精品解析：黑龙江佳木斯市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次调研考试数学试题

佳一中2026-2027学年度高三学年第二次调研考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8道小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，得，又， 所以； 因为得，所以， 则.故选项C正确. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，结合虚部定义即可求解. 【详解】由题可得，所以则的虚部为, 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析奇偶性，判断B、C；再利用特殊点辨析A、D. 【详解】，，是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．，在x轴上方，所以排除A. 故选：D． 【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 6. 等差数列的前项和为，若且，则（ ） A. B. 2026 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列定义及求和公式可得也为等差数列，求出公差结合等差数列前项和公式即可得解. 【详解】记等差数列的公差为，则 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 故. 7. 设函数.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式和三角函数值域可得，再由可得，即可求出的最小值为. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 故，. 所以， 解得， 故，其最小值为. 故选：A. 8. 已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再令，则问题转化为关于的一元二次方程的根的问题，进而通过讨论研究一元二次函数的分类求出即可. 【详解】∵，∴，而， ∴当时，取到最大值， ∴. 设，， 则问题转化为关于的方程， 即在上存在根的问题. 设，， 则的图象为开口向上的抛物线在轴右侧部分（含轴）， 方程的判别式， ①当时，或，此时对称轴， 则函数在有唯一零点； ②当且在有唯一零点时， 或， 解得或； ③当且在有两个零点时，设这两个零点分别为，， 则解得. 综上可知：或. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过反例验证选项A的错误；通过充分不必要条件的定义分析选项B；利用不等式的性质推导选项C；通过换元法结合函数单调性求解选项D的最值. 【详解】选项A： 取反例：，，，， 此时，，，故A错误. 选项B： 若，则，两边除以得； 若，取，，满足，但不满足. 故“”是“”的充分不必要条件，B正确. 选项C： 由，知（否则不等式不成立），故， 两边除以得，C正确. 选项D： 令，则，. 函数在上单调递增，故时，， 即最小值为，D正确. 故答案为：BCD 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，只有一解，则的取值范围为 C. 若面积为，，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用两角和的正切公式及三角形内角和，得出，由正切值乘积大于0，判断三角形形状即可；对于B，根据正弦定理及已知条件，分析不同取值时三角形解的情况，得出的取值范围；对于C，利用三角形的面积公式，结合余弦定理化简，即可求得角的方程，进一步计算即可求解；对于D，由正弦定理和二倍角公式，化简，得到角的关系即可判断． 【详解】对于A，在中，，故， 利用两角和的正切公式，得， 整理，可得． 因为，所以． 又因为三角形最多1个钝角，若存在钝角，则乘积为负， 所以只有三个角均为锐角时乘积为正． 故是锐角三角形，A正确； 对于B，已知，，三角形解的个数结论： 当时，三角形为直角三角形，只有一解； 当时，也只有一解． 故的取值范围是或，B错误； 对于C，由于， 则，进一步化简可得． 由余弦定理，可得，则，C正确； 对于D，由，结合正弦定理，可得， 即，可得（即，等腰三角形）， 或（即，直角三角形）， 故三角形可能是直角三角形，不一定是等腰三角形，D错误． 11. 若函数有三个零点，，则下列说法中正确的是（   ） A. B. C. 若，，成等差数列，则 D. 若，，成等比数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由三次函数的零点个数，可知该函数的单调区间至少有三个，求该函数的导函数，转化为二次函数的判别式求解可得；对于B，利用三次函数的三根式表达形式，求导后，通过赋值通分化简可得；对于C，将三次函数的三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；对于D，由根与系数的关系，消元转化，用分别表示，即可判断． 【详解】对于A，由题意，可得． 由于函数有三个零点，则至少有三个单调区间， 故有两个不等实根，则，解得，故A错误； 对于B，由题意，可知， 则， 故． 同理可得，． 故 ，故B正确； 对于C， ， 则，，． 若，，成等差数列，则， 则，故，，则， 故，即，故C正确； 对于D，若，，成等比数列，则，， 故，， 则，，由，可知，故D错误． 【点睛】解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用．问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如对于C、D的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分 12. 已知函数，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的奇偶性，代入求值即可. 【详解】由，得， 又， 所以为奇函数，所以. 故答案为：. 13. 正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，结合图象，当位于点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 如图，过作交延长线（或反向延长线）于点， 则， 因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值， 此时，，， 则此时，即. 14. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式进行化简，找出与的关系，再将转化为可以使用基本不等式的形式，进而求出最小值. 【详解】由二倍角公式化简得到，即， 交叉相乘得到 即，即， 即 因为，所以 由正弦函数的性质得到或， 所以或（舍去） 所以 因为，所以， 由基本不等式得到. 当且仅当，即时，等号成立， 此时有最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共 7 7 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间 （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数为正弦型标准式，再结合正弦函数单调递减区间解不等式得到的单调减区间； （2）先根据范围求出内层角范围，得到值域，再将绝对值恒成立不等式转化为关于的不等式组，解出的取值范围. 【小问1详解】 由，， 解得，， 故函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由得， 则， 所以． 由得在上恒成立， 所以 解得，即m的取值范围是． 16. 已知数列和满足． （1）求证：数列是等比数列，数列是等差数列： （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后分和讨论导数的正负，从而可得其单调区间； （2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，得，所以要使在区间上恰有两个零点，只要满足，从而可求出的取值范围 【详解】解：（1）的定义域为， . ①时，，所以在上单调递增； ②时，由得，得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 由题知，即时，在上单调递减，在上单调递增， . ∵在区间上恰有两个零点， ∴，∴. 综上，在区间上恰有两个零点时的取值范围是. 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题 18. 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：是倍角三角形； （2）已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）因为，由正弦定理，得， 又，所以， 所以， 即， 整理得，，因为为三角形内角， 所以或，即或（舍去）， 所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以是倍角三角形. （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，然后根据三角函数间的关系证明结论. （2）（i）根据正弦定理，将分别表示为，，再利用面积，建立关于角的三角方程求解； （ii）根据三角形为锐角三角形，求出角的范围，再由正弦定理将分别表示为，，将向量表示为，两边平方，将已知条件代入，通过换元求出长度的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1），又，所以， 由正弦定理，得，，则， 因为， 所以，， 由， 即，所以， 整理得，，即， 两边平方得，， 所以，因为为锐角三角形， 解得（舍去）， 所以，所以. （ii）因为为锐角三角形，所以，即. 由正弦定理，得，即， 由（2）知， 所以，. 因为，所以， ， 所以. 又， 令，所以，. 所以，， 所以 . 令，则， 所以，令， ， 所以，所以. 19. . （1）求函数在上的零点个数； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）在区间上的零点个数为1 （2） （3）当时，令， ， 所以单调递增，所以，即. 故. 令，则. 因为在上单调递减，且，， 所以存在，使得， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，成立. 【解析】 【分析】（1）用定义判断函数的奇偶性，并利用导数判断在和上的零点个数，根据奇偶性即可判断函数在上的零点个数； （2）令，将问题转化为在上恒成立，令，并利用导数求得，分三种情况分析的单调性，即可得到实数的取值范围； （3）由，可得，并对进行放缩，并根据裂项相消求和法可得左侧不等式成立；令，利用导数分析其单调性，进而得到，即，对进行放缩，并根据裂项相消求和法可证得右侧不等式成立. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 且， 所以函数是奇函数，的图象关于原点对称. . 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以在上有唯一零点，即； 所以在上没有零点； 当时， 因为，， 所以， 所以在上没有零点. 所以在上没有零点. 综上所述，函数在上的零点个数为. 【小问2详解】 令， 则. 令，则. 所以在上单调递增， 所以. 若，即，则恒成立， 是增函数，所以恒成立， 即对任意，都有； 若，即，则，使得当时，， 此时单调递减，所以，不合题意； 若，即，则在上恒成立， 是减函数，所以恒成立，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2026-2027学年度高三学年第二次调研考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8道小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前项和为，若且，则（ ） A. B. 2026 C. D. 1 7. 设函数.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，只有一解，则的取值范围为 C. 若面积为，，则 D. 若，则为等腰三角形 11. 若函数有三个零点，，则下列说法中正确的是（   ） A. B. C. 若，，成等差数列，则 D. 若，，成等比数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分 12. 已知函数，若，则___________． 13. 正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 14. 若，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共 7 7 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间 （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 16. 已知数列和满足． （1）求证：数列是等比数列，数列是等差数列： （2）求数列的前项和． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 18. 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：是倍角三角形； （2）已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 19. . （1）求函数在上的零点个数； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $