第一章 培优课 集合的综合问题-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学讲义以“集合的综合问题”为核心，通过题型分类系统构建知识体系，将集合运算与创新性问题作为两大主线。其中“破题思维”表格梳理关键信息与对应解题联想，“通性通法”总结有限集列举、无限集数轴分析等运算技巧，清晰呈现集合交并补运算及新定义问题的知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于创新性问题设计与分层练习结合，如以“封闭集”“商集”等新定义题型培养数学抽象与创新意识，通过2022全国甲卷真题强化运算能力与推理思维。基础题聚焦差集、新运算等概念应用，综合题结合二次方程考查集合关系，助力不同层次学生掌握方法，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

培优课　集合的综合问题 　　 题型一　集合的综合运算 （1）（2022·全国甲卷3题）设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则∁U（A∪B）＝（　　） A.{1，3} B.{0，3} C.{－2，1} D.{－2，0} 破题思维 题目信息 信息读取 x2－4x＋3＝0 联想到一元二次方程求根 A∪B 联想到两个集合的并集运算 ∁U（A∪B） 联想到集合的补集运算，在全集U中把A∪B这部分去掉，取余下的部分 （2）已知全集U＝R，A＝，B＝{x｜x≤－3}，C＝，则集合C＝（　　） A.（∁UA）∩B B.∁U（A∪B） C.∁U（A∩B） D.（∁UA）∪B 答案：（1）D　（2）B 解析：（1）由x2－4x＋3＝0解得x＝1或x＝3，即集合B＝{1，3}，又A＝{－1，2}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以∁U（A∪B）＝{－2，0}.故选D. （2）∵全集U＝R，∴A∪B＝，∴∁U（A∪B）＝＝C.故选B. 通性通法 解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解； （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算. 已知集合U＝{x｜1＜x＜7}，A＝{x｜2≤x≤5}，B＝{x｜4≤x＜7}.求： （1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁UA）∪B. 解：（1）由交集的运算性质得A∩B＝{x｜4≤x≤5}. （2）由并集的运算性质得A∪B＝{x｜2≤x＜7}. （3）由题意，∁UA＝{x｜1＜x＜2或5＜x＜7}，则（∁UA）∪B＝{x｜1＜x＜2或4≤x＜7}. 题型二　集合中的创新性问题 角度1　集合的新定义问题 〔多选〕设S为实数集R的非空子集.若对任意x，y∈S，都有x＋y∈S，x－y∈S，xy∈S，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（　　） A.集合S＝{s｜s＝a＋b，a∈Z，b∈Z}为封闭集 B.若S为封闭集，则一定有0∈S C.封闭集一定是无限集 D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集 解析：AB　设x＝a＋b，y＝c＋d，a，b，c，d∈Z，则x＋y＝（a＋c）＋（b＋d）∈S，x－y＝（a－c）＋（b－d）∈S，xy＝（ac＋3bd）＋（ad＋bc）∈S，故集合S＝{s｜s＝a＋b，a∈Z，b∈Z}为封闭集，A正确；S为封闭集，取x＝y，则x－y＝0∈S，B正确；取S＝{0}，满足条件，为封闭集，C错误；取S＝{0}，T＝{0，1}，满足S⊆T⊆R，0－1＝－1∉T，故T不是封闭集，D错误.故选A、B. 通性通法 解决以集合为背景的新定义问题的方法 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 角度2　集合的新运算问题 定义集合的商集运算为＝{x｜x＝，m∈A，n∈B}，已知集合S＝{2，4，6}，T＝{x｜x＝－1，k∈S}，则集合∪T中的元素个数为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析：B　由T＝{x－1，k∈S}，得T＝{0，1，2}，又集合的商集运算为＝{x｜x＝，m∈A，n∈B}，所以＝{1，2，3，4，6}，所以∪T＝{0，1，2，3，4，6}.则集合∪T中元素的个数为6.故选B. 通性通法 解决集合新运算问题的方法 （1）定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素； （2）定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题； （3）定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素. 1.对于集合A，B，我们把集合{x｜x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.若A＝{x｜0＜x≤3}，B＝{x｜x≥1}，则A－B为（　　） A.{x｜x＜1} B.{x｜0＜x＜1} C.{x｜1≤x＜3} D.{x｜1≤x≤3} 解析：B　A－B＝{x｜0＜x＜1}.故选B. 2.（2026·苏州中学期中）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A＝{a＋b｜a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则A中元素的个数是　8　. 解析：因为定义集合A＝{a＋b｜a∈P，b∈Q}，又0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11，即A中元素的个数是8. 1.已知M＝{x｜x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则M＝（　　） A.{1，3，5，6} B.{1，3，5} C.{2，4} D.{6} 解析：B　由题得M＝{1，3，5}.故选B. 2.已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝　{4，7}（答案不唯一）　. 