第1章 第1节 集合-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦集合专题，依据高考评价体系覆盖集合含义、关系、运算等核心考点，结合2024新课标Ⅰ卷、全国甲卷等真题分析，明确子集、交集、补集等高频考点权重，归纳集合含义辨析、参数范围求解等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+方法总结+素养提升”策略，如以2024新课标Ⅰ卷集合交集题为例，运用数学思维剖析元素互异性和区间端点取舍技巧，通过“子集个数公式”“容斥原理”等方法总结，培养学生逻辑推理与数学语言表达能力，助力学生高效突破考点，为教师提供系统复习指导。

第一节　集合 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 在具体情境中,了解全集与空集的含义.　2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.　3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　集合的含义与表示 1.集合中元素的三个特性:　　　　、　　　　、　　　　.  2.元素与集合的关系是　　　或　　　　,用符号　　或　　表示.  3.集合的表示法:　　　　、　　　　、　　　　.  确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 4.常见数集的记法 知识点一　集合的含义与表示 集合 非负整数 集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 知识点二　集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 x∈A⇒ x∈B 　　　  或　　    或   真子 集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊆B, 且∃x∈ B,x∉A 　　　  或　　    A⊆B B⊇A A⫋B B⫌A 知识点二　集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 集合 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 A⊆B, 且B⊆A 　　    空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀ 空集是　　　　　的子集,是　　　　　　　的真子集.  A=B 任何集合 任何非空集合 知识点三　集合的基本运算 基本运算 交集 并集 补集 Venn图       符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 常用结论 自我评价 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0}　　　　　　　　 B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析:因为A={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<<2,所以A∩B={-1,0}. A 2.(多选)下列说法错误的是(　　 ) A.集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1} B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1} C.若1∈{x2,x},则x=-1或x=1 D.对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B) ABC 3.(2026·重庆模拟)已知集合A={0,2},B={x|m-x<0},若A⊆B,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 解析:因为A⊆B,所以解得m<0. A 4.(人A必修第一册P35T9改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a=　　　　　　. 解析:因为A∪B=A,所以B⊆A,所以a+2∈A.当a+2=3,即a=1时,A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,不符合题意;当a+2=a2时,a=-1(舍去)或a=2,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,实数a=2. 2 关键能力　重点探究 考点一　集合的含义与表示 [例1]　(多选)下列说法正确的是( 　　) A.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则4∉M B.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为4 C.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|x+y=0},则A∩B的子集个数为4 D.已知集合A={x,x2+1,-1}中的最大元素为2,则实数x=1 BCD [解析]　由题意知M={2,4,5},A错误; 因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8},即C中元素的个数为4,B正确; 集合A={(x,y)|x2+y2=4}表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆上的所有点, 集合B={(x,y)|x+y=0}表示直线x+y=0上的所有点, 因为直线x+y=0经过圆心(0,0), 所以直线与圆相交, 所以A∩B的元素个数为2, 则A∩B的子集个数为4,C正确; 因为x2+1-x=(x-)2+>0,所以x2+1>x,所以x2+1=2,解得x=1或x=-1, 显然x=-1不满足集合中元素的互异性,故舍去,经检验x=1符合题意,D正确. 方法总结 解决集合含义问题的关键点 1.确定构成集合的元素. 2.确定元素的限制条件. 3.根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 跟踪训练 1.(2026·江苏泰州模拟)已知集合A={0,1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为(　　) A.5 B.6 C.10 D.15 D 解析:因为x∈A,y∈A,x-y∈A, 所以分以下5种情况: ①x-y=1,有4个,(1,0),(2,1),(3,2),(4,3); ②x-y=2,有3个,(2,0),(3,1),(4,2); ③x-y=3,有2个,(4,1),(3,0); ④x-y=4,有1个,(4,0); ⑤x-y=0,有5个,(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 综上,B中所含元素的个数为15. 考点二　集合间的基本关系 [例2]　(1)(多选)已知集合P={x|x2=4},N为自然数集,则(　　) A.2∈P B.P={-2,2} C.{⌀}⊆P D.P⫋N [解析]　P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正确;⌀不是P中的元素,故C错误;因为-2∉N,故D错误. AB (2)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},当x∈Z时,集合A的非空真子集的个数为　　　　　,当B⊆A时,实数m的取值范围是 　 　　　　.  254 {m|m≤-2,或-1≤m≤2} [解析]　易得A={x|-2≤x≤5}. 若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素, 所以A的非空真子集的个数为28-2=254. ①当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=⌀,满足B⊆A; ②当m>-2时,B={x|m-1<x<2m+1}≠⌀, 因此,要使B⊆A,则需解得-1≤m≤2. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m≤2}. 方法总结 1. 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 跟踪训练 2.(2026·湖北武汉模拟)已知全集U=R,集合A={x|≤0},B={x|log2x≥a}.若B⊆∁UA,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.[1,+∞) D 3.已知集合M={x|y=,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM 解析:因为M={x|y=,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}= {x|0≤x≤1},所以N⫋M. B 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的基本运算 [例3]　(1)(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} [解析]　因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},所以∁A(A∩B)={2,3,5}. D (2)(多选)(2026·山东潍坊模拟)若非空集合M,N,P满足M∩N=N,M∪P=P,则(　　) A.P⊆M B.M∩P=M C.N∪P=P D.M∩(∁PN)=⌀ BC [解析]　由M∩N=N,可得N⊆M, 由M∪P=P,可得M⊆P, 则推不出P⊆M,故A错误; 由M⊆P,可得M∩P=M,故B正确; 因为N⊆M且M⊆P, 所以N⊆P,则N∪P=P,故C正确; 由N⊆M,可得M∩(∁PN)不一定为空集,故D错误. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例4]　(1)(2026·河北秦皇岛模拟)设集合A={1,2,3,4},B={x|2x≤a}.若A∩B≠⌀,则a的取值范围为(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,8) C.[2,+∞) D.[8,+∞) [解析]　B={x|x≤},注意到A={1,2,3,4},A∩B≠⌀,故≥1,解得a≥2. C (2)已知集合A={x|x≤2},B={x|x2-2x-3≥0},C={x|x>a}且A∪(∁RB)∪C=R,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,+∞) B.(-∞,3) C.(-∞,-1] D.(-∞,3] [解析]　因为B={x|x2-2x-3≥0},所以B={x|x≤-1或x≥3}, 所以∁RB={x|-1<x<3}, 所以A∪(∁RB)={x|x<3}. 因为A∪(∁RB)∪C=R,所以a<3, 所以实数a的取值范围为(-∞,3). B 方法总结 利用集合的运算求参数的方法 1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. 2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 注意:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 跟踪训练 4.若集合A={x|2x2-9x>0},B={x|x≥2},则(∁RA)∪B=(　　) A.[2,] B.⌀ C.[0,+∞) D.(0,+∞) 解析:因为A={x|2x2-9x>0}={x|x>,或x<0},所以∁RA={x|0≤x≤}.又B={x|x≥2},所以(∁RA)∪B=[0,+∞). C 5.已知集合A={x|2x≤1,x∈R},B={a,1}.若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是(　　) A.a<1 B.a≤1 C.a≥0 D.a≤0 解析:由2x≤1⇒x≤0,所以A={x|x≤0}. 因为A∩B≠⌀,所以a∈A,即a≤0. D 集合的容斥原理及新定义 教材延展 角度1　集合的容斥原理 知识背景 容斥原理(源于人教A版必修第一册P15阅读与思考及P35T11) 在研究集合时,经常遇到与集合中元素的个数有关问题,像这种研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系,正是容斥原理的应用范畴. 即先不考虑重叠的部分,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的部分排斥出去,使计算的内容无遗漏也无重复. 结论拓展 1.二元容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 2.三元容斥原理 card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). [例1]　(2020·新课标Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% C [解析]　设喜欢足球、游泳的学生分别为集合A,B.记该校总人数为100. 则card(A∪B)=96,card(A)=60,card(B)=82,所以card(A∩B)=card(B)+ card(A)-card(A∪B)=46,故既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是=46%. 跟踪训练 1.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 C 解析:记阅读过《西游记》《红楼梦》的学生分别构成集合A,B. 则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),其中card(A∪B)=90,card(B)=80,card(A∩B)=60,所以card(A)=card(A∪B)-[card(B)-card(A∩B)]=70,故该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7. 角度2　集合的新定义 知识背景 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解. [例2]　(多选)(2026·浙江温州模拟)给定n∈N*,若集合P⊆{1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足a<b≤c<d,b-a=d-c,则称P为“广义等差集合”.记P的元素个数为|P|,则(　　 ) A.{1,2,3}是“广义等差集合” B.{1,3,4,6}是“广义等差集合” C.若P不是“广义等差集合”,当n=8时,|P|的最大值为4 D.若P不是“广义等差集合”,若|P|的最大值为4,则n可以是13 ABC [解析]　对于A,取a=1,b=c=2,d=3,则符合“广义等差集合”的定义,故A正确;对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6⇒b-a=d-c=2,故B正确;对于C,当n=8时,P⊆{1,2,3,…,8},如|P|=5时,设P={a1,a2,a3,a4,a5},由题意可知a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4两两不相同,则a5-a1=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)≥1+2+3+4=10>7矛盾,故|P|<5,当|P|=4时,取P={1,2,4,8},满足P不是“广义等差集合”,故|P|的最大值为4,故C正确;对于D,当n=13时,取P={1,2,4,8,13},这与|P|max=4矛盾,故D错误. 2.(多选)(2026·河南新乡模拟)对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”,记作M-N,即M-N={x|x∈M,且x∉N};把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”,记作MΔN,即MΔN={x|x∈M∪N,且x∉M∩N}.下列四个选项中,正确的有(　　 ) A.若M-N=M,则M∩N=⌀ B.若M-N=⌀,则M=N C.MΔN=(M∪N)-(M∩N) D.MΔN=(M-N)∪(N-M) 跟踪训练 ACD 解析:若M-N=M,则M∩N=⌀,A正确; 当M⊆N时,M-N=⌀,B错误; MΔN={x|x∈M∪N,且x∉M∩N}=(M∪N)-(M∩N),C正确; MΔN和(M-N)∪(N-M)均表示集合中阴影部分,D正确. 1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,2n-1个真子集. 2.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). $