第1章 第4节 基本不等式-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系明确掌握公式应用、解决最值及实际问题的考查要求，通过梳理“一正二定三相等”条件、归纳直接应用与配凑法等常考题型，对接高频考点分布，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧结合，如以北京卷真题为例，用常数代换法破解“已知a+b=1求1/(a+1)+1/(b+2)最小值”，培养数学思维与模型观念，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第四节　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　2.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 1.基本不等式成立的条件:　　　　　　　.  2.等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立.  3.其中　　　　　叫做正数a,b的算术平均数,　　　　叫做正数a,b的 几何平均数.  a>0,b>0 a=b 知识点二　利用基本不等式求最值 1.已知x,y都是正数,如果xy等于定值P,那么当x=y时,x+y有最小值 　　　.  2.已知x,y都是正数,如果x+y等于定值S,那么当x=y时,xy有最大值 　　　.  注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2 S2 常用结论 几个重要的不等式 1.a2+b2≥2ab(a,b∈R). 2.+≥2(a,b同号). 3.ab≤()2(a,b∈R). 4.≥()2 (a,b∈R). 5.≤≤≤(a>0,b>0). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 自我评价 1.设a>0,则9a+的最小值为(　　) A.4　　　 B.5 C.6 D.7 解析:因为a>0,所以9a+≥2=6, 当且仅当9a=, 即a=时等号成立, 所以9a+的最小值为6. C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时等号成立,即当f(x)取得最小值时x=3,即a=3. C 3.(人A必修第一册P48练习T2改编)用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长25 m,则当围成的矩形菜园面积最大时,这个矩形菜园的宽(矩形的较短边)为(　　) A. m B. m C.10 m D.15 m 解析:设矩形的宽为x m,矩形的面积为S m2,则矩形的长为(50-2x) m,由题意知,0<x≤50-2x≤25,解得≤x≤,所以S=x(50-2x)=2x(25-x)≤ 2()2=,当且仅当x=25-x,即x=时等号成立. B 4.已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为　　　　　.  解析:由x+y=1得+=(+)(x+y)=2++≥2+2=4, 当且仅当x=y=时等号成立,即+的最小值为4. 4 关键能力　重点探究 考点一　基本不等式的直接应用 [例1]　对于下列判断,正确的是(　　) A.不等式ab≤()2与≤等号成立的条件是相同的 B.y=x+的最小值是2 C.若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4 D.函数y=cos x+,x∈(0,)的最小值为4 C [解析]　A错误,前者成立的条件是a,b∈R,后者成立的条件是a≥0,b≥0.B错误,x可以是负数.D错误,由于cos x=时,cos x=2无解,故cos x+的最小值不为4. 跟踪训练 1.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab　　　　　　　 B.+≥ C.a+b> D.+≤ C 解析:当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误; 若a=,b=,此时+=2+4=6<=8=, +=2+4=6>=4=,故B,D错误; 由基本不等式可得a+b≥2>,故C正确. 2.(多选)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是(　　) A.≥　　　　　 B.≤ C.≤ D.ab≤ BD 解析:当a>0且b>0时,由基本不等式可知≥恒成立,当a<0且b<0时,<0,>0,该不等式不成立,故A选项错误; 当a+b>0时,>0,则()2-()2==≤0恒成立,即≤ 恒成立,当a+b≤0时,原不等式恒成立,故B选项正确; 当a+b>0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≤恒成立,当a+b<0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≥,故C选项错误; 当a,b∈R时,ab≤恒成立,故D选项正确. 考点二　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法求最值 [例2]　函数f(x)=的最小值为　　　　　.  [解析]　函数f(x)= 的定义域为(1,+∞),f(x)==+≥ 2=4,当且仅当=,即x=5 时取等号,故当x=5 时,f(x)取得最小值,且最小值为4. 4 方法总结 将代数式进行适当变换,通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式,变换时要注意代数式的取值范围. 角度2　常数代换法求最值 [例3]　已知非负实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A [解析]　因为非负实数a,b满足a+b=1, 所以(a+1)+(b+2)=4, 所以[(a+1)+(b+2)]=1, 所以+=[(a+1)+(b+2)](+) =(2++)≥ (2+2)=1. 当且仅当时取等号. 综上,+的最小值为1. 常数代换法求解最值的基本步骤 1.根据已知条件或其变形确定定值(常数). 2.把确定的定值(常数)变形为1. 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式. 4.利用基本不等式求解最值. 方法总结 角度3　利用消元法求最值 [例4]　已知正数a,b满足a2-2ab+4=0,则b-的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 [解析]　∵a>0,b>0,a2-2ab+4=0,则b=+,∴b-=+-=+≥2=,当且仅当=,即a=2时,等号成立,此时b=. B 当所求最值的代数式中的变量有多个时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值. 方法总结 角度4　构造不等式法求最值 [例5]　若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为(　　) A.9 B.6 C.3 D.12 [解析]　因为a>0,b>0,所以a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立. 又ab=a+b+3,所以ab=a+b+3≥2+3,整理可得ab-2-3≥0, 解得≥3或≤-1(舍去), 所以ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的最小值为9. A 角度5　齐次化法求最值 [例6]　设p>0,q>0且p+q=2,求+的最小值. [解]　p+q=2⇒()2=1⇒=1, +=+=+ =+++=++≥2+=, 当且仅当=,即5p2=q2时等号成立. 特征值的利用 在齐次化过程中,常会涉及特征值的替换,如常数项和一次项的替换,以使分子和分母达到二次形式,便于应用基本不等式. 方法总结 跟踪训练 3.(多选)下列说法正确的有(　　) A.y=的最小值为2 B.已知x>1,则y=2x+-1的最小值为4+1 C.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3 D.若x,y为实数,且9x2+y2+xy=1,则3x+y的最大值为 BC 解析:对于A,显然当x=-1时,y=0<2,故A错误; 对于B,y=2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1, 当且仅当2(x-1)=,x>1,即x=+1时取等号,故B正确; 对于C,易知=+=1, 所以2x+y=(2x+y)(+)=+++≥2+=+=3, 当且仅当=,即x=y=1时取等号,故C正确; 对于D,9x2+y2+xy=1⇔(3x+y)2=1+5xy=1+·3x·y≤1+·, 所以(3x+y)2≤1⇒3x+y≤,当且仅当3x=y=时取等号,故D错误. 4.已知a,b为正数,4a2+b2=7,则a的最大值为(　　) A. B. C.2 D.2 解析:因为4a2+b2=7,所以4a2+1+b2=8,则a=×2a×=≤×=2,当且仅当4a2=1+b2,即a=1,b=时,等号成立. D 三元基本不等式 教材延展 知识背景 (源于苏教版必修第一册P71[问题与探究]) 知识推广 如果a,b,c为正实数,那么≥ (当且仅当a=b=c时取等号). 其中叫做正实数a,b,c的算术平均数,叫做正实数a,b,c的几何平均数. 用三元基本不等式≥ 求最值时的使用条件是“一正、二定、三相等”. [例1]　某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4 800立方米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池的长、宽、深,能使总造价最低?最低总造价是多少? [解]　设贮水池的长、宽、深分别为x米,y米,z米,水池的总造价为w元, 根据题意,有xyz=4 800, w=150xy+120(2xz+2yz)=150xy+240xz+240yz, 由三元基本不等式得 150xy+240xz+240yz≥3= 3=28 800, 当且仅当150xy=240xz=240yz, 即x=y=8,z=5时,取“=”, 即设计为底面边长为8 m的正方形,深为5 m时,总造价最低,最低总造价为28 800元. [例2]　若正实数a,b,c满足a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值. [解]　由于a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 所以0<a<1,0<b<1,0<c<1. 所以(1-a)(1-b)(1-c)≤ =()3=, 当且仅当1-a=1-b=1-c, 即a=b=c=时,等号成立,原式取得最大值. 跟踪训练 当x>0时,求4x2+的最小值. 解:4x2+=4x2++≥3=3, 当且仅当4x2=, 即x=时,取“=”, 所以当x=时,4x2+的最小值为3. 知识点一　基本不等式:≤ $