第2章 第2节 函数的单调性-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数单调性”专题，依据高考评价体系梳理了单调函数定义、单调区间判定、单调性证明三大核心考点，通过课标要求明确“符号语言表达”“单调区间求解”为高频考查内容，归纳出选择判断、填空求解、解答证明等典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编+方法建模+易错警示”策略，如以教材改编题为例，详解定义法“取值-作差-变形-定号-下结论”步骤，用复合函数“同增异减”培养数学思维，通过多选错题分析强调单调区间书写规范，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效开展专题复习。

第二节　函数的单调性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解其意义.　2.理解并会求单调区间. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　单调函数的定义 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2)   增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增, 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 知识点一　单调函数的定义   增函数 减函数 图象 描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 知识点二　单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 常用结论 1.函数单调性的两个等价结论 设∀x1,x2∈I(x1≠x2),则 (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减. 2.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. (4)复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”. (5)若f(x),g(x)在同一区间都是增(减)函数,当f(x)>0,g(x)>0时,则f(x)·g(x) 是增(减)函数;当f(x)<0,g(x)<0时,f(x)·g(x)是减(增)函数. 自我评价 1.下列函数中,在其定义域上是减函数的是(　　) A.y=-2x+1　　　　　 B.y=x2+1 C.y= D.y=2x 解析:y=-2x+1在R上是减函数,故A正确; y=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; y=在[0,+∞)上是增函数,故C错误; y=2x在R上是增函数,故D错误. A 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=-x+1 B.y=(x-1)2 C.y=|ln x| D.y=x 解析:y=-x+1在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; y=(x-1)2在(0,+∞)上不单调,不符合题意; 因为y=|ln x|=所以y=|ln x|在(0,+∞)上不单调,不符合题意; y=x在(0,+∞)上单调递增,符合题意. D 3.(多选)(原创)下列说法错误的是(　 　) A.若f(x)在R上是减函数,则f(0)>f(1) B.函数f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 C.若函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递减,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3] D.f(x)=在定义域内单调递减 BCD 解析:由f(x)在R上是减函数,得f(0)>f(1),故A正确. 函数f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具备单调性,故B错误. 函数f(x)=-x2在区间[1,3]上单调递减,而f(x)的单调递减区间是[0,+∞),故C错误. 对于D,当x=4时,f(4)=1,而f(3)=-3,不符合减函数定义,故D错误. 4.(人A必修第一册P86T7改编)函数f(x)=的单调递增区间是 　　　　　.  解析:由题意可知x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞), 设y=,u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1), 所以f(x)的单调递增区间是[2,+∞). [2,+∞) 关键能力　重点探究 考点一　函数单调性的判断 [例1]　(1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得 <0”的是(　　) A.f(x)=-x2-2x+1 B.f(x)=x- C.f(x)=x+1 D.f(x)=log2(2x)+1 A [解析]　根据题意,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得<0”,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数. 对于A,f(x)=-x2-2x+1为二次函数,其对称轴为x=-1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意; 对于B,f(x)=x-,其导数f'(x)=1+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于C,f(x)=x+1为一次函数, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于D,由复合函数单调性“同增异减”知,f(x)=log2(2x)+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意. (2)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增 B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增 C.函数y=x2f(x)在R上单调递增 D.函数y=在(0,+∞)上单调递增 C [解析]　因为y=f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在 (-∞,0)上也单调递增. 