4.3 等比数列 4.3.3 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练聚焦等比数列前n项和性质及应用，通过基础巩固、综合提升、拓展应用三层设计，实现从单一性质到实际建模的递进，培养数学抽象、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等比数列前n项和基本性质（如S₂、S₄、S₆关系）|单选为主（1-5题），直接应用公式，夯实概念理解| |提升层|性质综合应用（奇数项和与偶数项和关系、等差中项）|含多选（6题）和填空（7-8题），强化运算能力与逻辑推理| |综合层|实际情境建模（景区投入、技术改造）与证明|解答题（9-10、16题）结合递推与不等式证明，发展数学建模与创新意识|

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=4,S4=8,则S6=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.12 B.16 C.18 D.20 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q=2,S3=7,则a4+a5+a6= (　 ) A.49 B.56 C.63 D.112 3.若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.[2025·山东菏泽一中高二月考] 某景区管理处计划从2024年开始,用5年时间改善景区环境,预计第一年投入资金80万元,以后每年的投入资金是上一年的倍,第一年的旅游收入为200万元,以后每年的旅游收入比上一年增加30万元,则这五年的旅游总收入与投入资金总额之差为 (　 ) A.230万元 B.234万元 C.245万元 D.260万元 5.[2025·江苏新海中学高二质检] 若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为 (　 ) A.200 B.300 C.400 D.500 6.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是 (　 ) A.{an}为递增数列 B.=9 C.S3,S6,S9成等比数列 D.Sn=2an-a1 7.[2025·江苏淮阴中学高二月考] 中国古代某数学著作中有这样一段记载:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是　　　　里(用数字作答).  8.已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=4,S9=19,则S6,S9的等差中项为　　　　.  9.(13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,=. (1)求等比数列{an}的公比q; (2)求证:++…+<. 10.(13分)某企业进行技术改造,有甲、乙两种方案,甲方案为一次性贷款10万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案为每年年初贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年都比前一年增加利润5000元.两种方案使用期都是十年,到期一次性还本付息,且银行贷款利息均按年息10%的复利计算. (1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要偿还银行的本息和为多少元? (2)试比较甲、乙两种方案的优劣. (计算时精确到千元,1.110≈2.59,1.310≈13.79) 11.(多选题)[2025·湖南长沙一中高二调研] 计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0,即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数C0=2,已知一台计算机有105个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是 (　 ) A.在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件 B.经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件 C.10分钟后,该计算机处于瘫痪状态 D.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列 12.(多选题)[2025·福建三明中学高二月考] 已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若S1=-1,且对任意n∈N*,an+2>an恒成立,则 (　 ) A.a2>0 B.0<q<1 C.an+1>an D.Sn< 13.[2025·安徽合肥一中高二月考] 某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为5%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列c1,c2,c3,…,且满足递推公式cn+1-k=r(cn-k),Sn为数列{cn}的前n项和,则S10≈　　　　.(1.0510≈1.63,答案精确到1)  14.[2025·江苏张家港中学高二月考] 已知数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20的值为　　　　.  15.[2025·江苏苏州中学高二月考] 已知Sn是各项都为正数的等比数列{an}的前n项和,S10=20,则S30-2S20+S10的最小值为　　　　.  16.(15分)甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包,第一次由甲抛出,每次抛出时,抛沙包者等可能地将沙包抛给另外两个人中的任何一个,设第n(n∈N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an,在丙手中的方法数为bn. (1)求证数列{an+1+an}为等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)求证:当n为偶数时,an>bn. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.A　[解析] 因为{an}为等比数列,且公比q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,即4,4,S6-8成等比数列,则S6=12,故选A. 2.B　[解析] 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q=2,S3=7,所以=q3=8,所以a4+a5+a6=8S3=56.故选B. 3.A　[解析] 因为等比数列{an}共有奇数项,所以S奇=a1+qS偶,则341=1+170q,解得q=2,故选A. 4.C　[解析] 根据题意可知,这五年投入的资金(单位:万元)依次构成首项为80,公比为的等比数列,所以这五年投入的资金总额是=1055(万元);这五年的旅游收入(单位:万元)依次构成首项为200,公差为30的等差数列,所以这五年的旅游总收入是5×200+×30=1300(万元).所以这五年的旅游总收入与投入资金总额之差为1300-1055=245(万元),故选C. 5.B　[解析] 设等比数列{an}的奇数项和为S1,偶数项和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a2n-1,S2=a2+a4+a6+…+a2n=q(a1+a3+a5+…+a2n-1)=2S1,由题意可得S1+100=S2,即S1+100=2S1,解得S1=100,则S2=200,故数列{an}的所有项之和是100+200=300.故选B. 6.BD　[解析] 由a6=8a3,可得q3a3=8a3,则q=2.当首项a1<0时,可得{an}为递减数列,故A错误;=·===9,故B正确;假设S3,S6,S9成等比数列,可得=S9×S3,即=·,则(1-q6)2=(1-q9)(1-q3),即(1-26)2=(1-23)(1-29),该等式不成立,则假设不成立,S3,S6,S9不成等比数列,故C错误;由{an}是公比为q的等比数列,可得Sn===2an-a1,故D正确.故选BD. 7.6　[解析] 将这个人每天行走的路程(单位:里)依次排成一列,得等比数列{an},n∈N*,n≤6,其公比q=,设数列{an}的前n项和为Sn,则S6=378,因为S6==,所以=378,解得a1=192,所以此人在第六天行走的路程是a6=a1×=6(里). 8.　[解析] 设S6=x(x>0),因为{an}为等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.因为S3=4,S9=19,所以4(19-x)=(x-4)2,解得x=10或x=-6(舍去).所以S6,S9的等差中项为. 9.解:(1)由=,知=. 由等比数列前n项和的性质知S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,且公比为q7,故q7=,所以q=. (2)证明:由(1)得an=(-1)×,所以=,所以数列{}是首项为1,公比为的等比数列,故++…+==<. 10.解:(1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要偿还银行的本息和为10×(1+10%)10≈25.9(万元). (2)甲方案十年共获利1+1×(1+30%)+…+1×(1+30%)9=≈42.6(万元), 由(1)知到期一次性需要偿还银行的本息和约为25.9万元, 所以甲方案十年的净收益约为42.6-25.9=16.7(万元). 乙方案十年共获利1+1.5+…+(1+9×0.5)==32.5(万元), 到期一次性需要还银行的本息和为1×(1+10%)+…+1×(1+10%)10=≈17.5(万元), 所以乙方案十年的净收益约为32.5-17.5=15.0 (万元). 因为16.7>15.0,所以甲方案优于乙方案. 11.ABC　[解析] 设计算机瘫痪之前第n+1分钟之内新被感染的文件数为an+1,前n分钟内新被感染的病毒文件数之和为Sn,则an+1=2(Sn+1),且a1=2,由an+1=2(Sn+1)(*)可得an=2(Sn-1+1)(n≥2),两式相减得an+1-an=2an(n≥2),所以an+1=3an(n≥2),当n=1时,由(*)式得a2=2(S1+1)=6,则a2=3a1,所以计算机瘫痪之前每分钟内新被感染的病毒文件数构成以a1=2为首项,3为公比的等比数列,所以an=2×3n-1,在第3分钟内,该计算机新感染了a3=2×33-1=18(个)文件,故选项A正确.经过5分钟,该计算机共有1+a1+a2+a3+a4+a5=1+=35=243(个)病毒文件,故选项B正确.经过10分钟,该计算机感染病毒的文件总数为1+a1+a2+…+a10=1+=310>×105,所以10分钟后该计算机处于瘫痪状态,故选项C正确.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列,故选项D不正确.故选ABC. 12.BC　[解析] 因为S1=a1=-1,an+2>an对任意n∈N*恒成立,所以a1·qn+1>a1·qn-1对任意n∈N*恒成立,则-qn+1>-qn-1对任意n∈N*恒成立,即qn-1(q2-1)<0对任意n∈N*恒成立,则q>0,q2-1<0,解得0<q<1,故B正确;对于A,a2=a1·q=-q<0,故A错误;对于C,an+1-an=-qn+qn-1=qn-1(1-q)>0,所以an+1>an,故C正确;对于D,Sn==,因为0<q<1,所以-1<q-1<0,所以<-1,又因为1-qn<1,所以>,故D错误.故选BC. 13.9920　[解析] 由题知c1=1200,c2=1.05c1-100,c3=1.05c2-100,…,cn+1=1.05cn-100,由cn+1-k=r(cn-k)得cn+1=rcn-rk+k,则 解得所以cn+1-2000=1.05(cn-2000),则{cn-2000}是以-800为首项,1.05为公比的等比数列,因为c1-2000+c2-2000+…+c10-2000=≈-10 080,所以S10=c1+c2+…+c10≈20 000-10 080=9920. 14.40　[解析] 因为S30=13S10,S10+S30=140,所以S10=10,S30=130,则等比数列{an}的公比q≠-1,所以S10,S20-S10,S30-S20也是等比数列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20),解得S20=40或S20=-30,又S20=S10(1+q10)>0,所以S20=40. 15.-5　[解析] 设{an}的公比为q.因为S30-S20=a21+a22+…+a30,S20-S10=a11+a12+…+a20,S10=a1+a2+…+a10,所以==q10,==q10,所以S20-S10=S10×q10=20q10,S30-S20=(S20-S10)×q10=S10×q20=20q20,所以S30-2S20+S10=S30-S20-(S20-S10)=20q20-20q10=20-5,当q10=时,S30-2S20+S10取得最小值-5. 16.解:(1)由题意知,第n次抛沙包后的抛沙包方法数为2n, 第n+1次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an+1,若第n次抛沙包后沙包在甲手中,则第n+1次抛沙包后,沙包不可能在甲手里,只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中,第n+1次抛沙包后,沙包才可能在甲手中, 所以an+1=an×0+(2n-an)×1=2n-an,且a1=0,故an+1+an=2n, 则=2(n≥2), 所以数列{an+1+an}为等比数列. 由an-1+an=2n-1(n≥2),得(-1)n-1an-1-(-1)nan=(-2)n-1(n≥2), 所以(-1)1a1-(-1)2a2=(-2)1, (-1)2a2-(-1)3a3=(-2)2, (-1)3a3-(-1)4a4=(-2)3, …, (-1)n-1an-1-(-1)nan=(-2)n-1(n≥2), 以上各式相加得(-1)1a1-(-1)nan=(n≥2), 可得an=(n≥2),又a1=0满足上式,所以an=. (2)证明:由题意知,第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等,均为bn, 则an+2bn=2n, 因为当n为偶数时,an==>,所以bn=<, 所以an>bn. 学科网（北京）股份有限公司 $