2.1 第1课时 空间中的点、直线与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间中点的位置向量、直线的方向向量及线线位置关系的向量判断。课堂导入以油纸伞舞蹈伞柄直线位置关系为情境，搭建平面到空间向量的学习支架，引导学生发现问题。 亮点在于通过情境导入培养数学眼光，以问题链驱动数学思维，结合坐标法与向量运算发展数学语言。如例3用正方体证明线线平行垂直，跟踪训练强化运算，助力学生提升空间观念与推理能力，为教师提供完整教学资源。

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 第1课时　空间中的点、直线与空间向量 新课导入 学习目标 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶．油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂．当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？本节课我们一起探究这个问题． 1.理解空间中点的位置向量与直线的方向向量的概念． 2.会利用直线的方向向量判断空间中两直线的位置关系． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 5 [提示]　空间中点的位置由它的位置向量唯一确定． 返回导航 位置向量 返回导航 返回导航 (2)若P是线段AB上一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标． 返回导航 返回导航 空间中确定点的位置常转化为向量共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得出关于要求点坐标的方程或方程组求解即可. 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 [提示]　两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线． 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个__________．此时，也称向量v与直线l平行，记作__________． 方向向量 v∥l 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 [跟踪训练2] (1)若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(－3，0，－6) B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) B 返回导航 (2)(2026·漯河月考)已知直线l经过A(－1，2，5)，B(1，－1，n)两点，向量a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，则n＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 C 返回导航 返回导航 知识点三　用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 思考1　由直线与直线的平行关系，可以得到平行直线的方向向量具有什么关系？ [提示]　平行． 返回导航 思考2　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ [提示]　垂直． 返回导航 [知识梳理] 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔__________⇔∃λ∈R，使得u1＝_____． 2．设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔__________⇔__________． u1∥u2 λu2 u1⊥u2 u1·u2＝0 返回导航 [例3] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点． 证明：(1)BF∥D1E； 返回导航 返回导航 (2)BE不与D1M平行； 返回导航 (3)BE⊥C1M. 返回导航 (1)证明直线平行的两种思路 感悟提升 返回导航 (2)证明线线垂直的方法：用向量证明空间中两条直线l1，l2互相垂直的主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种： ①坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0. ②基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0. 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 33 B 返回导航 返回导航 2．(多选)(教材P37练习A T1改编)已知A(－1，0，4)，B(3，2，－1)，则直线AB的方向向量可以表示为(　　) A．(－4，－2，5) B．(8，4，－10) C．(6，3，－7) D．(－3，5，4) AB 返回导航 返回导航 3．若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 返回导航 4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明：如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C1(0，b，c)，D1(0，0，c)，B1(a，b，c)，B(a，b，0)，A1(a，0，c). 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间中点、直线的向量表示以及利用直线的方向向量研究平行问题． 2．须贯通：利用空间向量表示点、直线，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：理解直线的方向向量的不唯一性． 返回导航 eq \a\vs4\al(知识点一　空间中的点与空间向量) 思考　怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ [知识梳理] 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量 eq \o(OP,\s\up16(→)) 唯一确定，此时， eq \o(OP,\s\up16(→)) 通常称为点P的_____________． [例1] 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5). (1)若 eq \o(OP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up16(→)) － eq \o(AC,\s\up16(→)) )，求点P的坐标； 【解】　因为 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(－1，1，5)， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝(－3，－1，5). 所以 eq \o(OP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up16(→)) － eq \o(AC,\s\up16(→)) )＝ eq \f(1,2) (2，2，0)＝(1，1，0).所以点P的坐标为(1，1，0). 【解】　由P是线段AB上一点， 且AP∶PB＝1∶2知， eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(PB,\s\up16(→)) ， 设点P的坐标为(x，y，z)， 则 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝(x－3，y－4，z)， eq \o(PB,\s\up16(→)) ＝(2－x，5－y，5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝ eq \f(1,2) (2－x，5－y，5－z)， 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝\f(1,2)（2－x），,y－4＝\f(1,2)（5－y），,z＝\f(1,2)（5－z），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝\f(13,3)，,z＝\f(5,3)．)) 因此点P的坐标为( eq \f(8,3) ， eq \f(13,3) ， eq \f(5,3) ). [跟踪训练1] 在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是线段AB上的一点，且AE＝ eq \f(1,2) AB，则点E的坐标为______________. 解析：设点E的坐标为(x，y，z).由题意可知 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(－3，1，3)， eq \o(AE,\s\up16(→)) ＝(x－4，y－2，z)，且 eq \o(AE,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→)) ， 所以(x－4，y－2，z)＝ eq \f(1,2) (－3，1，3). ( eq \f(5,2) ， eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) ) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4＝－\f(3,2)，,y－2＝\f(1,2)，,z＝\f(3,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(5,2)，,z＝\f(3,2)．)) 