不妨令f(x)=x,y=f(x)+x2=x+x2=(x+)2-,所以y=f(x)+x2在(-∞,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,故A错误; 不妨令f(x)=x,y=f(x)-x2=x-x2=+,所以y=f(x)-x2在(-∞,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故B错误; y=x2f(x),其定义域为R,又(-x)2f(-x)=-x2f(x),所以y=x2f(x)是奇函数,任取0<x1<x2,则0<<,0<f(x1)<f(x2),故f(x1)<f(x2),所以y1-y2=f(x1)-f(x2)<0,则函数y=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=x2f(x)在(-∞,0)上也单调递增,且当x=0时,y=x2f(x)=0, 所以y=x2f(x)在R上单调递增,故C正确; 不妨令f(x)=x,y===,x≠0,由反比例函数的单调性可知y=在 (-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误. 方法总结 确定函数单调性的方法:定义法、导数法、图象法和性质法. 跟踪训练 1.(多选)下列说法中,正确的是(　 　) A.函数y=-在(-∞,0)上单调递减 B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)=f(x)+g(x)也是R上的增函数 C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1] D.函数f(x)=的单调递增区间为[1,+∞) ABC 解析:在(-∞,0)上函数y=e-x与y=-都单调递减,所以y=e-x-在(-∞,0)上单调递减,故A正确; 两个增函数的和仍为增函数,故B正确; 作出函数y=2|x+1|的图象,如图所示, 由图象可知,函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1],故C正确; 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(-∞,1],故D错误. 考点二　利用定义证明函数的单调性 [例2]　讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. [解]　设-1<x1<x2<1, 因为f(x)=a·=a(1+), 所以f(x1)-f(x2)=a(1+)-a(1+)= , 由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. [例3]　函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于∀x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0.证明:f(x)为减函数. [证明]　设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则>1,f()<0, 因为f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)=f()<0, 所以f(x2)<f(x1), 即f(x)为减函数. 方法总结 定义法证明函数单调性步骤:取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论. 跟踪训练 2.设函数f(x)=-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减. 证明:设∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=--2x1+2x2 =-2(x1-x2)=(x1-x2)·(-2). 因为0≤x1<x2,所以x1-x2<0,<1, 所以(x1-x2)(-2)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减. 3.(原创)已知函数f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,f(0)=0.设F(x)=,判断F(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的判断. 解:F(x)在(-∞,0)上单调递增. 证明:设x1<x2<0, ∵y=2x是增函数, ∴0<<,∴>>0,① 又f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴f(x1)<f(x2)<f(0), ∴-f(x1)>-f(x2)>0,② 由①②得->-,即F(x1)<F(x2), ∴F(x)在(-∞,0)上单调递增. 考点三　求函数的单调区间 角度1　不含参数的函数的单调区间 [例4]　(1)函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞) C [解析]　函数f(x)=(x-4)·|x|=的图象如图所示, 由图象可知函数的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞). (2)函数f(x)=(lg x)2-2lg x的单调递增区间是　　　　　　.  [解析]　函数f(x)的定义域为(0,+∞), 令t=lg x在定义域上为增函数, 则y=t2-2t=(t-1)2-1在(1,+∞)上单调递增, 由复合函数单调性的同增异减原则可得,当t=lg x>1,即x>10时,函数f(x)单调递增, 即函数f(x)单调递增区间为(10,+∞). (10,+∞) 角度2　含参数的函数的单调区间 [例5]　求函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的单调区间,并给出证明. [解]　设x1,x2是任意两个正数,且0<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=·(x1x2-a). 当0<x1<x2≤时,0<x1x2<a.又x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0,]上是减函数. 当≤x1<x2时,x1x2>a.又x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[,+∞)上是增函数. 综上可知,函数f(x)=x+(a>0)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. 变式1　将例4(1)的函数变为f(x)= |(x-4)·x|,求f(x)单调递增区间. 解:f(x)=|(x-4)·x|=的图象如图所示, 由图象可知函数的单调递增区间为(0,2)和(4,+∞). 变式2　将例4(1)的函数变为f(x)=lo((x-4)·|x|),求f(x)单调递减区间. 解:由题意可得定义域为(4,+∞),根据复合函数的单调性得到单调递减区间为(4,+∞). 变式3　讨论例5中函数f(x)=x+的单调区间. 解:当a>0时,根据例题解答和奇函数性质得到,在(0,]和[-,0)上是减函数,在[,+∞)和(-∞,-)上是增函数;当a=0时,在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a<0时,在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数. $