专题8：五子棋（数学好玩）（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题8：五子棋（数学好玩） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：五子棋的坐标定位与位置表示 3 考点二：连子判断与线路计数 4 考点三：攻防策略的数学推理 5 考点四：全局规划与最优策略 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：数对行列顺序颠倒 9 易错点 2：连子包含空位 9 易错点 3：活三堵法认知错误 9 易错点 4：忽略边界限制 9 易错点 5：一步可防多个威胁 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册“数学好玩”板块《五子棋》综合实践内容，以“坐标定位→连线判断→攻防推理→全局优化”为主线，系统覆盖五子棋坐标定位与位置表示、连子线路判断与计数、攻防策略的数学推理、全局规划与最优策略四大核心模块，渗透空间观念、推理思想、优化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循实践探究路径：从五子棋棋盘的坐标表示入手，掌握用数对表示棋子位置的方法，能快速定位棋子、判断同线棋子；探索连子的判断方法，掌握横线、竖线、斜线四个方向的连线计数；结合攻防场景，运用数学推理判断堵点、计算堵法；延伸最优开局、必胜形态、最少步数等奥数思维题型，体会数学在棋类游戏中的应用价值，提升逻辑思维与全局思考能力。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 坐标定位与位置表示 数对表示规则；平移后的位置；同线数对规律 坐标对应法、规律法 数对行列顺序颠倒；斜线规律混淆 连子线路判断与计数 连子定义；活三 / 冲四判断；多方向计数 分类计数法、排序法 中间空位算连续；方向遗漏重复计数 攻防策略数学推理 活三堵法；双活三原理；冲四防守 逻辑推理法、枚举法 堵点找错；认为一步能防多个威胁 全局规划与最优策略 开局占位价值；最少步数获胜；多重威胁策略 最优法、威胁法 忽略边界限制；忽略对方防守 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 坐标对应法 棋子位置表示 ①数列数；②数行数；③写数对 先列后行，右加上加 分类计数法 连子数量统计 ①分四个方向；②逐线查连续；③汇总计数 横、竖、斜，分方向，不重复，不遗漏 堵点枚举法 防守策略计算 ①找连子两端；②列空位坐标；③数堵法 活三两端堵，冲四一端防 多重威胁法 最优进攻策略 ①找交叉点；②造多威胁；③定胜势 一步造两威胁，对方防不胜防 边界分析法 位置价值判断 ①算延伸空间；②数发展方向；③比价值 中心方向多，边角空间少 三、数学思维提升 1. 空间观念 核心要点：感知棋盘上棋子的方位、相对位置与连线关系，想象连子延伸与防守点位，发展空间想象与几何直观能力。 专题示例：判断斜线棋子是否共线、想象双活三的交叉位置，就是空间观念的体现。 2. 推理思想 核心要点：根据连子规则推理堵点数量，根据攻防逻辑推理必胜形态，根据位置规律推理后续棋子位置，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：推导双活三必胜的原理、推导同线棋子的数对规律，就是推理思想的应用。 3. 优化思想 核心要点：对比不同开局的价值、不同策略的效率，选择最优的走法与最少的获胜步数，培养优化意识与策略选择能力。 专题示例：选择中心开局、用双活三快速获胜，就是优化思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用坐标、推理、优化的数学知识解决棋类游戏、策略规划、逻辑博弈等实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：五子棋攻防策略、路线规划、最优决策，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：五子棋的坐标定位与位置表示 能力进阶（★★★）—— 数对表示与平移 题目：标准五子棋棋盘为 15×15 方格，行和列均从 1 到 15 编号。一颗黑棋落在第 3 列第 7 行，用数对怎么表示？如果这颗棋子向右平移 2 格，再向上平移 3 格，新位置用数对怎么表示？ 解题步骤： ① 数对表示位置的规则是先列后行，第 3 列第 7 行，记作。 ② 向右平移 2 格，列数增加 2，列数变为；向上平移 3 格，行数增加 3，行数变为。 ③ 新位置的数对是。 验证：列从 3 到 5 右移 2 格，行从 7 到 10 上移 3 格，符合平移规律。 【答案】原位置；新位置。 【知识点睛】本题考查五子棋中的坐标定位方法，对应教材综合实践基础要点。 核心规则：五子棋棋盘用数对表示位置，格式为（列，行），列在前，行在后。 平移规律：左右平移，列变行不变，右加左减；上下平移，行变列不变，上加下减。 易错警示：把行数写在前、列数写在后，颠倒数对顺序。 思维拓展（★★★★）—— 同线棋子的数对规律 题目：棋盘上三颗棋子的位置分别是、、，这三颗棋子在同一条直线上吗？如果在，这条直线上第 5 颗棋子的位置是多少？ 解题步骤： ① 分析数对的变化规律：列数每次加 2，行数每次加 2，列数与行数的差始终相等：，，，差都是 1，说明在同一条右斜线上（/ 方向）。 ② 每往后一颗棋子，列加 2、行加 2；第 4 颗是，第 5 颗是。 ③ 验证：相邻两点的倾斜程度一致，确实在同一条直线上，符合右斜线的数对特征。 【答案】在同一条直线上；第 5 颗棋子位置是。 【知识点睛】本题是五子棋坐标的奥数拓展题型，考查同一直线棋子的数对规律。 核心规律： · 同一横线：行数相同，数对第二个数相等； · 同一竖线：列数相同，数对第一个数相等； · 同一右斜线（/）：列数与行数的差相等； · 同一左斜线（_）：列数与行数的和相等。 解题技巧：判断同线棋子，就看列行的差或和是否相等；找后续棋子，按差量依次递推。 易错警示：混淆两种斜线的规律，把“差”和“和”搞反。 考点二：连子判断与线路计数 能力进阶（★★★）—— 连子与活三判断 题目：棋盘某条横线上的同色棋子位置是、、、，这是几连子？能不能形成活四？ 解题步骤： ① 同一横线行数都是 7，按列数从小到大排序：5、6、7、9，第 8 列是空位，中间断开。 ② 连续相邻的棋子是 5、6、7 列，共 3 颗，是三连子；第 9 列与前面不连续，整体不是四连。 ③ 活四需要四颗连续棋子且两端都有空位，这里只有三连，且中间有空缺，不能形成活四。 验证：连子必须是相邻且不间断的同色棋子，中间有空缺不算连续。 【答案】是三连子；不能形成活四。 【知识点睛】本题考查五子棋连子的判断标准，对应教材实践核心要点。 核心定义： · 连子：同一条直线上相邻且不间断的同色棋子； · 活三：三颗连续棋子，两端都有空位，下一步可成活四； · 冲四：四颗连续棋子只有一端有空，或四颗棋子中间有一个空位，填后即成五。 易错警示：把中间有空的棋子也算成连子，忽略“连续不间断”的要求。 思维拓展（★★★★）—— 多方向连子计数 题目：以棋盘中心点为中心，周围有同色棋子在、、、、、。这组棋子一共形成了多少个三连子？ 解题步骤： ① 按四个方向逐一判断： · 横线（第 7 行）：、、，三颗连续，1 个三连； · 竖线（第 8 列）：、、，三颗连续，1 个三连； · 右斜线（列行差为 0）：、、，三颗连续，1 个三连； · 左斜线（列行和为 16）：没有三颗连续的棋子，不计入。 ② 汇总：一共 3 个三连子。 ③ 验证：四个方向分类排查，中心棋子为各方向共有，每个方向单独计数，不重复、不遗漏。 【答案】一共 3 个三连子。 【知识点睛】本题是连子计数的奥数经典题型，考查多方向连子的分类计数方法。 解题方法：按横线、竖线、右斜线、左斜线四个方向，分别判断每个方向的连续棋子数，达到三连及以上就计数，最后汇总。 核心技巧：连子计数按方向分类，避免重复和遗漏；交叉点的棋子每个方向各算一次。 易错警示：重复计算中心棋子，或者漏掉某个斜线方向。 考点三：攻防策略的数学推理 能力进阶（★★★）—— 活三的堵法计数 题目：对方在横线上形成了活三，棋子位置是、、。想要堵住这个活三，不让对方形成活四，一共有多少种不同的堵法？ 解题步骤： ① 活三的特点是两端都有空位，堵住任意一端都能阻止其延伸成活四。 ② 这个活三的左端空位是第 3 列，位置；右端空位是第 7 列，位置。 ③ 堵住两端中的任意一处都可以，所以一共有 2 种堵法。 验证：堵住左端，三连只能向右延伸，变成冲三；堵住右端同理，都能阻止活四形成。 【答案】一共有 2 种堵法。 【知识点睛】本题考查五子棋防守的基本推理，对应教材攻防实践要点。 核心结论：活三有两个端点可以堵，共 2 种堵法；冲四只有一个端点可以堵，共 1 种堵法。 解题思路：先找出连子两端的空位，每个空位对应一种堵法，有几个空位就有几种堵法。 易错警示：认为只有 1 种堵法，忽略两端都可以堵；或者认为堵中间也有效。 思维拓展（★★★★）—— 双活三必胜原理 题目：为什么五子棋中同时形成两个活三（双活三）通常是必胜的？请用数学逻辑说明理由。 解题步骤： ① 一个活三有 2 个延伸端点，堵住任意一端都能阻止它发展成活四。 ② 根据棋规，一方走一步棋只能下 1 个棋子，也就是一步最多堵住 1 个活三的 1 个端点。 ③ 两个独立的活三共有 4 个延伸端点，一步棋只能堵住其中 1 个点，另一个活三完全没有被防守，下一步就可以延伸成活四；活四同样只有 1 个堵点，对方再堵一端，第三步就能连成五连获胜。 因此双活三局面，防守方无法同时防守两个方向的威胁，进攻方必然能连成五连。 验证：假设横活三和竖活三交叉，一步只能堵横活三的左端，竖活三仍可向上延伸成活四，对方无法兼顾。 【答案】理由见解析。 【知识点睛】本题是五子棋策略的奥数推理题型，考查攻防中的逻辑推理与博弈思想。 核心原理：双活三必胜，因为一步棋只能防守一个方向的一个点，无法同时堵住两个活三的所有延伸点；其中一个活三必然能发展成活四，最终形成五连。 拓展结论：同理，“冲四活三”也是必胜形态，冲四必须防守，活三就会无人防守，下一步成活四。 易错警示：认为可以一步同时堵两个点，忽略“一步只能下一子”的规则。 考点四：全局规划与最优策略 能力进阶（★★★）—— 开局占位价值对比 题目：五子棋开局时，棋子下在中心点(8,8)和下在角落(1,1)相比，哪个位置的发展线路更多？多多少条完整的双向线路？（按横、竖、两条斜线四个方向计算） 解题步骤： ① 中心点(8,8)：横线左右各有 7 格空间，竖线上下各有 7 格空间，两条斜线也各有 7 格延伸空间，四个方向都能双向发展，都是完整线路。 ② 角落(1,1)：横线只能向右发展，竖线只能向下发展，右斜线（/）只能向右下发展，左斜线（＼）两侧都出界、无法发展；没有一条能双向延伸的完整线路。 ③ 中心点有 4 条完整的双向发展线路，角落没有完整双向线路，所以中心点发展线路更多，完整双向线路多 4 条。 验证：越靠近棋盘中心，四个方向的延伸空间越充足，越容易形成连子，价值越高。 【答案】中心点位置发展线路更多；完整的双向发展线路多 4 条。 【知识点睛】本题考查开局策略的数学分析，对应全局规划的实践要点。 核心结论：棋盘中心位置四个方向都有发展空间，是开局最优位置；越靠近角落，发展方向越少、空间越小，价值越低。 策略意义：开局抢占中心，控制更多连线方向，更容易形成连子与多重威胁。 易错警示：认为角落和中心线路一样多，忽略棋盘边界的限制。 思维拓展（★★★★）—— 最少步数获胜 题目：黑棋先行，在空旷棋盘上无禁手规则下，最快几步能形成五连获胜？请说明策略逻辑。 解题步骤： ① 如果只在一条直线上下子，对方每一步都可以堵住一端，需要远多于 5 步才能获胜，效率很低。 ② 最快的策略是制造双活三：一步棋同时形成两个活三，一步制造两个获胜威胁。 形成双活三需要 5 颗同色棋子（两个活三共用 1 颗交叉棋子），黑棋第 5 手棋即可形成双活三。 ③ 白棋第 6 手只能堵住其中一个活三的一端；黑棋第 7 手在另一个未被堵的活三一端落子，形成五连获胜。 因此最快 7 步能获胜。 验证：双活三无法同时防守，是经典必胜形态，符合最快获胜的逻辑。 【答案】最快 7 步能获胜；通过一步形成双活三，让对方无法同时防守，下一步连成五连。 【知识点睛】本题是五子棋策略的奥数拓展题型，考查最优策略与逻辑推理。 核心思想：棋类最优策略的核心是制造多重威胁，让对方无法同时防守，用最少的步数达成目标。 解题技巧：要想快速获胜，就要走一步棋产生多个威胁，威胁越多，对方越难防守，获胜越快。 易错警示：认为只要 5 颗棋子就能赢，忽略对方的防守干扰。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：数对行列顺序颠倒 错误示例：第 5 行第 3 列的位置，写成。 正确分析：数对规则是先列后行，正确写法是。 修正方法：先数列，再数行，列在前，行在后。 易错点 2：连子包含空位 错误示例：棋子在 2、3、5 列，算成三连子。 正确分析：连子必须相邻且不间断，中间有空位不算连续，是两连加单独一颗。 修正方法：按顺序排列位置，相邻列 / 行差为 1 才是连续。 易错点 3：活三堵法认知错误 错误示例：活三只有 1 种堵法，堵中间就行。 正确分析：堵中间不阻止两端延伸，堵两端才有效；活三有 2 个堵点。 修正方法：堵连子的两端空位，阻止其延伸发展。 易错点 4：忽略边界限制 错误示例：角落的棋子和中心一样有四个发展方向。 正确分析：靠近边界的棋子，边界外没有位置，只有朝向棋盘内的方向能发展。 修正方法：靠边棋子发展方向少，中心位置方向多、价值高。 易错点 5：一步可防多个威胁 错误示例：双活三可以一步同时堵住两个。 正确分析：一步只能下一个棋子，最多堵一个方向的一个点，无法同时防守两个活三。 修正方法：一步一棋，一次只能应对一个威胁。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 五子棋棋盘第 5 列第 9 行的棋子，用数对表示是（ ）。 2. 棋子位置，向下平移 2 格后的位置是（ ）。 3. 同一横线上的棋子，数对的（ ）数相同。（填“列”或“行”） 4. 三连子的两端有（ ）个空位时，称为活三。 5. 棋子、、，它们在同一条（ ）线上。 6. 冲四一共有（ ）个堵点可以阻止立刻成五。 7. 棋盘上位置的棋子，有（ ）个方向可以发展连子。 8. 一个活三有（ ）种不同的堵法。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 棋子位置、、，它们在同一条直线上吗？为什么？ 10. 棋盘上有同色棋子、、、、，一共形成了多少个三连子？ 11. 对方形成了竖线活三，位置是、、，堵住这个活三有几种方法？分别是哪些位置？ 12. 为什么说“活四”是必胜的？用数学的角度说明理由。 13. 棋子、、，按这个规律，第 6 颗棋子的位置是多少？ 14. 题目：黑棋已有棋子(8,7)、(8,8)、(8,9)、(7,8)，下一步下在哪个位置能形成双活三？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】解题步骤： ① 先列后行，第 5 列第 9 行记作。 【知识点睛】考查数对表示规则。核心：先列后行。易错警示：。 2. 【答案】解题步骤： ① 向下平移，行数减 2，，列数不变。 【知识点睛】考查平移与数对。核心：下减行不变列。易错警示：。 3. 【答案】行 解题步骤： ① 同一横线，行数相同，数对第二个数相等。 【知识点睛】考查横线的数对特征。核心：同行不同列。易错警示：列。 4. 【答案】2 解题步骤： ① 活三两端都有空位，共 2 个空位。 【知识点睛】考查活三定义。核心：两端都空。易错警示：1。 5. 【答案】右斜（/） 解题步骤： ① 列行差都是 3，差相等，是右斜线。 【知识点睛】考查斜线规律。核心：右斜线差相等。易错警示：左斜。 6. 【答案】1 解题步骤： ① 冲四只有一端有空，只有 1 个堵点。 【知识点睛】考查冲四特征。核心：只有一端可堵。易错警示：2。 7. 【答案】4 解题步骤： ① 横、竖、两条斜线，四个方向都有棋盘内的空间，都可以发展连子。 【知识点睛】考查位置发展方向。核心：四个基本方向。易错警示：2。 8. 【答案】2 解题步骤： ① 活三两端都可以堵，共 2 种堵法。 【知识点睛】考查活三防守。核心：两端各一种。易错警示：1。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】在同一条直线上。 解题步骤： ① 计算列数与行数的和：，，，和都相等； ② 列行和相等，符合同一条左斜线（_ 方向）的规律，所以在同一条直线上。 【知识点睛】考查左斜线规律。核心：左斜线和相等。易错警示：认为不在同一直线。 10. 【答案】2 个三连子。 解题步骤： ① 横线：、、，1 个三连； ② 竖线：、、，1 个三连； ③ 两条斜线都没有三颗，一共 2 个三连子。 【知识点睛】考查多方向连子计数。核心：分方向计数。易错警示：3 个。 11. 【答案】2 种方法；分别是和。 解题步骤： ① 竖线活三，两端空位是第 2 行和第 6 行； ② 两个端点各对应一种堵法，共 2 种。 【知识点睛】考查活三堵点。核心：两端空位是堵点。易错警示：只有 1 种。 12. 【答案】理由见解析。 解题步骤： ① 活四是四颗连续棋子，两端都有空位，下一步在任意一端都能成五； ② 对方一步只能下一个棋子，最多堵住其中一端； ③ 另一端还是空位，我方下一步就能下子连成五连，所以活四必胜。 【知识点睛】考查活四必胜原理。核心：一步只能堵一端。易错警示：认为可以堵两端。 13. 【答案】。 解题步骤： ① 规律：列数每次加 1，行数每次加 2； ② 第 6 颗，列：，行：，位置。 【知识点睛】考查数对规律递推。核心：找差量依次加。易错警示：。 14. 【答案】下在(9,8)。 解题步骤： ① 已有的(8,7)、(8,8)、(8,9)在第 8 列排成竖线三颗中的连续段，(7,8)、(8,8)在第 8 行排成横线的两颗； ② 下在(9,8)后，横线上(7,8)、(8,8)、(9,8)三颗连续成横活三，竖线上(8,7)、(8,8)、(8,9)三颗连续成竖活三； ③ 两个活三共用交叉棋子(8,8)，一步同时形成横、竖两个活三，即双活三。 【知识点睛】考查双活三的构造。核心：双活三由两个方向的活三共用 1 颗交叉棋子组成，至少需要 5 颗同色棋子；一步落子能在两个方向同时补成三连时就形成双活三。易错警示：棋子数不足时，一步不可能同时形成两个三连。 1 学科网（北京）股份有限公司 $