第2章 第12节 函数模型及应用-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及应用”专题，依据高考评价体系明确考查要求，即理解函数模型作为描述变量关系的工具，能在实际情境中选择合适模型。通过表格对比指数、对数、幂函数性质，系统梳理一次、二次等常见模型，分析增长率比较、最优解计算等高频考点，归纳散点图模型选择、实际问题建模等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题与模拟题深度融合，如改编题、青岛模拟题等，通过“模型识别-参数求解-实际应用”三步法突破考点，例如臭氧半衰期问题用指数模型求解，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的素养。帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第十二节　函数模型及应用 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 性 质 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点二　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 自我评价 1.某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒,需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=a·()x+b(a>0) C.y=xa+b(a>0) D.y=ax+(a>0,b>0) B 解析:由题图可知,函数在(0,+∞) 上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·()x+b 的图象为一条曲线,且当a>0 时,该函数单调递减,符合题意. 2.(人A必修第一册P141T10改编)声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足f(x)=10×lg.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍,则一般说话时声音的等级约为(　　) A.120 dB　　　　　　　 B.100 dB C.80 dB D.60 dB D 解析:设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1,x2,由题意可得f(x1)=10×lg=140,解得x1=102.因为==108,所以x2=10-6,所以f(10-6)=10×lg=60,所以一般说话时声音的等级约为 60 dB. 3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 　　　　小时.  解析:由已知得192=eb,① 48=e22k+b=e22k·eb,② 将①代入②得e22k=,则e11k=. 当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=()3×192=24, 所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时. 24 关键能力　重点探究 考点一　指数、对数、幂函数的增长速度问题 [例1]　现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据如下表: 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　) A.v=log2t　　　　　　 B.v=t C.v= D.v=2t-2 t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 C [解析]　从表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快. A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意; B项,随着t的增大,v变小,不符合题意; C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意; D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意. 方法总结 常见的函数模型及增长特点 1.指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”. 2.对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. 3.幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长速度和对数增长速度之间. 跟踪训练 1.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图,则下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的是(　　) A.y=mx2+n(m>0) B.y=max+n(m>0,0<a<1) C.y=max+n(m>0,a>1) D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1) 解析:由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1. B 考点二　已知函数模型解决实际问题 [例2]　(1)(2026·山东青岛模拟)已知臭氧层中的臭氧含量Q与时间t(单位:年)的关系为Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始含量,则臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693,精确到1年)(　　) A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 [解析]　令Q=Q0=Q0可得=,可得-=ln=-ln 2,所以t=400ln 2≈277,故臭氧消失一半所需要的时间约为277年. D (2)(2025·北京卷)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(　　) A.2 h B.4 h C.20 h D.40 h B [解析]　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3, 由题意,T1=klog2106=6klog210, T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210), T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210). 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4 h. 方法总结 已知函数模型解决实际问题的技巧 1.认清所给函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数. 2.根据已知条件,利用待定系数法,确定模型中的待定系数. 3.利用该函数模型,借助函数的性质、系数等解决相关问题. 跟踪训练 2.(2026·北京模拟)经研究表明,糖块的溶解过程可以用指数型函数S= ae-kt(a,k为常数)来描述,其中S(单位:克)代表第t分钟末未溶解糖块的质量.现将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,则k=(　　) A. B. C.ln 2 D.ln 3 A 解析:由题意,当t=0时,S=a=7, 当t=5时,S=7e-5k=3.5,则e-5k=, 则-5k=ln=-ln 2,即k=. 3.(2026·广东广州模拟)声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).轻柔音乐的声强一般在10-8~10-6 W/m2之间,则轻柔音乐的声强级范围是(　　) A.0~20 dB B.20~40 dB C.40~60 dB D.60~80 dB C 解析:依题意可得10-8≤I≤10-6,所以104≤≤106,所以4≤lg≤6,所以40≤10lg≤60,即轻柔音乐的声强级范围是40~60 dB. 考点三　构建初等函数模型解决实际问题 [例3]　已知某零件原来的售价为15元,可售出50万件,据市场调查,该零件的单价每提高1元,销售量就减少2万件,现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售,设提价后的零件售价为x(x∈N*)元. (1)求提价后该零件的销售总收入(单位:万元)的最大值; [解]　由题意可得提价后该零件的销售总收入y=[50-2(x-15)]x=-2x2+ 80x. 因为y=-2x2+80x=-2(x-20)2+800, 所以当x=20时,y取得最大值800, 即该零件的售价为20元时,该零件的销售总收入取得最大值800万元. (2)若提价后该零件的销售总收入(单位:万元)不低于原来的销售总收入,求x的取值集合. [解]　由题意可得 整理得 解得15<x≤25,又x∈N*,所以x的取值集合为{16,17,18,19,20,21,22,23,24,25}. 方法总结 构建函数模型解决实际问题的步骤 1.建模:抽象出实际问题的数学模型. 2.推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解. 3.评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解. 跟踪训练 4.(2026·山东淄博模拟)随着人工智能技术的快速发展,训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代人工智能芯片,其有A,B两套设计方案.若A设计方案中初始计算量为N1,每年增长50%;B设计方案中初始计算量为N2(N2=3N1),每年增长20%.要使A设计方案计算量比B设计方案计算量更高,则至少需要(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈ 0.477 )(　　) A.4年 B.5年 C.6年 D.7年 B 解析:设x年后A设计方案计算量更高, 则x年后,A设计方案计算量为N1()x,B设计方案计算量为3N1·()x, 则N1()x>3N1()x⇒()x>3⇒xlg>lg 3⇒x>==≈≈4.92, 要使A设计方案计算量比B设计方案计算量更高,则至少需要5年. $