第1章 2.4 圆与圆的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，通过奥运五环、自行车轮等生活实例导入，承接上节课内容，以学习目标为指引，构建“了解位置关系—掌握判断方法—解决简单问题”的知识支架。 其亮点在于以生活现象培养数学眼光，通过思考问题引导探究发展数学思维，课堂小结用数学语言系统梳理。如例1结合几何法判断位置关系，跟踪训练巩固方法，助力学生提升逻辑推理能力，教师可高效开展教学。

2．4　圆与圆的位置关系 新课导入 学习目标 　　圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象，如奥运五环、自行车轮、啮合的齿轮等，你知道这些圆有着怎样的位置关系吗？本节课我们一起来探讨吧！     　　上图反映了圆与圆的位置关系．本节课我们类比上一节课研究圆与圆的位置关系． 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 　3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　圆与圆位置关系的判断 思考1　两个半径不同的圆的公共点个数出现几种情况？每种情况对应的圆的位置关系一样吗？ 提示：公共点个数有0个、1个及2个的情况，其中当公共点个数为0时，位置关系有外离和内含；当公共点个数为1时，位置关系有外切和内切；当公共点个数为2时，位置关系为相交． 思考2　通过哪些数量关系可以判断圆与圆的位置关系？ 提示：可以用两圆的圆心距与两圆半径长度之间的关系判断． 返回导航 相交 内切或外切 内含或外离 返回导航 2．几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点 个数 圆心距与半 径的关系 图示 两圆外离 0 d>______   两圆内含 d<_______   r1＋r2 |r1－r2| 返回导航 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相交 2 _______<d<______ 两圆内切 1 d＝_______ 两圆外切 d＝______ |r1－r2| r1＋r2 |r1－r2| r1＋r2 返回导航 [例1] (对接教材例9)已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)当a＝1时，两圆位置关系如何？ 返回导航 (2)当a为何值时，两圆外切、内切？ 返回导航 返回导航 感悟提升 判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系． (2)代数法：把两圆位置关系的判断问题转化为方程组的解的个数问题． 返回导航 [跟踪训练1] (1)(2026·榆林期中)圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝9与圆C2：(x＋7)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 C 返回导航 (2)圆(x－a)2＋(y－2a－3)2＝9上总存在两个点到(2，3)的距离为1，则a的取值范围是________________________． 返回导航 知识点二　两圆的相切问题 [例2] (1)(多选)(2026·黔南期中)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－a)2＝9有且只有一个公共点，则a的值可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 BD 返回导航 【解析】　由题意知，圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1， 圆C2：x2＋(y－a)2＝9的圆心为C2(0，a)，半径为r2＝3. 因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切， 当两圆外切时，|C1C2|＝|a|＝r1＋r2＝4， 当两圆内切时，|C1C2|＝|a|＝r2－r1＝2. 故a＝±2或a＝±4. 返回导航 (2)经过点(0，4)，且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程为_______________________. (x－2)2＋(y－2)2＝8 返回导航 感悟提升 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切). 返回导航 [跟踪训练2] (1)若圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝m外切，则m的值是(　　) A．16 B．8 C．4 D．1 C 返回导航 (2)(2026·重庆期中)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，试写出一个半径为1，且与y轴和圆C都相切的圆的标准方程：______________________________． (x－1)2＋(y－1)2＝1(答案不唯一) 返回导航 返回导航 返回导航 知识点三　相交圆问题 [例3] (2026·石家庄期中)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)与圆D：(x＋2)2＋(y－1)2＝9. (1)若圆C与圆D相交，求r的取值范围； 返回导航 (2)若r＝1，求圆C与圆D的公共弦长． 返回导航 感悟提升 两圆公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 常用结论　若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 返回导航 [跟踪训练3] 已知圆P：(x－2)2＋(y－3)2＝9，点Q(－2，－3)，以PQ为直径作圆M，与圆P相交于A，B两点． (1)证明：QA与圆P相切； 解：证明：因为PQ为圆M的直径，所以∠PAQ为直径PQ所对的圆周角，所以∠PAQ＝90°，所以PA⊥QA，所以直线QA与圆P相切． 返回导航 (2)求直线AB的方程． 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 28 1．(教材P39练习T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x－4y＝4与圆C2：(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 C 返回导航 ACD 返回导航 对于B，C，因为点P在圆C1上，点Q在圆C2上，|PQ|min＝|C1C2|－R1－R2＝3，|PQ|max＝|C1C2|＋R1＋R2＝7，故B错误，C正确； 返回导航 3．已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有4条公切线，则a的取值范围为_______________________________________． 返回导航 4．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？ 返回导航 (2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 返回导航 课堂小结 1．已学习：两圆的位置关系的判定、两圆的相切问题、两圆的公共弦问题． 2．须贯通：判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法，解决两圆相切与公共弦问题利用数形结合思想，可减少运算量． 3．应注意：解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切． 返回导航 解析：圆(x－a)2＋(y－2a－3)2＝9上总存在两个点到(2，3)的距离为1，则以(2，3)为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，可得3－1<<3＋1，即解得－<a<0或<a<2，即a的取值范围是(－，0)∪(，2). (－，0)∪(，2) (－∞，－)∪(，＋∞) 解：易得两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，设圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和，当两圆外切时，满足＝＋， 解得m＝25＋10. $