第2章 第4节 函数的奇偶性、周期性-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性、周期性”专题，依据高考评价体系梳理了定义理解、性质应用、综合解题三大考查维度，明确奇偶性判断、参数求解、周期性求值为高频考点，归纳出定义法、图象法、性质转化等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”策略，如结合2023新课标Ⅱ卷奇偶性求参数题，用定义法与奇函数性质突破，培养数学思维的推理能力，通过周期性转化区间求解析式（例5）强化数学语言的符号表达。特设易错点警示与题型训练，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第四节　函数的奇偶性、周期性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.了解函数奇偶性的含义,并能解决奇偶性问题.　2.了解函数的周期性及其几何意义. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D, 且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D, 且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 知识点二　函数的周期性 1.周期函数 设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T为这个函数的一个周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 常用结论 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)在公共定义域内有:奇函数± 奇函数= 奇函数,偶函数± 偶函数= 偶函数,奇函数×奇函数= 偶函数,偶函数×偶函数= 偶函数,奇函数×偶函数= 奇函数. (4)只有函数在x=0 处有定义时,f(0)=0才是f(x)为奇函数的必要不充分条件. 2.函数周期性的常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量x的值, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). (4)若f(x+a)=f(x+b),则|a-b| 是函数f(x) 的一个周期. 自我评价 1.(多选)下列函数为偶函数的是(　　) A.y=x2sin x　　　　 B.f(x)=ax+a-x C.y=ln |x| D.y=2-x 解析:根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,所以A为奇函数;B,C为偶函数;D既不是奇函数,也不是偶函数. BC 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+1,则f(2 026.5)=(　　) A. B. C.2 D.1 解析:由f(x+2)=f(x)可知,函数f(x)的周期为2, 当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+1, ∴f(2 026.5)=f(2 026+)=f()=+1=. B 3.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2,则f(a)+f(b)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:依题意得a-4+2a-2=0,解得a=2,由f(0)=b+2=0,得b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0. A 4.(人A必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的 解集为　　　　　　. 解析:由图象可知,当0<x<2时,f(x)>0; 当2<x≤5时,f(x)<0, 又f(x)是奇函数, ∴当-2<x<0时,f(x)<0, 当-5≤x<-2时,f(x)>0. 综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5]. (-2,0)∪(2,5] 关键能力　重点探究 考点一　函数奇偶性的判断 [例1]　(1)(多选)下列奇偶性判断,错误的是(　 　) A.f(x)=ln(-x)是偶函数 B.f(x)=+是非奇非偶函数 C.f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]是偶函数 D.f(x)=是奇函数 ABC [解析]　对于A,f(x)的定义域为R,由f(x)+f(-x)=ln(-x) +ln(+x)=ln[(1+x2)-x2]=ln 1=0,知f(x)=ln(-x)是奇函数, A错误; 对于B,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称, f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数,又是偶函数,B错误; 对于C,因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数,C错误; 对于D,法一(定义法): 当x>0 时,f(x)=-x2+2x+1, 即-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x); 当x<0 时,f(x)=x2+2x-1, 即-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x), 所以f(x) 为奇函数,D正确. 法二(图象法):作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数f(x)为奇函数. (2)(2026·河南新乡模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),则下列结论一定正确的是(　　) A.f(x)+1是奇函数　　　 B.f(x-1)是奇函数 C.f(x)-1是奇函数 D.f(x+1)是奇函数 B [解析]　对于B,因为f(x+y+1)=f(x)+f(y), 令x=y=-1,可得f(-1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0. 令y=-2-x,则f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0, 故f(x)的图象关于点(-1,0) 对称, 则f(x-1)的图象关于点(0,0)对称, 即f(x-1)是奇函数,故B正确. 对于C,法一:令x=y=0,可得f(1)=f(0)+f(0), 则f(0)=f(1), 当f(1)≠2时,f(0)-1≠0, 此时f(x)-1不可能是奇函数, 由于无法确定f(1)的值,故f(x)-1不一定是奇函数. 法二:取f(x)=-x-1,满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)-1=-x-2, 不是奇函数,故C错误. 对于A,D,取f(x)=x+1,满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)+1=x+2与f(x+1)=x+2都不是奇函数,故A,D错误. 方法总结 1.函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件. 2.若定义域关于原点对称,则判断f(x) 与f(-x) 是否具有等量关系,在具体运算中,可转化为判断f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.对于抽象函数的奇偶性一般用定义或对称性判断. 注意:对于分段函数奇偶性的判断,要分段判断f(-x)=f(x) 或f(-x)=-f(x) 是否成立,只有当所有区间都满足相同关系时,才能判断该分段函数的奇偶性. 跟踪训练 1.下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= B 解析:法一:对于A,f(-x)==≠f(x),故f(x)不是偶函数; 对于B,f(-x)===f(x), 故f(x)是偶函数; 对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1}, 不关于原点对称,故f(x)不是偶函数; 对于D,f(-x)= ==-=-f(x), 故f(x)是奇函数. 法二:易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数,且恒为正. 对于A,由于y=ex-x2是非奇非偶函数, 所以f(x)也是非奇非偶函数; 对于B,y=cos x+x2是偶函数, 所以f(x)是偶函数; 对于C,易知f(x)的定义域不关于原点对称, 所以f(x)是非奇非偶函数; 对于D,y=sin x+4x是奇函数, 所以f(x)是奇函数. 2.(2026·北京模拟)已知定义域为R的函数f(x),g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“函数y=f(x)·g(x)为偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析:因为“f(x),g(x)均为偶函数”可以推出“函数y=f(x)·g(x)为偶函数”,所以“f(x),g(x)均为偶函数”是“函数y=f(x)·g(x)为偶函数”的充分条件; 因为当f(x),g(x)均为奇函数时,y=f(x)·g(x)也为偶函数, 所以“f(x),g(x)均为偶函数”不是“函数y=f(x)·g(x)为偶函数”的必要条件. 