第2章 第4节 函数的奇偶性、周期性-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性、周期性”专题，依据高考评价体系梳理了奇偶性判断、应用（求解析式、参数、解不等式）及周期性三大核心考点，分析近五年真题中奇偶性应用占比60%、周期性综合题占30%的高频分布，归纳选择、填空及解答题常考题型。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养培养”，如以2025全国一卷周期偶函数题为例，示范“周期转化+对称性质”解题技巧，培养数学思维的推理能力和数学语言的符号表达。设“易错警示”（定义域对称前提）和“方法总结”（定义法判断奇偶性），助力学生掌握得分关键，教师可据此精准定位薄弱点，提升复习效率。

第四节　函数的奇偶性、周期性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.了解函数奇偶性的含义,并能解决奇偶性问题.　2.了解函数的周期性及其几何意义. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 知识点二　函数的周期性 1.周期函数 设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T为这个函数的一个周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 常用结论 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)只有函数在x=0 处有意义时,f(0)=0才是f(x)为奇函数的必要不充分条件. 2.函数周期性的常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). (4)若f(x+a)=f(x+b),则|a-b| 是函数f(x) 的一个周期. 自我评价 1.(多选)(人A必修第一册P84例6改编)下列函数中,是奇函数的有(　　) A.f(x)=x4　　　　　　　 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 解析:对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+都是奇函数,f(x)=是偶函数. BC 2.(人A必修第一册P86T11改编)若f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=1-,则当x<0时,f(x)=　　　　.  解析:当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-.又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-1+, ∴当x<0时,f(x)=-1+. -1+ 3.设f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,则f(5)=　　　　,f()=　　　　.  解析:f(5)=f(1)=(1-1)2=0,f()=f(4+)=f()=(-1)2=. 0 4.(人A必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　.  解析:由题图可知,当0<x<2时,f(x)>0; 当2<x≤5时,f(x)<0.又f(x)是奇函数, ∴当-2<x<0时,f(x)<0; 当-5≤x<-2时,f(x)>0. 综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5]. (-2,0)∪(2,5] 关键能力　重点探究 考点一　函数奇偶性的判断 [例1]　(1)(多选)下列奇偶性判断,错误的是(　 　) A.f(x)=ln(-x)是偶函数 B.f(x)=+是非奇非偶函数 C.f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]是偶函数 D.f(x)=是奇函数 ABC [解析]　对于A,f(x)的定义域为R,由f(x)+f(-x)=ln(-x)+ln(+x)=ln[(1+x2)-x2]=ln 1=0,知f(x)=ln(-x)是奇函数, A错误; 对于B,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称, f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数,又是偶函数,B错误; 对于C,因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数,C错误; 对于D,法一(定义法): 当x>0 时,f(x)=-x2+2x+1, 此时-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x); 当x<0 时,f(x)=x2+2x-1, 此时-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x), 所以f(x) 为奇函数,D正确. 法二(图象法):作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数f(x)为奇函数,D正确. (2)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则( 　　) A.f(x)+g(x)是奇函数　 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(g(x))是偶函数 [解析]　因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)不是奇函数,故A错误; 因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确; 因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故C正确; 因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确. BCD 方法总结 判断函数奇偶性的方法 1.定义法 2.图象法 3.性质法 在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 跟踪训练 1.(2026·河南许昌模拟)下列函数中,值域为R且为奇函数的是(　　) A.y=ex-1 B.y=xsin x C.y= D.y=x- D 解析:对于函数y=ex-1,定义域为R,而f(-x)≠-f(x),∴该函数不是奇函数,故A错误. 对于函数y=xsin x,定义域为R,f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)(-sin x)=xsin x=f(x),∴该函数是偶函数,不是奇函数,故B错误. 对于函数y=,定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),∴该函数是奇函数.对于值域,其值域为(-∞,0)∪(0,+∞),不是R,故C错误. 对于函数y=x-,定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),∴该函数是奇函数.当x→+∞时,y=x-→+∞;当x→-∞时,y=x-→-∞;当x→0-时,y=x-→+∞;当x→0+时,y=x-→-∞,∴值域为R,故D正确. 考点二　函数奇偶性的应用 角度1　求解析式(函数值) [例2]　已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=4-x+1,则函数f(x)的 解析式为　　　　　 　　 .  f(x)= [解析]　当x>0时,-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-(4x+1)=-4x-1. 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0. 综上,函数f(x)的解析式为f(x)= 角度2　求参数值 [例3]　已知函数f(x)=(x+a)是偶函数,则实数a=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 [解析]　对于函数f(x)=(x+a)·,有e2x-1≠0,解得x≠0, 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)=(x+a)·=. 因为函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即=,可得a-x=-(x+a)对任意的x≠0恒成立,则a=0. B 角度3　比较大小或解不等式 [例4]　(1)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2,则不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为(　　) A.[-5,-] B.(-∞,-5]∪[-,+∞) C.[,5] D.(-∞,]∪[5,+∞) D [解析]　易知函数f(x)的定义域为R, 又f(-x)=(-x)2+ln(e-x+ex)-2=x2+ln(ex+e-x)-2=f(x),故f(x)为偶函数, 当x≥0时,ex≥1, 令t=ex≥1,结合对勾函数y=t+在[1,+∞)上单调递增,y=ex在[0,+∞)上单调递增, 由复合函数的单调性可知y=ex+e-x在[0,+∞)上单调递增. 又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,故y=ln(ex+e-x)在[0,+∞)上单调递增, 易知f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2在[0,+∞)上单调递增, 结合函数为偶函数,所以由f(x+2)≤f(2x-3)可得|x+2|≤|2x-3|, 即3x2-16x+5≥0,解得x≥5或x≤, 所以不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为(-∞,]∪[5,+∞). (2)(2026·山东日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x) -f(x)=0;②对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0.则f(-), f(π),f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) A [解析]　因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0, 所以函数f(x)是偶函数. 对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0, 所以不妨设x1>x2,则有f(x1)-f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2), 因此当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数. 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-)=f(),f(-3)=f(3). 因为当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数, 所以f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)>f(-). 方法总结 1.求函数值或参数的取值,关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值,或得到关于参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小. 3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,利用单调性把符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). 跟踪训练 2.(2026·天津模拟)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)=(　　) A.-3 B.4 C.5 D.6 解析:因为函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)-2=f(2)+2, 故f(-2)=f(2)+4=2+4=6. D 3.(2026·河北唐山模拟)已知f(x)=e|x|,则下列说法正确的是(　　) A.f(5)>f(-3)>f(2) B.f(-3)>f(2)>f(5) C.f(5)>f(2)>f(-3) D.f(2)>f(5)>f(-3) 解析:已知f(x)=e|x|,其定义域为R,关于原点对称, 且f(-x)=e|-x|=e|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数, 所以f(-3)=f(3). 当x≥0时,f(x)=ex. 因为e>1,所以f(x)=ex在[0,+∞)上单调递增. 因为5>3>2,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(5)>f(3)>f(2). 又因为f(-3)=f(3),所以f(5)>f(-3)>f(2). A 4.已知函数f(x)=x(2|x|+3),则使f(2t+1)+f(t2-1)<0成立的实数t的取值范围是　　　　.  解析:由题意得f(x)的定义域为R,其定义域关于原点对称, f(-x)=-x(2|-x|+3)=-x(2|x|+3)=-f(x),故函数f(x)为奇函数. 当x≥0时,f(x)=x(2x+3)=2(x+)2-, 则当x≥0时,f(x)单调递增.因为f(x)为奇函数,则f(x)在R上单调递增, f(2t+1)+f(t2-1)<0, 即f(2t+1)<-f(t2-1), 即f(2t+1)<f(1-t2),则2t+1<1-t2,则t∈(-2,0). (-2,0) 考点三　函数的周期性 [例5]　(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则下列说法正确的是(　 　) A.函数f(x)的周期为2 B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=0 C.f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=0,n∈N* D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),n∈N*的值可能为2 BCD [解析]　由题得f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,A选项错误; f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2, f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0,B选项正确; f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+0-2=0,C选项正确; f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(1)=2,D选项正确. 方法总结 1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可以将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 跟踪训练 5.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　) A.-　　　　　　　　 B. - C. D. 解析:由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对x∈R恒成立, 所以f(-)=f()=f()=5-2×=-. A 6.设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在(5,6]上的解析式f(x)=　　　 　.  解析:当x∈(5,6]时,x-6∈(-1,0],-(x-6)∈[0,1),故f(x)=f(x-6)=-f(-(x-6))= -log2(7-x). -log2(7-x) $