, ,∠EDG=∠DCG, ∴.∠EDG=∠EFG. ∴.DE=EF, 又DF⊥CE, ∴.CE垂直平分DF, .CF=CD=12: (2)当△EFGn△△CDG时， .∠GEF=∠GCD, ,EF∥CD 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF-AE-EF AC AD DC 设CF=a 20-a=EF=AE 201216 520-aAc16 4 .ED-AD-AE-5 a ,∠AEF=∠ADC=90°，∠EDG=∠DCG, ∴.AEDF∽△DCE EF ED ·EDDC 20-a5 4 12 5a 解得5万-45或15万-45 8 (舍去)， 8 B D ⊙ LG A 综上所述，Cr的长为12或l5v万-45 8 【典例6】25 12/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【详解】解：如图， 由旋转可知，∠ABC=∠A'BC',AB=A'B,BC=BC ,∠ABC+A'BC=∠ABC'+∠ABC ∴∠ABA'=∠CBC AB BC A'B BC' .△ABA'∽△CBC .∠BC'C=∠BAA=∠BAA' :△ACD为等腰三角形， ~△ADC的面积是△A'BC的3倍， ∴，△A'AC的面积是△ABC的6倍， ..AC'=6BC ∴.AB=5B'C SAABA=25 SACBC' 【变式61】B 【变式62】D 【变式6-3】D 【变式64】【详解】(1)CD'=BD:∠ADC=∠ADB ,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD, .∠DAD'=90°，AD=AD .∠BAC=90° 13/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAC-∠DAC=∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠D'AC 又，AB=AC」 ∴.△DAB≌△D'AC(SAS) .CD'=BD:∠AD'C=∠ADB 故答案为：相等（或CD'=BD);相等（或∠AD'C=∠ADB). (2)证明：，四边形ABCD是正方形 .∠DCB=90°，BC=DC :CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', ∴.∠ECE'=90°，CE=CE .∠DCB=∠ECE'=90°， ∴.∠DCB-LBCE=LECE'-LBCE即∠DCE=∠BCE ·.△BCE'≌△DCE(SAS) ∴∠BE'C=∠DEC=90° .∠CED+∠CEF=180 ∴.∠CEF=90° ∴.∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90° ∴.四边形CEFE是矩形 又.CE=CE ∴四边形CEFE是正方形： (3)解：：CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE, :.∠ECE'=90°，CE=CE CG 4 CE-3 CG 4 CE-3 ,四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, .'CD=AB=3. BC4 CD3 CG BC4 ∴CECD3 14/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DCB=∠ECE'=90°， ∴.∠DCB-LBCE=∠ECE'-∠BCE即LDCE=∠BCE' ∴.△BCG∽△DCE ∴.∠BGC=∠DEC=90° :∠CED+∠CEF=180° ∴.∠CEF=90° ∴.∠BGC=∠ECG=∠CEF=90° ∴四边形CEFG是矩形， AB_FC_3 BC-CG 4 ∴.△ABC∽△FGC AC BC ∴FC-CG,∠AcB=∠OG .∠ACF=∠BCG .△AFC∽△BGC AC_AF ·BCBG .AC=AC2+BC2=5 8 :.B65 D G E 15/15