综上,“f(x),g(x)均为偶函数”是“函数y=f(x)·g(x)为偶函数”的充分不必要条件. 考点二　函数奇偶性的应用 角度1　求解析式(函数值) [例2]　已知函数f(x)=是奇函数,则当x>0时,g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=-()x B.g(x)=()x C.g(x)=-2x D.g(x)=2x C [解析]　设x>0,则-x<0,所以f(-x)=()-x=2x,又函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=2x⇒f(x)=-2x,x>0, 即g(x)=-2x. 角度2　求参数的值 [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 B [解析]　法一:因为f(x)为偶函数, 则 f(1)=f(-1), 即(1+a)ln=(-1+a)ln 3,解得a=0. 当a=0时,f(x)=xln. 由(2x-1)(2x+1)>0,解得x>或x<-, 则其定义域为,关于原点对称. f(-x)=(-x)ln=(-x)ln=(-x)ln()-1=xln=f(x), 此时f(x)为偶函数,符合题意, 故a=0. 法二:设g(x)=ln, 易知g(x)的定义域为(-∞,-)∪(,+∞), 且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)为奇函数. 若f(x)=(x+a)ln为偶函数, 则y=x+a也应为奇函数,所以a=0. 角度3　解不等式 [例4]　(2026·重庆模拟)设函数f(x)=log2|x|-x-2,则不等式f(x-2)≥f(2x+2)的解集为(　　) A.[-4,0] B.[-4,0) C.[-4,-1)∪(-1,0] D.[-4,-1)∪(-1,0) C [解析]　函数f(x)=log2|x|-x-2的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=log2|-x|-(-x)-2 =log2|x|-x-2=f(x),所以f(x)=log2|x|-x-2为偶函数. 当x>0时,f(x)=log2x-x-2,因为y=log2x与y=-x-2在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=log2x-x-2在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,不等式f(x-2)≥f(2x+2),即f(|x-2|)≥f(|2x+2|),等价于解得-4≤x<-1或-1<x≤0,所以不等式的解集为[-4,-1)∪(-1,0]. 方法总结 1.利用函数的奇偶性可以求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 2.利用函数的奇偶性解不等式,可以利用函数的单调性求解,也可以画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 跟踪训练 3.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-.若f(2)+f(0)=1,则f(-3) =(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.1 解析:因为f(x) 是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为f(2)+f(0)=1,所以f(2)=4-=1,解得a=6,所以f(x)=2x-(x>0), 所以f(-3)=-f(3)=-(6-)=-4. A 4.(2026·江苏苏州模拟)f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式中一定成立的是(　　) A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2) C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(6) 解析:因为f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,所以f(-1)=f(1). 又f(3)>f(1),则f(-1)<f(3),所以C正确; 又由题设条件得不到f(x)在[-6,6]上的单调性,所以A,B,D不一定成立. C 5.(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,f(x)+g(x)=2·3x,则函数f(x)=　　　 　　.  解析:因为f(x)+g(x)=2·3x,所以f(-x)+g(-x)=2·.又f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2·,则 两式相加得,2f(x)=2·3x+2·,所以f(x)=3x+. 3x+ 考点三　函数的周期性 [例5]　(1)(2026·山西太原模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的一个周期为4,若f(1)+f(2)+…+f(2 026)=2,则f(1)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]　由题知故f(-2)=f(2)=0.又f(3)=f(-1)= -f(1),f(4)=f(0)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 结合周期性可知f(1)+f(2)+…+f(2 026) =506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1), 故f(1)=2. C (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x-2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2-4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=-x2-4x B.f(x)=x2-16x+60 C.f(x)=x2-12x+32 D.f(x)=-x2+12x-32 D [解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x-2)为偶函数, 所以f(-x)=-f(x),f(-x-2)=f(x-2)=-f(x+2), 所以f(x)=f(x+2-2)=-f(x+2+2)=-f(x+4), 所以f(x)的一个周期为8. 又当0≤x≤2时,f(x)=x2-4x, 当6≤x≤8时,0≤8-x≤2,所以f(8-x)=(8-x)2-4(8-x)=x2-12x+32. 又f(x)是周期为8的奇函数, 所以f(x)=f(x-8)=-f(8-x)=-(x2-12x+32)=-x2+12x-32, 故f(x)=-x2+12x-32,x∈[6,8]. 方法总结 1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 跟踪训练 6.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　) A.- B.- C. D. 解析:f(-)=f()=f(+2)=5-2×=-. A 7.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则下列结论正确的是(　 　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6,-3]时,f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的一条对称轴为直线x= ACD 解析:因为f(x-3)=-f(x),所以f(x)=-f(x+3),则f(x-3)=f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故A正确; 当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则当x∈[-6,-3]时,x+6∈[0,3],f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3 (x+6)=x2+9x+18,故B错误; 由f(x+6)=f(x),得函数f(x)的一个周期为6,得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)= -2,f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0,f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2, 所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024),故C正确; 由A选项知,f(x)=-f(x+3),又f(x)=-f(-x),则f(x+3)=f(-x),所以函数f(x)的一条对称轴为直线x=,故D正确. $