第1章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“两点间的距离公式”核心知识点，先从坐标轴上两点距离入手，通过勾股定理推导平面内一般两点距离公式，涵盖与坐标轴平行、到原点距离等特例，搭建从基础到应用的学习支架。 资料以生活情境导入激发兴趣，通过问题链引导从特殊到一般推导公式培养数学思维，结合坐标法证明几何问题提升数学语言表达能力。课中例题与跟踪训练助力教师高效教学，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 新课导入 学习目标 如图，小王与小李两位同学早上从家出发去上学，7：15同时到达学校．假设两人的行走路线都是直线，则学校可以看作两条直线的交点，假设两人速度一样，那么两人从家出发的时间一样吗？ 1.掌握两点间的距离公式及应用．　2.能利用距离公式解决与交点相关的问题，能用坐标法证明简单的几何问题． 知识点一　两点间的距离公式 思考1　在x轴上有两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|. 思考2　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2与坐标轴不平行时，怎样求这两点间的距离|P1P2|? 提示：当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝ . 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 |P1P2|＝. [知识梳理] 1．条件：点A(x1，y1)，B(x2，y2). 2．结论：|AB|＝． 3．特例：(1)点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ ． (2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝|x2－x1|． (3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|y2－y1|． [例1] (2026·南阳期中)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，则k＝________． 【解析】　由题意可知(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝|AB|2，即32＋(y2－y1)2＝62， 解得|y2－y1|＝3. 可得|kx2－kx1|＝3，所以|k||x2－x1|＝3，所以|k|＝，即k＝±. 【答案】　± (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． [跟踪训练1] (1)已知A(6，0)，B(－2，0)，则|AB|＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：选D．由题意得，A，B两点的纵坐标相等，则|AB|＝|6－(－2)|＝8.故选D． (2)已知点P是直线y＝x＋2上一点，点P与点(4，7)间的距离为5，则点P的坐标为_______________________________________________． 解析：因为点P是直线y＝x＋2上一点， 可设P(m，m＋2)， 则＝5， 解得m＝1或m＝8， 所以点P的坐标为(1，3)或(8，10). 答案：(1，3)或(8，10) 知识点二　两点间距离公式的应用 [例2] (对接教材例22)已知△ABC的三个顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 【解】　方法一：因为|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，又|BC|＝＝2，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形． 方法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形． 母题探究　本例中条件不变，则BC边上的中线AM的长为________． 解析：方法一：BC边的中点为M(2，2)，所以|AM|＝＝. 方法二：由例题解析知△ABC为等腰直角三角形，所以|AM|＝|BC|＝. 答案： (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理． [跟踪训练2] 以A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的形状是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 解析：选D．因为A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)，所以kAD＝，kAB＝－，kCD＝－， 且|AB|＝＝5， |CD|＝＝5， 所以四边形ABCD为平行四边形， 又kAD·kAB＝－1，则四边形ABCD为矩形，又|AD|＝＝5＝|AB|，则四边形ABCD为正方形． 知识点三　坐标法的应用 [例3] 利用坐标法证明：等腰梯形的对角线相等． 【证明】　记等腰梯形ABCD，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，所以|AC|＝＝，|BD|＝＝，故|AC|＝|BD|，即等腰梯形的对角线相等． 利用坐标法解平面几何问题的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 注意　建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． [跟踪训练3] 如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：|AP|＝|PQ|. 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图所示． 设正方形边长为a， 则A(0，a)，C(a，0)， 设点P的坐标为(t，0)(0<t<a). kAP＝－，则lPQ：y＝(x－t)，① lCQ：y＝x－a.② 联立①②可得Q(a＋t，t). 因为|AP|＝，|PQ|＝， 所以|AP|＝|PQ|. 1．(教材P22T1改编)已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝(　　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：选B．因为M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝＝5.故选B． 2．(多选)(2026·焦作月考)已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为(　　) A．(－2，0) B．(－1，0) C．(1，0) D．(9，0) 解析：选BD．因为点P在x轴上，设P(x，0)， 因为点P与点A的距离等于13，所以＝13，解得x＝9或x＝－1，所以点P的坐标为(9，0)或(－1，0). 3．已知点A的坐标为(－8，12)，线段AB中点的坐标为(－，2)，则B点的坐标为________，|AB|＝________． 解析：设B点的坐标为(x，y)， 因为点A的坐标为(－8，12)，线段AB中点的坐标为(－，2)， 所以解得 即B点的坐标为(7，－8)，所以|AB|＝＝25. 答案：(7，－8)　25 4．已知在直线2x－y＝0上存在一点P，它到点M(5，8)的距离为5，求直线PM的方程． 解：因为点P在直线2x－y＝0上，所以可设P点坐标为(a，2a)，所以＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2，4)或.所以直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 1．已学习：两点间的距离公式及应用，用坐标法解决几何问题． 2．须贯通：利用两点间的距离公式解决平面几何问题时，应利用的思想方法是数形结合与坐标法． 3．应注意：已知距离求参数问题易漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $