第1章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式

第1课时　两点间的距离公式

知识点一　两点间的距离公式

思考1　在x轴上有两点A，B，如何求A，B两点间的距离？

提示：|AB|＝|xA－xB|.

思考2　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2与坐标轴不平行时，怎样求这两点间的距离|P1P2|?

提示：当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝ .

即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离

|P1P2|＝.

[知识梳理]

1．条件：点A(x1，y1)，B(x2，y2).

2．结论：|AB|＝．

3．特例：(1)点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ ．

(2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝|x2－x1|．

(3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|y2－y1|．

[例1] (2026·南阳期中)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，则k＝________．

【解析】　由题意可知(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝|AB|2，即32＋(y2－y1)2＝62，

解得|y2－y1|＝3.

可得|kx2－kx1|＝3，所以|k||x2－x1|＝3，所以|k|＝，即k＝±.

【答案】　±

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解．

[跟踪训练1] (1)已知A(6，0)，B(－2，0)，则|AB|＝(　　)

A．3 B．4  

C．6 D．8

解析：选D．由题意得，A，B两点的纵坐标相等，则|AB|＝|6－(－2)|＝8.故选D．

(2)已知点P是直线y＝x＋2上一点，点P与点(4，7)间的距离为5，则点P的坐标为_______________________________________________．

解析：因为点P是直线y＝x＋2上一点，

可设P(m，m＋2)，

则＝5，

解得m＝1或m＝8，

所以点P的坐标为(1，3)或(8，10).

答案：(1，3)或(8，10)

知识点二　两点间距离公式的应用

[例2] (对接教材例22)已知△ABC的三个顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．

【解】　方法一：因为|AB|＝＝2，|AC|＝＝

2，又|BC|＝＝2，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．

方法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形．

母题探究　本例中条件不变，则BC边上的中线AM的长为________．

解析：方法一：BC边的中点为M(2，2)，所以|AM|＝＝.

方法二：由例题解析知△ABC为等腰直角三角形，所以|AM|＝|BC|＝.

答案：

(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．

[跟踪训练2] 以A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的形状是(　　)

A．梯形 B．平行四边形

C．矩形 D．正方形

解析：选D．因为A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)，所以kAD＝，kAB＝－，kCD＝－，

且|AB|＝＝5，

|CD|＝＝5，

所以四边形ABCD为平行四边形，