第3章 提升课7 不等式证明-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数证明不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了移项构造函数、放缩法两大考查方向，通过典型例题解析和方法总结，明确恒成立证明等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“例题精讲+跟踪训练”的实战策略，如例1通过构造函数求导分析单调性求最值，培养数学思维，例2用放缩法简化不等式证明，发展数学眼光。帮助学生掌握导数应用技巧，提升得分率，教师可据此系统指导复习，实现高效备考。

提升课7　不等式证明 第三章　一元函数的导数及其应用 考点一　移项、构造证明不等式 [例1]　已知函数f(x)=xex-x2-x-1,证明:f(x)≥ln x-x2. [证明]　由题意,要证f(x)≥ln x-x2,即证xex-x-ln x-1≥0对于x∈(0,+∞)恒成立. 令g(x)=xex-x-ln x-1,则g'(x)=ex+xex-1-=(x+1)(ex-),令h(x)=ex-,h'(x)=ex+>0, 所以h(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,h(1)=e-1>0,h()=-2<0, 则h(x)在(,1)上存在唯一的零点x0,则-=0,即=,可得ln x0=-x0. 又x+1>0 ,令g'(x)<0得0<x<x0,令g'(x)>0得x>x0, 故g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 故g(x)min=g(x0)=x0-x0-ln x0-1=0, 则当x>0时,g(x)≥0恒成立, 即f(x)≥ln x-x2成立. 方法总结 1.若待证不等式的一边含有自变量,另一边为常数,可直接求函数的最值,利用最值证明不等式. 2.若待证不等式的两边含有同一个变量,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; 解:f'(x)=-a(x>0), ①若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当0<x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,故f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. 综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. (2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex≤0. 证明:因为x>0,所以只需证f(x)≤-2e. 当a=e时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以f(x)max=f(1)=-e. 记g(x)=-2e(x>0), 则g'(x)=, 所以当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 所以g(x)min=g(1)=-e. 综上,当x>0时,f(x)≤g(x), 即f(x)≤-2e, 即xf(x)-ex+2ex≤0得证. 考点二　放缩法证明不等式 [例2]　当x>0时,证明:ex-sin x-1>xln x. [证明]　设h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,h(x)单调递增, 所以当x>0时,h(x)>h(0)=0,即x>sin x(x>0), 所以ex-sin x-1>ex-x-1, 所以要证ex-sin x-1>xln x, 只需证明ex-x-1>xln x, 设f(x)=ex-x-1(x>0),则f'(x)=ex-1, 则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)>f(0)=0. 当x∈(0,1)时,f(x)>0,xln x<0, 所以ex-x-1>xln x. 当x∈[1,+∞)时,设F(x)=ex-x-1-xln x(x≥1),则F'(x)=ex-ln x-2, 设g(x)=ex-ln x-2(x≥1),则g'(x)=ex-. 因为g'(x)在[1,+∞)上单调递增,且g'(1)=e-1>0, 所以g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立, 所以g(x)在[1,+∞)上单调递增.又g(1)=e-2>0, 所以F'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,故F(x)在[1,+∞)上单调递增, F(x)≥F(1)=e-2>0在[1,+∞)上恒成立. 综上,当x>0时,ex-sin x-1>xln x. 方法总结 利用导数证明不等式时,若所证明的不等式中含有ex,ln x,sin x,cos x, tan x,或其他多项式函数中的两种以上,可考虑先利用不等式进行放缩,使问题简化.然后构造函数进行证明. 跟踪训练 2.已知函数f(x)=ex,证明:当x>-2时,f(x)>ln(x+2). 证明:设g(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1(x>-2),则g'(x)=ex-1, 当-2<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0, 即g(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 于是g(x)min=g(0)=0, 因此f(x)≥x+1(当且仅当x=0时取等号), 令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),则h'(x)=1-=, 则当-2<x<-1时,h'(x)<0;当x>-1时,h'(x)>0, 即有h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增, 于是h(x)min=h(-1)=0,因此x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时取等号). 因为等号不同时成立,所以当x>-2时,f(x)>ln(x+2). $