解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. 3.已知集合M＝{1，2，3}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. （1）若n＝3，求集合A； （2）若n为偶数，求集合A. 解：（1）若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1，3}. （2）因为集合M的子集共有8个：⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个， “累积值”为偶数的集合共有5个：⌀，{2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}. 故A＝⌀或A＝{2}或A＝{1，2}或A＝{2，3}或A＝{1，2，3}. 　　 1.（2026·苏大附中期中）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝（　　） A.{2，5} B.{2，3，5} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} 解析：B　由题设∁UM＝{2，3，5}，且N＝{2，5}，则N∪∁UM＝{2，3，5}.故选B. 2.设集合A＝{－3，－2，－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，C＝{x｜－2≤x＜0}，则（A∩C）∪B＝（　　） A.{－1} B.{－2，－1} C.{－2，－1，1} D.{－2，－1，0，1} 解析：D　由题易得A∩C＝{－2，－1}，则（A∩C）∪B＝{－2，－1，0，1}. 3.定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{a，b}，则集合A☉B的所有元素之和为（　　） A.1 B.0 C.－1 D.a＋b 解析：B　因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为a，b，所以xy的所有可能取值为－a，0，a，－b，b，所以所有元素之和为0.故选B. 4.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　） A.1 B.3 C.5 D.9 解析：C　x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. 5.〔多选〕已知全集U＝{2，4，6，8，10，12}，M＝{4，6，8}，N＝{8，10}，则集合{2，12}＝（　　） A.M∪N B.（∁UM）∩（∁UN） C.∁U（M∪N） D.∁U（M∩N） 解析：BC　M∪N＝{4，6，8，10}，M∩N＝{8}，∁UM＝{2，10，12}，∁UN＝{2，4，6，12}，则（∁UM）∩（∁UN）＝{2，12}，∁U（M∪N）＝{2，12}，∁U（M∩N）＝{2，4，6，10，12}.故选B、C. 6.〔多选〕对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图所示（包括阴影区域及其边界），其中为凸集的是（　　） 解析：BC　A中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不是凸集；D中取两圆的公切线，不在集合中，故不是凸集；B、C显然符合. 7.定义集合A*B＝{x｜x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{2，4，5}，则集合A*B＝　{1，3}　. 解析：由已知得A*B＝{1，3}. 8.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的值为　0　. 解析：当a＝0时，B＝⌀，显然B⊆A，符合题意；当a≠0时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合A、B之间不存在子集关系，不符合题意，故a的值为0. 9.在①B⊆（∁RA），②（∁RA）∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充到下面问题中.若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由. 已知集合A＝{x｜1≤x≤4}，B＝{x｜a＋1＜x＜2a－1}，是否存在实数a，使得　　　　？ 解：选①， ∁RA＝{x｜x＜1或x＞4}， 由B⊆（∁RA）得，A∩B＝⌀， 当B＝⌀时，a＋1≥2a－1，解得a≤2； 当B≠⌀时，或 解得a≥3. 综上，存在实数a，使得B⊆（∁RA），且a的取值范围为{a｜a≤2或a≥3}. 选②， ∁RA＝{x｜x＜1或x＞4}，由（∁RA）∪B＝R，得A⊆B， 所以该不等式组无实数解， 所以不存在实数a，使得（∁RA）∪B＝R. 选③， 由A∩B＝B可知B⊆A， 当B＝⌀时，a＋1≥2a－1，解得a≤2； 当B≠⌀时，解得2＜a≤. 综上，存在实数a，使得A∩B＝B，且a的取值范围为{a｜a≤}. 10.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围. 解：若B∪A＝A，则B⊆A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况： ①当B＝⌀时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4； ②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2}⊈A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A； ③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，∴∴a＝－2. 综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}. ∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $