第2章 第1节 函数的概念与表示-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念、定义域值域、解析式求法及分段函数应用，依据高考评价体系梳理三大核心考点，明确“分段函数求值与不等式”“函数解析式求法”等高频考查方向，通过知识体系构建与常考题型归纳，体现高考备考的精准性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，如以分段函数不等式为例，运用“分类讨论法”培养数学思维，结合换元法、配凑法突破解析式求法，帮助学生掌握解题技巧，教师可借助其系统复习框架，提升学生高考冲刺效率与复习教学质量。

第一节　函数的概念与表示 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.了解函数的含义及表示方法.　2.了解简单的分段函数,并会简单应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的概念 1.函数的定义 一般地,设A,B是 的实数集,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 非空 任意 唯一确定 2.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 . 定义域 值域 知识点一　函数的概念 3.函数的三要素 、 和对应关系. 4.表示函数的常用方法 、 和解析法. 定义域 值域 列表法 图象法 知识点一　函数的概念 知识点二　分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数. 常用结论 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.函数的定义实质是两个非空实数集A与B的一对一或多对一的对应.函数的定义域为A,值域为B的子集. 3.分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 自我评价 1.(多选)下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的是( 　　) 解析:对于A,多个x对应一个y,能表示函数; 对于B,在y轴左侧或右侧,一个x对应多个y,不能表示函数; 对于C,一个x对应一个y,能表示函数; 对于D,为不连续的点函数. ACD 2.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=与g(x)=x C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=x与g(x)= AC 解析:f(x)=x2-2x-1的定义域为R,g(s)=s2-2s-1的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故A正确; f(x)==-x的定义域为{x|x≤0},g(x)=x的定义域为{x|x≤0},定义域相同,对应关系不同,不是同一个函数,故B错误; f(x)==1的定义域为{x|x≠0},g(x)==1的定义域为{x|x≠0},定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故C正确; f(x)=x的定义域为R,g(x)==|x|的定义域为R,定义域相同,对应关系不同,不是同一个函数,故D错误. 3.(人A必修第一册P101T7改编)已知f(x)=则f(f(3))=　　　　.  1 解析:f(f(3))=f(-|3-2|+1)=f(0)=-02+1=1. 4.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)的解析式为　　　　 　　.  解析:∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即ax+5a+b=2x+17, ∴ ∴f(x)=2x+7(x∈R). f(x)=2x+7(x∈R) 关键能力　重点探究 考点一　函数的概念 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.函数y=·与函数y=表示同一个函数 B.已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|0≤x≤2},对应关系f:x→能构成从A到B的函数 C.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 D.若f(x)=|x-1|-x,则f(f())=0 BC [解析]　对于y=·,有解得x≥1, 则y=·的定义域为[1,+∞), 对于y=,有x2-1≥0,解得x≤-1或x≥1, 则y=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞), 即y=·与y=的定义域不一致, 所以这两个函数不表示同一个函数,故A错误; 当x∈A时,0≤≤2,且x与唯一一个对应,根据函数定义可得f:x→能构成从A到B的函数,故B正确; 由函数的定义知,f(x)的图象与y轴最多有一个交点,故C正确; 由f(x)=|x-1|-x,可得f()=0,所以f(f())=f(0)=1,故D错误. (2)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数y=的定义域为(　　) A.(1,8]　　　　　　　　 B.[-4,1)∪(1,8] C.(1,2] D.[-1,1)∪(1,2] [解析]　由题意得 解得-1≤x≤2且x≠1.故y=的定义域为[-1,1)∪(1,2]. D 方法总结 1.两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 2.抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 跟踪训练 1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　) A.x+|y|=1　　　　　　 B.x2+y2=1 C.2x2+y=1 D.2x+y2=1 解析:对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误; 对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误; 对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数的定义,故C正确; 对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误. C 2.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],求f()+f(x-1)的定义域. 解:由f(x)的定义域为[-1,1], ∴ 解得0≤x≤2, 即f()+f(x-1)的定义域为[0,2]. 考点二　求函数的解析式 [例2]　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; [解]　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2], 则sin x=1-t. ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. ∴f(x)=2x-x2(0≤x≤2). (2)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式; [解]　(配凑法)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2, 又x2+≥2=2, 当且仅当x2=,即x=±1时等号成立. 设t=x2+, 则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2), ∴f(x)=x2-2(x≥2). (3)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. [解]　(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2,① ∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,② 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6, ∴f(x)=3x-2(x∈R). 方法总结 函数解析式的求法 1.配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2+,ax±a-x与a2x+a-2x,sin x±cos x与sin xcos x一般都运用配凑法. 2.换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. 3.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 4.解方程组法:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x),充分体现了方程思想的应用. 跟踪训练 3.已知f(+1)=lg x,则f(x)=　　 　　.  解析:令t=+1,因为x>0,则t>1,则x=,f(t)=lg,t>1, 则f(x)=lg(x>1). lg(x>1) 4.f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则f(x)=　　　　.  解析:依题意,可设函数f(x)=kx+b(k≠0), 则f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b, 由3f(x+1)-f(x)=2x+9, 可得3(kx+k+b)-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9, 所以 故函数f(x)的解析式为f(x)=x+3. x+3 5.f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)=　　　　　 .  解析:已知2f(x)+f()=3x-1,① 以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1,② ①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0). 2x--(x≠0) 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 [例3]　(2026·山东潍坊模拟)已知函数f(x)= 则f(f(-1))=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B [解析]　将x=-1代入,得到f(-1)=(-1)2+(-1)=0, 所以f(f(-1))=f(0),将x=0代入,得到f(0)=e0+ln 1=1. 因此f(f(-1))=f(0)=1. 角度2　分段函数方程与不等式 [例4]　(1)(2026·江西宜春模拟)已知函数f(x)=若f(1-a)=4,则a的值为(　　) A.0或 B.0或 C. D. A [解析]　若1-a≥0,即a≤1,可得f(1-a)=41-a=4, 解得a=0,符合; 若1-a<0,即a>1,可得f(1-a)=22a-1=4,解得a=,符合. 综上可知,a的值为0或. (2)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A.(-3,1)∪(2,+∞) B.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) B [解析]　因为f(x)=所以f(1)=12-4+6=3,不等式f(x)>f(1)等价于 解得0≤x<1或x>3或-3<x<0, 所以不等式f(x)>f(1)的解集为(-3,1)∪(3,+∞). 方法总结 解决分段函数问题的方法 1.求分段函数的函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f(a))的值时,应由内到外依次求值. 2.已知函数值或范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 跟踪训练 6.(2026·安徽六安模拟)已知函数f(x)=则f(10)=(　　) A.1 B.3 C.4 D.6 解析:f(10)=f(7)+1=f(4)+2=f(1)+3=30+3=4. C 7.设函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集是(　　) A.(-∞,-1)∪(0,) B.(-∞,-1)∪(,1) C.(-1,) D.(-∞,) A 解析:因为f(x)= 所以所以x<-1或0<x<, 所以不等式f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(0,). $