所以点E的坐标为( eq \f(5,2) ， eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) ). eq \a\vs4\al(知识点二　空间中的直线与空间向量) 思考　在空间中，如何确定一条直线？ [例2] 如图，已知长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量． 【解】　以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)， 故 eq \o(DA1,\s\up16(→)) ＝(4，0，5)， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝(－4，3，0)， 所以直线DA1与AC的一个方向向量分别为 eq \o(DA1,\s\up16(→)) ＝(4，0，5)， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝(－4，3，0). (1)直线的方向向量为非零向量． (2)直线的方向向量有无数个，如果a是直线的方向向量，则λa(λ≠0)必是直线的方向向量．求一条直线的方向向量，可以在直线上取两点A，B，则 eq \o(AB,\s\up16(→)) 即为直线的一个方向向量． 解析：依题意，直线l的一个方向向量为 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(3，2，－1)－(0，2，1)＝(3，0，－2)＝ eq \f(1,3) (9，0，－6)，故选B. 解析：由点A(－1，2，5)，B(1，－1，n)，可得 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(2，－3，n－5). 因为a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，所以存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝λa， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－2λ，,－3＝λm，,n－5＝λm，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,m＝3，,n＝2.)) 【证明】　如图，以A为原点， eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AD,\s\up16(→)) ， eq \o(AA1,\s\up16(→)) 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系． 则B(1，0，0)，D1(0，1，1)， E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))) ，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))) ， M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0)) ，C1(1，1，1). (1)因为 eq \o(BF,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))) ， eq \o(D1E,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，－\f(1,2))) ， 所以 eq \o(BF,\s\up16(→)) ＝－ eq \o(D1E,\s\up16(→)) ，所以 eq \o(BF,\s\up16(→)) ∥ eq \o(D1E,\s\up16(→)) ， 所以BF∥D1E. 【证明】　 eq \o(BE,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))) ， eq \o(D1M,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)) ， 因为 eq \f(－1,\f(1,2)) ≠ eq \f(\f(1,2),－1) ，所以 eq \o(BE,\s\up16(→)) 不与 eq \o(D1M,\s\up16(→)) 平行， 所以直线BE不与直线D1M平行． 【证明】　 eq \o(BE,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))) ， eq \o(C1M,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，－1)) . 所以 eq \o(BE,\s\up16(→)) · eq \o(C1M,\s\up16(→)) ＝(－1)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＋0×0＋ eq \f(1,2) ×(－1)＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) ＝0， 所以 eq \o(BE,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(C1M,\s\up16(→)) ，所以BE⊥C1M. [跟踪训练3] 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝2PA＝2AC＝4，N为AB上一点且满足3 eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝ eq \o(NB,\s\up16(→)) ，M，S分别为PB，BC的中点．求证：CM⊥SN. 证明：因为PA⊥平面ABC，AB⊥AC， 如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(2，0，1)，S(2，1，0)，N(1，0，0)， 所以 eq \o(CM,\s\up16(→)) ＝(2，－2，1)， eq \o(SN,\s\up16(→)) ＝(－1，－1，0)， 因为 eq \o(CM,\s\up16(→)) · eq \o(SN,\s\up16(→)) ＝2×(－1)＋(－2)×(－1)＋1×0＝0，所以 eq \o(CM,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(SN,\s\up16(→)) ，即CM⊥SN. 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(－3，1，5)，B(4，3，1)，点P为线段AB的中点，则点P的位置向量的坐标为(　　) A．( eq \f(7,2) ，1，－2) B．( eq \f(1,2) ，2，3) C．(－12，3，5) D．( eq \f(1,3) ， eq \f(4,3) ，－2) 解析：由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得，点P的坐标为( eq \f(1,2) ，2，3)，则点P的位置向量 eq \o(OP,\s\up16(→)) 的坐标为( eq \f(1,2) ，2，3).故选B. 解析：由题意知， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(4，2，－5)， 对于选项A，(－4，－2，5)＝－ eq \o(AB,\s\up16(→)) ，满足题意； 对于选项B，(8，4，－10)＝2 eq \o(AB,\s\up16(→)) ，满足题意； 对于选项C，(6，3，－7)与 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(4，2，－5)不共线，不满足题意； 对于选项D，(－3，5，4)与 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(4，2，－5)不共线，不满足题意．故选AB. 解析：因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此 eq \f(x,－1) ＝ eq \f(－2,y) ＝ eq \f(1,2) (y≠0)，解得x＝－ eq \f(1,2) ，y＝－4，所以x＋y＝－ eq \f(9,2) . － eq \f(9,2) 由D1E＝2EB1，即 eq \o(D1E,\s\up16(→)) ＝2 eq \o(EB1,\s\up16(→)) ，可得E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)b，c)) ， 由BF＝2FA1，即 eq \o(BF,\s\up16(→)) ＝2 eq \o(FA1,\s\up16(→)) ，可得F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,3)，\f(2,3)c)) . 因为 eq \o(FE,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3))) ， eq \o(AC1,\s\up16(→)) ＝(－a，b，c)，所以 eq \o(FE,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AC1,\s\up16(→)) ． 又EF与AC1不共线，所以EF∥AC1. $