第2章 第12节 函数模型及应用-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及应用”专题，依据高考评价体系梳理了指数、对数、幂函数模型性质比较及常见函数模型两大核心考点，通过对比表格明确增长速度差异，结合消毒残留量、声音等级等真题改编题，突出“模型选择”“参数求解”等高频考查要求，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+素养落地”，如以手机充电电量分段函数为例，用待定系数法推导参数培养数学思维，通过散点图分析强化数学眼光。总结“建模-推理-解释”三步法，助力学生掌握实际问题转化技巧，教师可依托方法总结和随堂训练精准突破考点，提升复习效率。

第十二节　函数模型及应用 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画实际问题的变化规律. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 性质 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点二　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 自我评价 1.某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒,需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=a·()x+b(a>0) C.y=xa+b(a>0) D.y=ax+(a>0,b>0) B 解析:由题图可知,函数在(0,+∞) 上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·()x+b 的图象为一条曲线,且当a>0 时,该函数单调递减,符合题意. 2.(人A必修第一册P141T10改编)声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足f(x)=10×lg.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为 140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍,则一般说话时声音的等级约为(　　) A.120 dB　　　 B.100 dB C.80 dB D.60 dB 解析:设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1,x2,由题意可得f(x1)=10×lg=140,解得x1=102.因为==108,所以x2= 10-6,所以f(10-6)=10×lg=60,所以一般说话时声音的等级约为60 dB. D 3.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为　　　　　.(参考数据: ≈1.259,结果保留一位小数)   解析:由题意知4.9=5+lg V, 得lg V=-0.1, 得V=≈0.8, 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 0.8 关键能力　重点探究 考点一　指数、对数、幂函数增长速度问题 [例1]　现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据如表: 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　) A.v=log2t　　　　　　 B.v=t C.v= D.v=2t-2 t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 C [解析]　从表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快, A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意; B项,随着t的增大,v变小,不符合题意; C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意; D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意. 跟踪训练 1.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图则下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的是(　　) A.y=mx2+n(m>0) B.y=max+n(m>0,0<a<1) C.y=max+n(m>0,a>1) D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1) 解析:由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型, 并且m>0,0<a<1. B 考点二　已知函数模型的实际问题 [例2]　(2026·河北保定模拟)手机实际充电过程中,为保护电池健康,在不同电量时往往采用不同的模式充电,某旧电池从某个电量开始充电到充满电为100%的模拟充电实验中,手机电量Q(t)(单位:%)与充电时间t(单位:min)近似满足:当0≤t<10时,Q(t)=55·;当10≤t≤60时,Q(t)=at2-+b;当t>60时,Q(t)=90lg t-80.其中a,b∈R.设t=0为该旧电池开始充电的时刻,Q(10)=55,Q(60)=80.已知Q(t)单调递增,当手机检测到电池已经充满电时,系统会自动断开充电连接. (1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电时的时间; [解]　由题意,开始充电的时刻为t=0,此时Q(t)=55·,将t=0代入得Q(0)=55·=27.5.故该旧电池开始充电时的电量为27.5%. 充满电即电量达到100%,即Q(t)=100, 由于Q(60)=80,已知Q(t)单调递增, 故充满电的时刻t必大于60,此时Q(t)=90lg t-80, 令Q(t)=100,得90lg t-80=100,lg t=2,即t=100. 又t=100>60,符合定义域,故充满电时的时间是100 min. (2)求a,b的值. [解]　易知Q(10)=100a-2+b=55, 即100a+b=57. Q(60)=a×602-+b=80,化简得3 600a+b=92. 联立,解得a=,b=56. 经检验,此时满足Q(t)单调递增的要求,故a=,b=56. 方法总结 求解已知函数模型解决实际问题的关键 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数. 3.利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 跟踪训练 2.(2026·辽宁大连模拟)已知池塘中的荷花每经过一天的生长,荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍.若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶大约生长了(参考数据:lg 2≈0.3) (　　) A.15天 B.16天 C.17天 D.18天 C 解析:设荷叶覆盖水面的初始面积为a, 则经过x天荷叶覆盖水面的面积y=a·()x(x∈N*), 由题意得2a·()x=a·()20, 即241-2x=520-x, 两边取以10为底的对数得(41-2x)lg 2=(20-x)lg 5, 所以(41-2x)×0.3=(20-x)×0.7, 解得x=17. 所以当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶大约生长了17天. 考点三　构建基本初等函数模型求解实际问题 [例3]　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位:m/s),且0≤v≤33.3时,通过分析得到如表所示数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1=0.8 s t2=0.2 s t3 距离 d0=30 m d1 d2 d3= m (1)请写出报警距离d(单位:m)与车速v(单位:m/s)之间的表达式. [解]　根据题意,d=d0+d1+d2+d3=30+0.8v+0.2v+=30+v+ (0≤v≤33.3). (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下? [解]　根据题意,对任意的k∈[0.5,0.9],d<90恒成立,即对任意的k∈[0.5,0.9],30+v+<90恒成立. 易知当v=0时,满足题意; 当0<v≤33.3时,有<-对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立, 由k∈[0.5,0.9],得∈[,], 所以->, 即v2+10v-600<0,解得-30<v<20, 所以0<v<20. 综上,0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下. 方法总结 构建函数模型解决实际问题的步骤 1.建模:抽象出实际问题的数学模型. 2.推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解. 3.评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解. 跟踪训练 3.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯构成,其结构是多层式,假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 A 解析:设经过n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y,则y=80× (1-)n=80×()n, 令80×()n≤2,解得()n≤,两边取常用对数得nlg≤lg, 即nlg≥lg 40,即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2.因为lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以(0.48-0.30)n≥1.60,解得n≥,因为n∈N*,所以n的最小值为9. $