5.2 指数函数图像、性质及应用（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

该教案聚焦指数函数图像特征、性质及应用，通过回顾上一课已作图像，从作图转向性质归纳，前接指数函数概念与作图基础，后续为对数函数学习铺垫，构建连贯知识支架。 以图像观察和对比归纳为特色，结合即时练习与课堂背诵，落实直观想象与逻辑推理素养。如比较大小先统一底数判断单调性，求定义域强调“列条件—解不等式—写区间”步骤，助学生形成规范思维，为教师提供清晰教学流程与纠错策略，提升课堂效率。

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第五章 指数函数与对数函数 5.2 指数函数图像、性质及应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材承接实数指数幂和上一课已经建立的指数函数定义、典型图像与定点经验，本课转入由图像归纳性质，依次形成定义域、值域、图像位置、渐近趋势、定点、单调性以及函数值大小规律，再用单调性和定义域条件解决教材例题与练习。 本课是5.2指数函数性质与应用课，前接指数函数的概念和基本作图，后续学习对数时需要继续使用指数函数的定义域、图像和单调性。课堂重点从“重新作图”转向“读图归纳性质并规范应用”。 学情分析 学生已经掌握指数函数的定义、底数条件和两类典型图像，但容易把底数范围与单调性对应错误，也容易在比较大小时忽略自变量方向或在求定义域时漏写指数式有意义条件。教学中通过图像对照、同底比较和条件列式逐步纠正这些问题。 教学目标 1．理解指数函数图像的共同特征，掌握定义域、值域、定点、图像位置、渐近趋势和单调性。 2．能根据底数范围判断增减性，利用同一指数函数的单调性比较幂的大小，并求含指数式函数的定义域。 3．通过图像观察、条件辨析和规范解题，发展直观想象、逻辑推理和数据分析素养，形成先判断底数与定义域条件再应用性质的习惯。 教学重难点 教学重点：指数函数图像和性质表，以及利用单调性比较大小、求定义域。 教学难点：准确对应与两种情形，并在复合指数式中列出正确的有意义条件。 教学方法 图像观察法、对比归纳法、条件辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾上一课已经作出的两条指数函数图像。今天不再重复列表和描点，而是观察它们共同具有什么特征：图像在哪个区域，是否经过同一个点，向哪条轴靠近？ 学生根据已有图像回答，教师把观察结果整理为本课的性质问题。 调用已学图像经验，把课堂注意力从作图转向性质归纳，形成继续研究的明确问题。 新知讲授 一、指数函数图像的共同特征 对指数函数，其中。由上一课图像可归纳：定义域为ℝ，值域为(0,+∞)，图像在x轴上方，向下无限接近x轴，并经过点。 二、底数与单调性 当>1时，在ℝ上是增函数；当0<<1时，在ℝ上是减函数。相应地，x<0、x=0、x>0时，函数值与1的大小规律分别按两种底数情形判断。 即时练习：判断 的增减性，并说明依据。 【答案】在ℝ上是减函数。 【解析】底数0.3满足，因此指数函数在ℝ上是减函数。 三、性质的应用 比较幂的大小时，先把数值看成同一指数函数的函数值，再依据底数范围比较自变量；求定义域时，先写出指数式有意义的条件，再解不等式并用区间表示。 教材例1 比较下列各组中两个数值的大小： （1）与；（2）与；（3）与。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】（1）底数，递增，，3.1>3，所以；（2）底数，递减，4>−4，所以；（3）先以0.3为底比较，再以2.1为底比较，故。 教材例2 求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3） 。 【答案】（1）定义域为ℝ；（2）定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)；（3）定义域为,+∞)。 【解析】（1）0.5−，对任意实数均成立，因此定义域为ℝ；（2）指数式有意义要求，因此定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)；（3）指数式有意义要求根号内x−，解得，因此定义域为,+∞)。 先从已有图像归纳性质，再把性质转化为比较大小和定义域的操作步骤，帮助学生在条件和方法之间建立稳定联系。 课堂背诵 1．指数函数的定义域和值域分别是什么？图像经过哪个定点？ 【答案】定义域为ℝ，值域为(0,+∞)，图像经过点。 【解析】这些结论来自指数函数的定义和图像共同特征。 2．底数和时，函数的单调性分别是什么？ 【答案】时递增；时递减。 【解析】先看底数所在范围，再确定函数值随自变量变化的方向。 通过定义域和值域、底数单调性和定义域求法的完整复述，检查学生能否准确提取本课的关键结论和操作起点。 师生互动 任务1：比较的大小，并说明依据。 【答案】。 【解析】底数，函数递增；因为3.，所以对应函数值大小规律相同。 任务2：判断函数的定义域：，并说出列式依据。 【答案】定义域为(。 【解析】指数式有意义要求，解得。 教师归纳：比较大小要先统一到底数和函数，求定义域要把指数式有意义条件写在解题第一步。 用一题比较大小和一题定义域判断组织说理、互检与纠错，诊断学生是否真正使用了底数和有意义条件。 课堂练习 1．判断函数 在ℝ上的单调性。 【答案】增函数。 【解析】底数。 2．判断函数 在ℝ上的单调性。 【答案】减函数。 【解析】。 3．比较与的大小。 【答案】。 【解析】底数且。 4．比较与的大小。 【答案】。 【解析】底数，指数4>−7时函数值更小，因此。 5．求函数的定义域。 【答案】,+∞)。 【解析】，解得。 6．知识检测：判断成为指数函数时应满足的条件。 【答案】且。 【解析】底数2−且2−，故且。 安排单调性、比较大小、定义域和参数条件的递进练习，并用最后一题检查学生能否完整写出指数函数底数条件。 课堂小结 1．指数函数（）的定义域为ℝ、值域为(0,+∞)，图像在x轴上方并经过点。 2．底数决定单调性：时递增，时递减；判断函数值与1的关系也要先看底数范围。 3．比较幂的大小时先统一为同一指数函数，再比较自变量；底数小于1时不等号方向随单调性改变。 4．求定义域时先列指数式有意义条件，再解不等式并写成区间；参数判断必须同时检查底数大于0且不等于1。 按图像特征、单调性、比较方法和定义域条件分点收束全课，帮助学生形成可迁移的性质应用结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课后续优化应继续关注学生能否把图像观察转化为规范性质表述，尤其要通过更多短题纠正底数小于1时单调性和不等号方向的混淆。求定义域时，部分学生容易直接写结果而省略有意义条件，后续可在板书和互检中固定“列条件—解不等式—写区间”的表达顺序，并根据课堂练习的错误类型调整比较大小与参数判断的题目梯度。 学科网（北京）股份有限公司 $