第2章 第6节 幂函数与二次函数-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数与二次函数”核心考点，依据新课标要求梳理了幂函数概念、图象性质及二次函数定义、解析式、图象与性质。通过表格对比五个幂函数定义域、值域、单调性，归纳二次函数三种形式及“三点一轴”分析框架，对接高考评价体系中数学抽象、逻辑推理素养，明确二次函数单调性与最值、幂函数图象判断为高频考点，覆盖多选、填空、解答等题型。 课件亮点在于“真题导向+方法建模”，如二次函数最值问题采用对称轴与区间位置关系分类讨论，幂函数比较大小运用“指大图低/高”规律，培养学生逻辑思维与数学建模能力。通过自我评价与跟踪训练中的高考真题变式（如幂函数定义域值域综合题、二次函数闭区间值域题），帮助学生掌握解题技巧，教师可依托此课件系统开展专题复习，提升学生应试得分率。

第六节　幂函数与二次函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.通过具体实例,理解幂函数的概念.　2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律.　 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　幂函数 1.幂函数的概念 一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数. y=xα 知识点一　幂函数 2.五个简单幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R {x|x≥0} ________ 值域 R {y|y≥0} R ________ {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 _______ {x|x≠0} {y|y≥0} 奇函数 知识点一　幂函数 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 单调性 在R上 单调 递增 在(-∞,0)上单调 递减,在(0,+∞) 上单调递增 在R上 单调 递增 在[0, +∞)上 单调递增 在(-∞,0)和(0, +∞)上单调递减 图象   知识点一　幂函数 3.幂函数的性质 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义. (2)当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,+∞)上单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,+∞)上单调递减. (4)当α为奇数时,y=xα为 ;当α为偶数时,y=xα为 . (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 知识点一　幂函数 4.幂函数在第一象限的图象中,以直线x=1为分界,当0<x<1时,α 越大,图象越低(即图象越靠近x轴,可记为“指大图低”);当x>1时,α 越大,图象越高(即图象离x轴越远,可记为“指大图高”). 知识点二　二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)= . 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为 . 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的 . ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 零点 知识点二　二次函数 2.二次函数的图象与性质 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 图象     定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 知识点二　二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 单调性 在(-∞,-]上单调递减,　 在[-,+∞)上单调递增　　 在(-∞,-]上单调递增,　 在[-,+∞)上单调递减　　 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 对称轴:x=-;顶点:(-,) 自我评价 1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　) A.　　　　　　　　　 B.1 C. D.2 解析:由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(,),所以()α=,解得α=,则k+α=. C 2.函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为(　　) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] 解析:函数f(x)=-2x2+4x的对称轴为直线x=1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(-1)=-2-4=-6,即f(x) 的值域为[-6,2]. A 3.已知幂函数f(x)=.若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围为　　　　　.  解析:由题意知解得3<a<5. (3,5) 4.若函数y=x2-2tx+3在[1,+∞)上单调递增,则t的取值范围是　　　　　.  解析:函数y=x2-2tx+3 的图象开口向上,以直线x=t 为对称轴.又函数y=x2-2tx+3 在[1,+∞) 上单调递增,则t≤1. (-∞,1] 关键能力　重点探究 考点一　幂函数的图象与性质 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　 　) A.f(x)=xα 是幂函数,则“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充要条件 B.幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=2 C.幂函数y=xα中α的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为 D.“m=-1”是“幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增”的充要条件 BCD [解析]　对于A,当α 是正偶数时,显然f(x)=xα≥0,即其值域为[0,+∞).当f(x)=时,f(x)的值域为[0,+∞),但α 不是正偶数.故“α 是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充分不必要条件,A错误. 对于B,由幂函数的定义,知m2-3m+3=1, 解得m=1 或m=2.当m=1 时,f(x)=x的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2 时,f(x)=x2的图象关于y 轴对称, 因此m=2,B正确. 对于C,当α=-1时,y=的定义域和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意; α=0时,y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为{1},故不符合题意; α=时,y=的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),符合题意; α=1时,y=x的定义域与值域均为R,符合题意; α=2时,y=x2的定义域为R,值域为[0,+∞),不符合题意; α=3时,y=x3的定义域与值域均为R,符合题意,C正确. 对于D,必要性:因为函数f(x)是偶函数, 且在(-∞,0)上单调递增, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以m2+2m-3<0, 即(m-1)(m+3)<0, 解得-3<m<1, 又因为m∈Z,所以m=-2或m=-1或m=0. 当m=0或m=-2时,f(x)=x-3, 此时f(x)为奇函数,不满足题意; 当m=-1时,f(x)=, 此时f(x)为偶函数,满足题意,必要性得证;充分性:当m=-1时,f(x)=x-4是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,充分性得证,D正确. 方法总结 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 跟踪训练 1.已知幂函数y=(p,q∈N*,q>1且p,q互质)的图象如图所示,则(　　) A.p,q均为奇数,且>1 B.q为偶数,p为奇数,且>1 C.q为奇数,p为偶数,且>1 D.q为奇数,p为偶数,且0<<1 D 解析:由幂函数y= 的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p 为偶数,则q 为奇数.因为幂函数y= 的图象在第一象限内向上凸起,且在(0,+∞) 上单调递增,所以0<<1. 2.若a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　　　　　 B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 解析:因为y=在第一象限内是增函数, 所以a=(>b=(. 因为y=()x是减函数, 所以a=(<c=(,所以b<a<c. D 考点二　二次函数的图象与性质 角度1　二次函数的图象 [例2]　(多选)函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) BD [解析]　对于A,当a=-1时,f(x)=-x2-2x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x=-1,g(x)=x-1=,其图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,故A正确; 对于B,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,故B错误; 对于C,当a=时,f(x)=x2-2x+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=2,g(x)=,其图象在[0,+∞)上单调递增,且越来越平缓,故C正确; 对于D,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为 x=-=>0,故D错误. 角度2　二次函数的单调性问题 [例3]　已知函数f(x)=x2-4x-11,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 　 　　　　.  (-∞,-2)∪(1,+∞) [解析]　因为二次函数f(x)=x2-4x-11的图象开口向上,对称轴方程为x=2, 则f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增. 由f(2-a2)>f(a), 得|2-a2-2|>|a-2|,即|a2|>|a-2|, 两边平方后,再通过移项和平方差公式, 化简得(a2+a-2)(a2-a+2)>0, 而a2-a+2=(a-)2+>0, 所以(a+2)(a-1)>0, 所以a∈(-∞,-2)∪(1,+∞). 角度3　二次函数的最值问题 [例4]　已知函数f(x)=-x2+ax-a. (1)若f(x)的最大值为0,求实数a的值; [解]　 f(x)=-x2+ax-a=-(x-)2+-a,因为f(x)的最大值为0,所以-a=0,所以a=0或a=4. (2)设f(x)在区间[0,2]上的最大值为M(a),求M(a)的表达式. [解]　函数f(x)=-x2+ax-a的对称轴为x=,当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递减,所以M(a)=f(0)=-a;当0<<2,即0<a<4时,当x∈(,2]时,f(x)单调递减,当x∈[0,)时,f(x)单调递增,所以M(a)=f()=-a;当≥2,即a≥4时,f(x)在[0,2]上单调递增,所以M(a)=f(2)=a-4. 综上,M(a)= 方法总结 二次函数性质问题的类型及求解策略 1.类型:(1)对称轴和区间都是固定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间动. 2.求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 跟踪训练 3.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　　.  [2,4] 解析:解方程f(x)=x2-4x+2=2,得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x+2=-2,得x=2. 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2], 若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2; 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调, 且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4], 所以b-a的最大值为4. 所以b-a的取值范围是[2,4]. 4.已知f(x)=ax2-2x+1,若y=在[0,]上单调,求实数a的取值范围. 解:∵x∈[0,],f(0)=1>0,令f()=a-+1≥0, ∴a≥, ∴f(x)=ax2-2x+1表示开口向上的抛物线. ∵y=在[0,]上单调,∴f(x)=ax2-2x+1在[0,]上单调, ∴对称轴x=≥,∴a≤. 综上,a的取值范围为[,]. $