第3章 提升课5 与三次函数有关的问题（课时作业）-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦导数应用、函数零点、切线方程、对称中心等核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，如三次函数零点问题占比30%、切线问题占比25%，归纳出单调性分析、极值判断、对称中心应用等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于融合高考真题训练与应试技巧指导，如2024新课标Ⅰ卷函数极值题的深度解析，通过导数判断单调性、极值来突破零点个数问题，培养学生的数学思维和数学眼光。特设“题型-方法-素养”对应表，帮助学生掌握解题策略，教师可据此精准开展专题复习，提升学生高考冲刺效率。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A组　基础保分练 1.函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为(　　) A.0个　　　　　　　 B.1个 C.2个 D.3个 解析:f(x)=x3-3x+2的定义域为R,且f'(x)=3x2-3, 当x>1或x<-1时,f'(x)=3x2-3>0,当-1<x<1时,f'(x)=3x2-3<0, 故f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 又f(-1)=-1+3+2=4>0,f(1)=1-3+2=0,f(-1)·f(1)=0, 故函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知函数f(x)=x3+x2+c有3个零点,则c的取值范围是(　　) A.(-,0) B.(-∞,-)∪(0,+∞) C.(-,0) D.(-∞,-)∪(0,+∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:函数f(x)=x3+x2+c,则f'(x)=3x2+9x,令f'(x)=0得x=-3或x=0, 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3;令f'(x)<0,解得-3<x<0, 所以f(x)在(-∞,-3)和(0,+∞)上单调递增,在(-3,0)上单调递减, 又f(-3)=+c,f(0)=c,要使f(x)有3个不同的零点,则c<0<c+, 解得-<c<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.点P在曲线y=x3-x+上,设曲线在点P处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是(　　) A.[0,) B.[0,)∪[,π) C.[,π) D.[0,]∪[,π) 解析:y'=3x2-1,设P(m,n),则曲线在点P处切线的斜率为3m2-1≥-1, 则tan α≥-1,又α∈[0,π),切线斜率存在,故α≠,则α∈[0,)∪[,π). B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.过点P(2,t)可向曲线y=x-x3引三条不同的切线,则t的取值范围为(　　) A.-6<t<2 B.-2<t<6 C.-4<t<4 D.-4<t<6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设切点为Q(x0,x0-),其中x0≠2,由y=x-x3求导得y'=1-3x2, 则 kPQ==1-3,即2-6+2-t=0,依题意,方程2-6+2-t=0有三个不同的解. 设f(x)=2x3-6x2+2-t,则该函数有三个不同的零点. 因为f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f'(x)=0,得x=0或x=2, 令f'(x)>0,则x<0或x>2,令f'(x)<0,则0<x<2, 则f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,则函数f(x)在x=0时取得极大值f(0)=2-t,在x=2时取得极小值f(2)=-6-t, 又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞, 所以解得-6<t<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现,任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=-x2+,则g()+g()+g()+…+g()= (　　) A. B. C.17 D.34 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由函数g(x)=-x2+,可得g'(x)=x2-2x,所以g″(x)=2x-2, 令g″(x)=2x-2=0,可得x=1,又g(1)=-1+=1,即函数g(x)的对称中心为(1,1), 所以g(x)+g(2-x)=2,则g()+g()+g()+…+g()=[g()+g()+g()+g()+…+g()+g()]=× 2×17=17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知函数f(x)=-x3+3x-1,则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2,2)上的值域为(-3,1) D.曲线y=f(x)的对称中心为(0,-1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由f(x)=-x3+3x-1,可得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时,f'(x)<0,当-1<x<1时,f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增. 对于A,由以上分析知f(x)在x=-1处取得极小值,故A正确; 对于B,结合以上分析,因为f(-2)=1>0,f(-1)=-3<0,f(1)=1>0,f(2)=-3<0, 由零点存在定理知,f(x)有3个零点,故B正确; 对于C,因为f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 而f(-2)=f(1)=1,f(-1)=f(2)=-3,故f(x)在区间(-2,2)上的值域为[-3,1],故C错误; 对于D,因为f(-x)+f(x)=-(-x)3+3(-x)-1+(-x3+3x-1)=x3-3x-1+(-x3+3x-1)=-2, 即f(-x)=-2-f(x), 故曲线y=f(x)的对称中心为(0,-1),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)已知函数f(x)=x3-4x,则(　　) A.f(x)有3个零点 B.f(x)在原点处的切线方程为y=-x C.f(x)的图象关于点(0,0)对称 D.f(x)在[0,3]上的最大值为4 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,令f(x)=x3-4x=0,则x1=0,x2=2,x3=-2,A正确; 对于B,f'(x)=x2-4,f'(0)=-4,则f(x)的图象在原点处的切线方程为y=-4x,B错误; 对于C,由f(-x)=(-x)3-4(-x)=-x3+4x=-f(x)得f(x)为定义在R上的奇函数,可知f(x)的图象关于点(0,0)对称,C正确; 对于D,f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f'(x)>0得x<-2或x>2,令f'(x)<0得-2<x<2,则f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,又f(0)=0,f(3)=-3,所以f(x)在[0,3]上的最大值为0,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为　　　　.  解析:法一:由题意设对称中心的坐标为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x∈R成立,代入函数解析式得, 2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1, 整理得2b=(6a-6)x2+2a3-6a2+10a-2, 所以即对称中心为(1,2). 法二:因为f'(x)=3x2-6x+5,则f″(x)=6x-6, 令f″(x)=6x-6=0 ,解得x=1, 将x=1代入得f(x)得f(1)=2, 所以对称中心为(1,2). (1,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知曲线f(x)=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为　　　　.  11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:法一:f(x)=x3-3x2+6x+2,则f'(x)=3x2-6x+6, 设P(m,1),Q(n,f(n)),依题意f'(m)=f'(n),所以3m2-6m+6=3n2-6n+6, 则m2-n2=2(m-n),显然m≠n,则m+n=2. 因为f″(x)=6x-6,令f″(x)=0,得x=1,又f(1)=6,所以f(x)的图象关于点(1,6)中心对称, 所以点P与点Q关于点(1,6)对称,所以=6,则f(n)=11,所以点Q的纵坐标为11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法二:f(x)=x3-3x2+6x+2,则f'(x)=3x2-6x+6. 因为f'(x)=3(x-1)2+3>0,所以f(x)在R上单调递增, 令x3-3x2+6x+2=1,设其根为xP,则-3+6xP=-1. 因为f(x)在点P处的切线与在点Q处的切线平行,设切线斜率为k, 所以f'(x)=k存在两实根,其中一个为xP,设另一个为xQ. 即3x2-6x+6=k的两根为xP,xQ,由根与系数的关系得xP+xQ=2,则xQ=2-xP, 所以f(xQ)=-3+6xQ+2=(2-xP)3-3(2-xP)2+6(2-xP)+2=-(-3+6xP)+10=11, 所以点Q的纵坐标为11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.过y轴上一点(0,a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线,则a的取值范围是(　　) A.(-,0) B.(-,0) C.(-,0) D.(-,-) B组　能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为f(x)=x3+x2-x,所以f'(x)=3x2+2x-1, 设切点为(x0,+-x0),则切线方程为y=(3+2x0-1)(x-x0)++-x0, 又切线过(0,a),将(0,a)代入方程得到a=-2-,令g(x)=-2x3-x2,原题意等价于直线y=a与g(x)的图象有3个不同的交点,又g'(x)=-6x2-2x, 令g'(x)<0,x∈(-∞,-)∪(0,+∞),此时g(x)单调递减, 令g'(x)>0,x∈(-,0),此时g(x)单调递增,故g(x)的极小值为g(-)=-,极大值为g(0)=0,则a∈(-,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.曲线y=f(x)=x3-5x2-25x-1过点(0,1)的切线条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为f(0)=-1≠1,所以点(0,1)不在函数y=f(x)的图象上. 由题意知,f'(x)=3x2-10x-25,设过点(0,1)的切线的切点为(a,f(a)), 则f'(a)=3a2-10a-25,① f(a)=a3-5a2-25a-1,② 切线的方程为y-f(a)=f'(a)(x-a). 因为切线过点(0,1),代入切线方程1-f(a)=f'(a)(-a),③ 由①②③得1-(a3-5a2-25a-1)=-a(3a2-10a-25),整理得2a3-5a2+2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设g(x)=2x3-5x2+2,则g'(x)=6x2-10x, 令g'(x)<0⇒0<x<,令g'(x)>0⇒x<0或x>, 所以g(x)在(0,)上单调递减,在(-∞,0),(,+∞)上单调递增, 则g(x)的极大值为g(0)=2>0,极小值为g()=-<0, 且当x→-∞时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→+∞, 故g(x)的图象与x轴有3个不同的交点,即方程2a3-5a2+2=0有3个不同的根, 所以曲线过点(0,1)的切线有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)已知函数f(x)=x3-mx-n(m,n∈R),则下列说法正确的是(　 　) A.当m≤0时,f(x)在R上单调递增 B.函数y=f(x)的对称中心为(0,-n) C.∃m∈R,使得y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形 D.∀m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为f(x)=x3-mx-n,所以f'(x)=3x2-m, 当m≤0时,f'(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在R上单调递增,故A正确; 因为f(x)+f(-x)=x3-mx-n+(-x)3+mx-n=-2n, 所以y=f(x)的对称中心为(0,-n),故B正确; 由B项可知,函数f(x)的对称中心为(0,-n)且y=±x-n也关于(0,-n)对称, 假设y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形, 即y=±x-n与曲线y=f(x)有四个交点,即x3-mx-n=±x-n, 即x3-mx=±x除去0以外还有四个解,即x2=m±1,所以m>1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设y=x-n和y=-x-n与曲线y=f(x)的交点分别为A,C,B,D, 所以|AC|=|BD|,即=,无解,假设不成立,故C错误; 设两直线与曲线y=f(x)的切点分别为(x1,y1),(x2,y2), 则f'(x1)+f'(x2)=0,即3-m+3-m=0,所以+=, ∀m>0,总存在x1,x2,使得上式成立,即∀m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=(x-1)2·(x-4),则(　 　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值点,正确; 对于B,当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)>f(x2),错误; 对于C,当1<x<2时,1<2x-1<3,而由上可知,函数f(x)在(1,3)上单调递减, 所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,正确; 对于D,当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=(1-x)2·(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知直线l与曲线y=x3-x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|=|AC|,则(xi+yi)=　　　　.  解析:由题意,函数y=x3-x是奇函数,则函数y=x3-x的图象关于原点对称, 所以函数y=x3-x+1的函数图象关于点(0,1)对称. 因为直线l与曲线y=x3-x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 且|AB|=|AC|,所以A为函数的对称点,即A(0,1),且B,C两点关于点A(0,1)对称, 所以x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=3,于是(xi+yi)=3. 3 $